第3章专题01一元函数的导数及其应用

专题01一元函数的导数及其应用目录01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。【知能解读01】导数的概念【知能解读02】导数的运算【知能解读03】导数与函数的单调性【知能解读04】导数与函数的极值、最值03破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。【重难点突破01】过定点的多切线问题【重难点突破02】含参函数的单调性讨论【重难点突破03】单变量不等式恒成立问题【重难点突破04】双变量不等式恒成立问题【重难点突破05】导数与函数的零点问题【重难点突破06】函数的隐零点问题【重难点突破07】极值点偏移问题04辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。【易混易错01】复合函数求导“漏层”或“错层”致错【易混易错02】误解“导数为0”与“有极值”的关系致错【易混易错03】误解“导数符号”与“函数单调性”关系致错【易混易错04】对导数正负与函数图象升降关系理解不准确致错05点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类【方法技巧01】导数定义在极限中的计算【方法技巧02】曲线“在”某点处的切线问题【方法技巧03】曲线“过”某点的切线问题【方法技巧04】两曲线的公切线问题【方法技巧05】已知函数单调性求参数【方法技巧06】导数构造法解函数不等式【方法技巧07】利用导数求函数的极值或极值点【方法技巧08】已知函数的极值求参数【方法技巧09】利用导数研究函数的最值01导数的概念1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．2、导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．A．8m/s B．7m/s C．6m/s D．5m/s【答案】B则质点在2s末的瞬时速度为7m/s.故选：B02导数的运算1、基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)2、导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．3、复合函数的导数规律：从内到外层层求导，乘法连接．【真题实战】（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（

）【答案】B03导数与函数的单调性1、导数与函数的单调性的关系【注意】2、导数法求函数单调区间的步骤【答案】(1)见解析；(2)见解析04导数与函数的极值、最值1、函数的极值（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2、函数的最值（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3、函数极值与最值的关系（1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个．（2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值．【答案】【答案】B01过定点的多切线问题第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解．A． B．0 C．e D．2e【答案】D02含参函数的单调性讨论（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论．03单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：【答案】C【答案】A04双变量不等式恒成立问题【答案】D05导数与函数零点问题利用导数确定函数零点的常用方法1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【答案】C06函数的隐零点问题导函数的零点不可求时的应对策略：07极值点偏移问题极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的不对称（如二次函数对称、三次函数可能偏移）；如何将上边了不等式转化为单变量问题是解题的难点。（i）求的取值范围；法一：法二：01复合函数求导“漏层”或“错层”致错辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合层次按“由外及内，逐层求导，乘积相连”的链式法则分步书写．A． B．0 C．1 D．2【答案】DA． B．1 C．2025 D．2026【答案】D02误解“导数为0”与“有极值”的关系致错【答案】A【解析】根据导函数图像知道：正0非正0正增极大值减极小值增对于C，不能确定零点个数，则C错误；对于D，函数有两个极值点，则D错误.故选：A．【答案】C03误解“导数符号”与“函数单调性”关系致错辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件．【答案】A【解析】法一：04对导数正负与函数图象升降关系理解不准确致错辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负．【答案】B排除A、D两个选项，选项C不符合题意；故选：B.【答案】BACD错误，B正确，故选：B01导数定义在极限中的计算瞬时变化率的变形形式lim∆x→0A．0 B．2 C．－2 D．－4【答案】CA．0 B． C．a D．【答案】D02曲线“在”某点处的切线问题求曲线“在”某点处的切线方程步骤第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。【答案】03曲线“过”某点的切线问题求曲线“过”某点处的切线方程步骤04两曲线的公切线问题公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解．设切点写切线方程：【答案】05已知函数单调性求参数06导数构造法解函数不等式关系式为“加