高中数学第四章概率与统计12乘法公式与全概率公式学案新人教B版

乘法公式与全概率公式

新课程标准学业要求

1.结合古典藏壁•会利川乘法公式计算1.能从条件微率的定义推导乘法公式,会应用乘法公式计算概率.（数学抽

慨率.象•数学运算）

2.结介古典微型•会利用全概率公式计算2.理解全微率公式•学会利用全微串公式与贝叶斯公式if•算《（率.（数学抽

概率.象.数学运算）

3.「解贝叶斯公式.3.只活运用乘法公式叮全概率公式斛决问题.（教学建校•数学运算）

必备知识-自主学习

1.在。（3|A）,P（BA）,P（A）这三者中，如果已知

P（A）,/，（/3|A）,能不能求出P（BA）?

县田

FT心、2.已知P(BA)与P(BA)能否求出P(B)?

已知P(B|A),?(A),P(B|%),/)(%),能否求

:出尸(B)?

1.乘法公式

公式：P（BA）=P（A）P（BA）.

意义：根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出

事件A与B同时发生的概率.

思考

如果已知事件B发生的概率和在事件B发生的条件下事件A发生.的概率，可以求出事件A

与B同时发生的概率吗？

提示：可以，P（BA）=P（B）P（AIB）.

2.全概率公式

（1）一般地，如果样本空间为Q,A,B为事件，则BA与BA是互斥的，且3=114+13人，

从而P（B）=P（BA）+P（BT）,当P（A）〉0且P（T）〉0时，有P（B）=P（A）

P（B|A）+P（T）_P（B|I）

⑵定理1

若样本空间Q中的事件Al,品，…,An满足:

①任意两个事件均互斥,即AA.i=。，i¥j,i,j=l,2,…，n；

②A1+A2+…+An=Q；

③P(AJ>O(i=l,2,…，n).

则对Q中的任意事件B,都有B=BA]+BAz+…+BAn,

且P（B）=y.P（BAi）=fp（A：）P（B〔Ai）.

i=li=l

思考？

在全概率公式的推导过程中，用到了哪些概率公式？

提示：互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式.

3.贝叶斯公式

一般地，当0＜P（A）＜1且P（B）X）时，有

/Ixp（A）p（BIA）EQ）E（BA）

P⑻P（A）P（B|A）+P（T）P（^BT）~

P基础小测＞.

1.辨析记忆（对的打“J”，错的打“x”）

（1）P（AB）=P（A）P（AIB）.（）

⑵全概率公式中样本空间Q中的事件A需满足的条件为£A,=Q.（）

i=l

（3）贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概

率.（）

提示：（DX.P（AB）=P（A）P（B|A）.

n

（2）X.需满足的条件为AiA.i=0（iWj）,£Ai=Q,且P（A）＞0.

i=l

⑶J

2已知p

1115

A--c--

2B.36D.6

【解析】选C.由乘法公式得，P（AB）=P（B）P（A|B）=-.

3.（教材二次开发：例题改编）为加强对新型冠状病库预防措施的落实，学校决定对甲、乙

两个班的学生进行随机抽查.已知甲、乙两班的人数之比为5：4,其中甲班女生占二，乙

班女生占1，则学校恰好抽到一名女生的概率为（）

2457

-氏-a--

A.999D.9

【解析】选C.设A：抽到一名学生是甲班的，

B：是女生，则P(A),p(T),p(B|A)

=1yy=o1,

p(B|T),所以由全概率公式可知，

P(B)=P(A)•P(B|A)H-P(A)•P(B|A)=1x|=£.

/yoyzy

-------=关键能力-合作学习二-------

类型一乘法公式的应用(逻辑推理、数学运算:、数学建模)

题组训练

1.某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某

选手射中第一个口标的概率为0.8,继续射击，射中第二个目标的概率为0.5,则这个选手

过关的概率为________.

【解析】记“射中第一个目标”为事件A,“射中第一个目标”为事件R,则P(A)=O8,

P(B|A)=O.5.

所以P(AB)=P(B|A)・P(A)=0.8X0.5=0.4,

即这个选手过关的概率为0.4.

答案：0.4

2.在某大型商场促销抽奖活动中，甲、乙两人先后进行抽奖前，还有60张奖券，其中有6

张中奖奖券.假设抽完的奖券不放回，甲抽完以后乙再抽，求：

(1)甲中奖而且乙也中奖的概率：

(2)甲没中奖而且乙中奖的概率；

(3)乙中奖的概率.

【解析】方法一：设A：甲中奖，B：乙中奖，贝i]P(A)=J;=；,

5—9—6

P(B|A),P(A)=—,P(B|A)=—,所以，

□yIUay

i5i

(1)甲中奖而且乙也中奖的概率P(BA)=P(A)-P(B|A)=—X—=—.

iuoyiio

(2)甲没中奖而乙中奖的概率

———Q627

P(BA)=P(A)•P(B|A)=—X—=—.

1V/V。

——1271

(3)P(B)=P(BA+BA)=P(BA)+P(BA)=—+泰=-.

11ozvoiu

一、二、三、四等种子长出的麦槐含有50颗麦粒以上的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,

求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.

【思路导引】细研题意，利用定理1解决问题.

【解析】设氏：从这批种子中任选一颗是k等种子，k=l,2,3,4；设A：从这批种子中

任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上，则

P（B2）=0.02,P（B（）=0.015,P（B|）=0.01,

P（B.）=1-0.02-0.015-0.01=0.955,

P（AIBi）=0.5,P（AIB2）=0.15,

P（AIB：0=0.1,P（AIB＞）=0.05,由定理1得，

P（A）=（B）P（A|B）

i=l

=0.955X0.5+0.02X0.15+0.015X0.1+0.01X0.05

=0.4825.

♦变式探究

本例条件不变，求所结出的含有50颗麦粒以上麦穗中是一等种子长成的概率.

【解析】由典例知P（A）=0.4825,所以

"cICP（AB）P（Bi）F（A|B1）o.955X0.5八…八

PQ」A）=7（AF=-P（A）―"0.18255896.

解题费略

全概率公式求概率的关注点

（1）实质：为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后

利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果.

⑵应用：把事件B看作某一过程的结果，

把％,Az,…,A”…看作该过程的若干个原因，根据历史资料,每一原因发生的概率（即P（A“））

已知，而且每一原因对结果的影响程度（即P（B|）已知，贝J可用全概率公式计算结果发

生的概率（即P（B））.

题组训练

1.设有两箱同一种商品：第一箱内装50件,其中10件优质品；第二箱内装30件，其中

18件优质品.现在随意地打尸一箱，然后从中随意取出一件，求取到是优质品的概率.

【解析】设4=｛取到的是优质品｝,Bi=｛打开的是第i箱｝（i=l,2）,P（B）=P（B?）=],

।n1ioo

P（A|B＞）=—=-,P（A|B）=—=T,由全概率公式得P（A）=P（BI）P（AB）+P（B2）P（A|B2）

buooUo2

=2

=5♦

2.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生

产的占20%,又知这三个厂的产品次品

率分别为2%,1%，1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

【解析】设事件A为“任取一件为次品”，

事件R：任取一件为i厂的产品，i=l,2,3.

B1UB2UB3=O,B,BJ=0,i,j=l,2,3,iWj；

P(Bi)=0.3,P(B2)=0.5,P(灰)=0.2,P(A|BI)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B：))

=0.01,由全概率公式得，

P(A)=P(A|Bi)P(Bi)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.02X0.3+0.01X0.5+

0.01X0.2=0.013.

教师

专用

设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱，3箱,

2箱，三厂产品的废品率依次为0.1,0.2,0.3从这10箱产品中任取一箱，再从这箱中

任取一件产品，求取得正品的概率.

【解析】设A为事件”取得的产品为正品”，

BHB：,B.,分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”，

532

由题设知P(B])=言，P(B2)=—,P(B3)=—,

P(A|B,)=0.9,P(A|B2)=0.8,P(AIB3)=0.7,

所以P(A)=£p(B.)P(A|B.)

i=l

59,38.27

=行XT3+ToxToxTo=0・8工

类型三贝叶斯公式的应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)

【典例】设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1,货车中途停车修理的概率为

0.02,客车为0.01,今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率.

四步内容

条件：①某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1,货车中途停车修理的概率为0.02,客

蝴

车为0.01；②今有一辆汽车中途停车修理.

题意

结论：求该汽车是货车的概率.

思路吃透题意，可选用贝叶斯公式求解.

探求

设8=｛中途停车修理｝,Ai=｛经过的是货车｝,

A?=｛经过的是客车｝,则8=岫+的B.

21

由于P(AI)=Q,P(A2)=",P(B|Ai)=0.02,

P(B|A2)=0.01①

所以由贝叶斯公式有P(AdB)=Pp；；

书写P(A.)P(B|A1)

表达-p(Ai)P(B|Ai)+P(Aa)P(B|A2)

|x0.02

-21-0.80.②

-X0.02+-X0.01

JJ

即该汽车是货车的概率为0.80.

注意书写的规范性：①将已知条件正确地用事件的概率和条件概率予以表示：

②选用贝叶斯公式求解.

贝叶斯公式的应用

把事件B看作某一过程的结果，

题后把％,h看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率即P(A”)2

反思

知，而且每一原因对结果的影响程度(即P(B|A”))已知，如果已知事件B已经发生，要求此时

是由第i个原因引起的概率，则用贝叶斯公式(即求P(AJB)).

解好策略

贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求出事件过程的某个条件成立的概率，解题

步骤如下：

⑴找出目标条件所在的完备事件组，并命名；(2)命名已知会发生的结果事件：(3)代入贝

叶斯公式求解.

跟踪训纵

用血清诊断肝癌，临床实践表明，患肝癌的病人中有95舟试验呈阳性，也有2%的非肝癌患者

化验呈阳性.若将此法用于人群肝癌普查，设人群中肝癌患病率0.2轧现某人在普查中化

验结果呈阳性，求此人确患肝癌的概率.

【解析】设A：被化验者确患肝癌症，B：被化验者结果呈阳性，则

P(B|A)=0.95,P(B|T)=0.02,P(A)=0.002,

P(A)=l-P(A)=0.998,

n/rc'P(AB)_______P(B|A)P(A)_________

P(A|B)=77B7

P(B|A)P(A)+P(B|T)P(T)

0.95X0.002八c

=-----------------------087

0.95X0.0024-0.02X0.998

---------♦课聋检测-素养达标----------

1.第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只.先从第一个袋中任取一

球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球.则第一、二次沟取到白球的概率为()

1c2八1n4

A.~B.7C.-D.~

11^1

【解析】选B.记Ai：第i次取得白球，i=l,2,则P(A)=|,

Z,X4

P(A2|A,)=-,由乘法公式求得，

419

P(AIA2)=P(A2|AI)P(AI)=-x-=-.

2.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品

率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2年间生产的成品比例为2:3,

今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为()

A.0.6B.0.85C.0.868D.0.88

【解析】选C.设B：从仓库中随机提出的一台是合格品，A,：提出的一台是第i车间生产的,

i=i»2,

则有B=ABUMB,由题意，

23

P(A>)=-，P(Az)=-，P(B|A)=0.85,P(B|A)=0.88,

bol2

由全概率公式P(B)=P(Ai)F(B|A,)4-P(A2)P(B|A2)=0.4XC.85+0.6X0.88=0.868.

3.某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的

419

概率为三.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为右：否则，第一件产品合格

的概率堤.某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良

好的概率为()

AtB&C