离散型随机变量的分布列与数字特征（解析版）

7.2离散型随机变量及其分布列

7.3离散型随机变量的数字特征

目录

一、随机变量的概念理解..........................................................

二、离散型随机变量的分布列及两点分布.............................................................I

三、分布列的性质及应用...........................................................................4

四、离散型随机变量的均值.........................................................................6

五、离散型随机变量的方差.........................................................................9

六、均值与方差的性质............................................................................II

七、均值与方差的实际应用与方案设计问题..........................................................13

(目录可自行删除)

一、随机变量的概念理解

①随机变量

特点：随着试验结果的变化再变化的变量.

表示：常用字母X,Y,焉〃，…表示.

②离散型随机变量的特点：所有取值可以一一列举出来.

1、判断下列哪些变量是离散型随机变量，是的打'W”，错的打

(1)某机场一年中每天运送乘客的数量()

⑵某单位办公室一天中接到的次数O

(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数()

(4)一瓶果汁的容量为500±2mL.()

(5)某林场的树木最高达30m,则此林场中树木的高度.()

(6)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差。()

解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0.1,2,3,…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散

型随机变量.

(2)某单位办公室一天中接到的次数可能为01,2,3,…，是陵机变化的，因此是随机变量，也是离散型随

机变量.

⑶明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,123,…，是随机变化的，因此是随机变量,

也是离散型随机变量.

(4)由于果汁的容量在498mL〜502mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量.

(5)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30］内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.

(6)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.

二、离散型随机变量的分布列及两点分布

分布列定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为X2,…：国，…，&，X取每一个值届《=1,2,…，

〃)的概率尸(X=xi)=pi，则下表

性质：①0NO(i=1，2,…，〃)；②工〃尸1.

两点分布:若随机变量X服从两点分布，则其分布列为

X01

PP

其中〃=P(X=1)称为成功概率.

注意点：随机变量X只取0和I,才是两点分布，否则不是.

解题步骤:

⑴随机变量的取值列举来.

(2)初每一个取值所对应的概率求出来.

(3)把所有的随机变量对应概率之和是否为1来检验.

2、某班有学生45人，其中0型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现

从中抽1人，其血型为随机变量X,求X的分布列.

解将O,A,B,四种血型分别编号为123,4,则X的可能取值为123,4.

9y1、Clo2

pq—D一餐一亨

P（X=2）=群4

百

CJ8

怨=3）=忒=

45'

”,八C|$]

pq—4)—您一手

故X的分布列为

X1234

481

P

15453

3、已知一批10()件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变显X表

示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列.

C弘49491

解由题意知，X服从两点分布，P(X=0)=忒=而，P(X=1)=1一元=/.所以随机变量X的分布列为

X01

491

P

5050

4、从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个

黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢.

(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；

⑵求出赢钱(即X>0时)的概率.

解(1)从箱中取两个球的样本点有以下6种：(2个白球)，(1个白球，1个黄球)，(1个白球，1个黑球)，(2

个黄球)，(1个黑球，1个黄球)，(2个黑球).

当取到2个白球时，X=-2；

当取到1个白球，1个黄球时，X=-l；

当取到I个白球，1个黑球时，X=\；

当取到2个黄球时，X=0；

当取到1个黑球，1个黄球时，X=2；

当取到2个黑球时，X=4,

所以X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4.

P(X=-2)=S=看尸--1)=普=半P(X=0)=裳=总尸5=1)=第=今，

P(X=2)=署=奈，P(X=4)=^==•

所以X的分布列为

X-2-10124

521441

P

221166II3311

(2)P(X>O)=P(X=1)+P(X=2)+RX=4)

=TT+万十TT=药.

io

所以赢钱的概率为三

JJ

5、北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒

子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮

数量12311

从中随机地选取5只.

⑴求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；

(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推,

设X表示所得的分数，求X的分布列.

解⑴选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率咨=言=磊.

(2)X的取值为100,80,60,40.

抽取一个检验，其级别为随机变量酊则W域)=.

4

答案-

7

k7

解析设二级品有2个，则一级品有象个，三级品有力个，总数为夕个的分布列为

0123

421

p777

4

-

7

9、设离散型随机变量X的分布列为

X01234

P0.20.10.10.3m

求：(1)2X+1的分布列：(2)P(1VXW4).

【解】由分布列的性质知：

0.2+0.1+0.1+0.3+〃?=1,

解得根=0.3.

(D2X+1的分布列：

2X+113579

P0.20.10.10.30.3

(2)P(IVX*)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+0.3+0.3=07

10、设随机变里X的分布列伞=§一〃做左一1,234,5).

⑴求常数。的值；

⑵求

解由题意，得X的分布列为

1234

X1

5555

Pa2a3a4a5a

(1)由分布列的性质得a+24+3a+4a+54=I,

解得〃=看

(2)方法一'运)=e=5)+6却+P(X=1)=卷+,

四、离散型随机变量的均值

均值(数学期望)：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示.

XX1X2•••

PPiP2・・・Pn

则称日用=%必+理小+…+为取=豆无，为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.

11、从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已却每个球被取到的可能性相同.若取后不放

回，设取完红球所需的次数为X,求X的分布列及均值.

解由题意知X的可能取值为234,5.

当X=2时，表示前2次取的都是红球,

A71

・・.P(X=f；

当X=3时，表示前2次中取得1个红球,I个白球或黑球，第3次取红球,

CiCiA?I

・・.P(X=3)=f^=5：

当X=4时，表示前3次中取得1个红球,2个不是红球，第4次取得红球,

cgc的3

，P(X=4)=

当X=5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球,

・•・P(X=5)=美A'=|..•・X的分行列为

X2345

1132

rr>

105105

1,针尖向上，2

12、在掷一枚图钉的随机试验中，令乂=八如果针尖向上的概率为t那么试写出随机变量X

0,针尖向下.5

的分布列并求其均值.

3

-

2-

解根据分布列的性质，针尖向下的概率是1—专y

则随机变量X的分布列为

13、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4

件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设

1件产品的利润(单位：万元)为X.

⑴求X的分布列；

⑵求1件产品的平均利润(即X的均值)；

(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的

平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

解(1)X的所有可能取值有6,2,1,-2,

P(X=6)=2QQ=0.63*P(X=2)==025,

204

p(x=1)=200=0.1,p(x=-2)=555=0.02.

故X的分布列为

X621-2

p0.630.250.10.02

(2)E(X)=6x0.63I2x0.25I1x0.1I(2)K0.02=4.34(万元).

(3)没技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6x0.7+2x(l-0.7-0.01-x)+lxx+

(-2)x0.01=4.76-x(0<r<0.29),

依题意，知E(X)*.73,即4.76—隹4.73,

解得烂0.03,所以三等品率最多为3%.

14、某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为:2和、3现安排甲组研发新产品人，乙

JJ

组研发新产品设甲、乙两组的研发相互独立.

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求

该企业可获利润的分布列和均值.

2—13

解记£=”甲组研发新产品成功”，尸=”乙组研发新产品成功”.由题设知P(E)=g,P(E)=yP(F)=5,

—2————

P(尸)=土且事件E与F,E与F,E与F,E与尸都相互独立.

⑴无”=“至少有一种新产品研发成功”，则方=百下，

———122

于是P(H)=P(E)P(F)=5><5=75>

—213

故所求的概率为p(〃)=i—p(”)=i一区=区.

(2)没企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.

-----1=2〉

因为P(X=0)=P(EF)^X^=Y^,

——1331

P(>=]OO)=P(EF)=]x；=*=g,

—2?4

P(>=120)=P(EF)=^=—,

236。

P(X=220)=P(£F)=3X-=-=-

故所求的分布列如表所示：

X0100120220

2142

P

155155

2142

£^=0x^4-l(X)x-4-120x—4-220x^=140.

15、某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)

处都种J'一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量丫(单位：kg)与它的“相近”

作物株数X之间的关系如表所示：

X1234

Y51484542

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.

(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与均值.

解(1)所种作物总株数N=l+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数

为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C』C|2=36(种)，选取的两株作物恰好

“相近”的不同结果有3+3+2=8(种).

故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为会=言

(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量y的分布列.

因为P(y=51)=P(X=l),P(y=4B)=P(X=2),

P(y=45)=P(X=3),P(y=42)=P(X=4),

所以只需求出尸(X=Q仅=123,4)即可.

记以为其“相近''作物恰有k株的作物株数伏=1,2,34),

则川=2,〃2=4,〃3=6,“4=3.

由P(X=k)=弋,得

尸(>=1)=高

4

P(>=2)=正

P(X=3)=笳|.

3I

"=4)=『.

故所求y的分布列为

Y51484542

2421

P75"1555

因此所求年收获量y的均值为

2421

E(y)=51xy^+48xyy+45x^+42x^=46.

五、离散型随机变量的方差

方差：设离散型随机变最X的分布列为

XXIX2•••X〃

PPiPl•••Pn

22

考虑X所有可能取值为与£(X)的偏差的平方(即一E(X))2,(X2-E(X))....U-E(X)),因为X取每个值的

概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏

离程度，我们称Q(X)=(.“一£(X))2」力_+(理一七(X»_〃2+…+(同—E(X))2〃”=£a_E(x))2p,为随机变量X

1=1

的方差,有时也记为区内0，并称而为为随机变量X的标准差,记为(7(X).

16、(多选)下列说法中错误的是0

A.离散型随机变量X的均值£(田反映了X取值的概率的平均值

B.离散型随机变量X的方差Z)(X)反映了X取值的平均水平

C.离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平

D.离散型随机变量X的方差。(㈤反映了X取值的概率的平均值

答案ABD

解析E(X)反映了X取值的平均水平，O(X)反映了X取值的离散程度.

17、(多选)下列说法正确的是()

A.离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定

B.若。是常数，则D(a)=0

C.离散型随机变量的力差反映了随机变量偏离于均值的平均程度

D.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量

的平均程度越小

答案BCD

解析随机变量的方差越小，随机变量越稳定.所以A错误.

18、设离散型随机变量X的分布列为

X1234

111

P4364

则D(X)等于。

A22R12117917

A12D144L144U12

答案C

解析由题意知，

11|129

E(X)=lx-+2x-4-3x-+4x-=—,

故DW=(T)q+(2-笥2,+g用¥+(4畸x|/

19、已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若£(X)=0,D(X)=1,则〃=，b=,

X-1012

1

Pa

bcV2

答喇

r,.,iir5

〃十〃十c一p,

—6f+c+1=0,解得<=i

解析由题意知<Db4,

、a+c+g=l,1

J，

20、甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量^与力且。，牛的分布列为

0123

Pa0.10.6

7123

P0.3b0.3

(I)求力的值；

(2)计算15〃的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.

解⑴由离散型随机变量的分布列的性质可知

〃+0.1+0.6=1,，。=().3.

同理0.3+。+0.3=1,・・・。=0.4.

(2)E(<)=1x03+2x0.1+3x0.6=23,

£(//)=1x0.3+2x0.44-3x0.3=2,

。©=(1-2.3)2X0.3+(2-2.3)2X0.1+(3—2.3)2x0.6=0.81,

。(0)=(1-2)2x03+(2-2★0.4+(3—2)2x0.3=0.6.

由于E(J>E”7),说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但。(。>。(〃)，说明甲得分的稳定性不如乙，因

此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣.

六、均值与方差的性质

均值性质：若丫=。乂+力，其中”，〃均是常数(X是随机变量)，丫也是随机变量，则E(aX+b)=aE(X)+b.

方差性质：若y=aX+b,其中〃，〃均是常数(X是随机变量)，y也是随机变量，则。(4X+b)=/Q(X)

21、设4的分布列为

gi234

i111

p6633

又设“=2^+5,则七5)等于()

D

A[B/¥f

答案D

解析E©=lx1+2x1+3x1+4x1=(

E(〃)=E(2J+5)=2E(a+5=2叼+5=y.

22、已知随机变量和小其中”=1纥+7,且改小=34,若4的分布列如表所示，则机的值为()

01234

11

Pmn

412

I

A-3B4C6D8

答案A

解析因为〃=12^+7,E(〃)=34,

则E(〃)=12E(②+7,

即EQ])=12x(1x1+2x〃?+3x〃+4x=)+7=34.

所以2〃?+3〃=*①

1I2

又[+机+"+五=1,所以机+〃=§,②

由①②，解得加=;.

23、设随机变量X的分布列为

X-101

111

P236

若y=2x+2,则D(y)等于0

B9

c10\20

C.7D.至

答案D

解析由题意知，

E(X)=­Ix；+0x；+1x'=—

故D(X)=(-I+94+(。+知4+G

520

。(X)=Q(2X+2)=4D(X)=4x-=—

24、已知X的分布列如表所示：

X-101

1

Pa

2

⑴求X2的分布列；

(2)计算X的方差；

(3)若y=4x+3,求y的均值和方差.

解⑴由分布列的性质知与+；+。=1,解得4=1,

所以X2的分布列为

X201

3

P4

(2)方法一由⑴知

所以E(X)=(-l)x1+Ox14-1x|=—1,

D(X)=(-l+1)4+(0+i)x|+(l+州=日

方法二由(I)知〃=：,

所以E(X)=(—l)x1+Ox1+lx|=—

133

-+X---

444

所以D(X)=E(X2)-fE(X)l2=]1.

(3)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,

D(y)=42D(X)=ll.

七、均值与方差的实际应用与方案设计问题

均值、方差在实际应用中的作用

均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.

方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定.

注意在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.

25、受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，

某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50

辆，统计数据如表所示：

品牌甲乙

首次出现故獐

0<A<l\<x<2x>20<A<2x>2

时间M年)

轿车数量(辆)2345545

每辆利润(万元)1231.82.9

将频率视为概率，解答下列问题：

(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故隙发生在保修期内的概率；

(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产•辆甲品牌轿车的利润为Xi，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分

别求X|,X2的分布列；

(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的

角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.

解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.典p(A)=-^~=-^.

(2)依题意得,X的分布列为

Xi123

139

P

2550io

X2的分布列为

1.82.9

x2

19

P

1010

39

(3)由⑵得£(Xi)=lx而+2x岳+3飞=2.86(万元).

1Q

E(X2)=1.8X—+2.9X—=2.79(^元).

•••£(XI)>E(X2),・•・应生产甲品牌轿车.

26、某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5kg),某采购

商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得

到的数据如表:

等级珍品特级优级一级

箱数10151510

⑴用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中遁机抽取3箱，4表示随机抽取

的3箱中是特级的箱数，求。的分布列及均值E©；

⑵利用样本估计总体，该地提出两种购俏方案供采购商参考:

方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；

方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表：

等级珍品特级优级一级

售价(元/kg)25201510

从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？

解⑴用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为1(4舄=3,非特级品的箱数为10

-3=7,4的取值为0,123.

则…詈*5器磊

5尸詈哧尸(『尸翳忐

则占的分布列为

0123

72171

P244040120

721719

E©=°际+1幅+2＞而+3伺=而­

(2)方案一的单价为20元/kg,

设方案二的单价为小则〃的均值为

£(〃)=25/+20号+15号+10号=17.5(元/kg),

因为17.5<20,所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二.

27、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，旦野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区

内每个季度发牛.违反保护条例的事件次数的分布列分别为

甲保护区:

0123

P0.30.30.20.2

乙保护区:

2

01

P0.10.50.4

试评定两个保护区的管理水平.

解甲保护区的违规次数的均值和方差分别为

E©=0x0.3+1x0.3+2x0.2+3x0.2=1.3,

D(^=(O-1.3)2XO.3+(1-1.3)2XO.3+(2-1.3)2XO.2+(3-I.3)2XO.2=I.21.

乙保护区的违规次数77的均值和方差分别为

E(〃)=0x0.1+1x05+2x0.4=1.3,

。(小=(0-1.3)2X0.1+(1-1.3)2X0.5+(2-1.3)2X0.4=0.41.

因为E(0=E(〃)，D(a>D(/7),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的

违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.

28、某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意

外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A,B,C三类工种，从事这三类工种的

人数分别为12000,6000.2(XX),由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：

工种类别ABC

101

赔付频率诃

已知A,B,。三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万

元、10()万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年1()万元.

⑴求保险公司在该业务所获利润的均值；

⑵现有如下两个方案供企业选择：

方案I：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付

给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；

方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%,职工个人负责保费的30%,出险后赔偿金由保险

公司赔付，企业无额外专项开支.

请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.

解(1)设工种A,B,C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X,Y,Z,则X,匕Z的分布列分别为

X2525-lOOxlO4

1-七1

P不

Y2525-lOOxlO4

22

PF不

Z4040-50X104

1-备1

P

所以E(X)=25x(1—制+(25—100x104)x-^=15,

E(，)=25x(1-高)+(25—1OOxIO4)xj^=5,

E(Z)=40x(1一制+(40-50x104>j^4=-10,

保险公司所获利润的均值为120(X)x15+6000x5—2000x10—100000=90000,

所以保险公司在该业务所获利润的均值为9万元.

⑵方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为12000x100x104x*+6

2।

00(汉10(仅10、市+2000x50x1(产力+12xl()4=46xlO4；

方案2：企业与保险公司合作，见企业支出保险金额为

(12000x25+6000x25+2000x40)x0.7=37.lxl04.

因为46xl04>37.1xl04,

所以建议企业选择方案2.

29、某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目4通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有

可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为台专，a项目B：新能源汽

车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%,且这两种情况发生的概率分别为江

经测算，当投入A,8两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等.

(1)求a,b,c的值；

(2)若将10()万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的

项目，并说明理由.

解(1)依题意，得J^+\+a=l,解得

设投到项目A,4的资金都为工万元，变量乂和X2分别表示投资项目A和4所获得的利润,

则M和X2的分布列分别为

X10.4.r-0.2A-0

7J,

P

126

%20.3x-OAx

pbc

,7||

所以E(Xi)=0.4%x五+(—021)x4+0x4=021,

£(法)=0.3也丫一O.lcx,

因为E(X)=E(X2),

所以0.3/u-0.1cR=0.2r,

即-0.2.①

又b+c=l,②

31131

由①②，解得人=不c=/所以口=/1)=46?=不

(2)选择项目及理由如下:

当投入100万元资金时，由(1)知炉=100,

所以E(Xl)=E(X2)=20t

0(X1)=(40-20)2++(-20-20尾+(0-20)2x1=600,

31

0(X2)=(30-2O)2X-+(-10-20)2x-=300.

因为E(XI)=E(X2),Q(XI)>Q(X2),说明虽然项目A和项目4的平均收益相等，但项目4更稳妥，所以从风

险回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目8

30、为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个

标有面值的球的袋中•次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

(1)若袋中所装的4个球中有I个所标的面值为50元，其余3个均为1()元，求：

(I)顾客所获的奖励额为60元的概率；

(II)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；

(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组

成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾

客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

解：(1)设顾客所获的奖励额为X.

(I)依题意，得尸(X=60)=宣=奈

即顾客所获的奖励额为60元的概率为:.

(H)依题意，得X的所有可能取值为20,60.

P(X=60)=1,P(X=20)=.

即X的分布列为

X2060

11

P22

所以顾客所获的奖励额的期望为

E(X)=20x：+60x1=40(元).

(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面

值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以

期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可

能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.

对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以

可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.

以下是对两个方案的分析：

对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为Xi,则XI的分布列为

X2060100

121

P636

2112

Xi的期望为E(Xi)=20x-+60x-4-100x^=60,X]的方差为Q(X])=(20—60)2x1+(6()-60)2x§+(10()一

6。尾=竽

对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X?,则X?的分布列为

X?406080

21

p

36

]21

X2的期望为E(%2)40x-+60+80x-=60,

X2的方差为。(、2)=(40—60)*+(60—60竭+(80—60说=券

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.

课后巩固练习

】、已知离散型随机变量4的分布列如表所示，则其均值等于0

gi35

p0.5m0.2

A.lB.0.6C.2+3/wD.2/

答案D

解析由分布列的性质，得