沪科版八年级数学上册期末复习考点清单 专题04 全等三角形（5个考点清单+8种题型解读）

专题04全等三角形（5个考点清单+8种题型解读）

中考直侪单

t

目录

【考点题型一】全等三角形的性质.................................................................4

【考点题型二】添加一个条件使两三角形全等.......................................................5

【考点题型三】利用尺规作图一三角形..........................................................6

【考点题型四】三角形全等的判定与性质...........................................................7

【考点题型五】用”L证明两直角三角形全等.......................................................9

【考点题型六】利用三角形全等求时间或线段长的多解问题.........................................10

【考点题型七】与全等三角形有关的多结论问题....................................................12

【考点题型八】全等三角形中的动点综合问题......................................................13

【知识点01】全等图形

（一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形.

（二）特征：（I）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等。

【知识点02】全等三角形及其性质

（-）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.

点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对•应边，重合的角叫做对应

角.

（二）表示方法：全等用符号“M”，读作“全等于工

点拨：

（1）书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。

（2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法：

①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。

②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

③有公共边的，公共边是对应边。

④有公共角的，公共角是对应角。

⑤有对顶角的，对顶角是对应先。

⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对•最短边（或最小角）是对应边（或

对应角）。

⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若AABCq/\DEF,则AB和。£4c和。凡BC

和EF分别是对应边；NA和NO,N8和N£,/C和//分别是对应角。

【知识点03】全等三角形性质

1

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相

等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。

【知识点04】全等三角形的判定

（一）判定定理

（1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS〃（基本事实）；

（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“力角边”或“SAS'（基本事实）；

（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或'（基本事实）：

（4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS〃；

（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边"或

点拨:

•般三角形直角三角形

边角边（SAS）、角边角

具备一般三角形的判定方法

（ASA）

判定斜边和一条直角边对应相等

角角边（AA5）、边边边

QHL）

（555）

注意:

（1）“SSA""AM''不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等：

非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

（2）“HL”与“SSA”

一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SS4”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”

是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL''定理。

（二）证题的思路

我夹角（负5）

已知两边找直角《HL）

找第三边（SSS）

/若边为角的对边，则找任意角（44S）

）口知_»,_用；，找已知角的另一边（SAS）

'J一•边为角的邻边（找已知边的对角（AAS）

，找夹已知边的另一角（胫⑷

我两角的夹边（ASA）

已知两角

.找任意一边（AAS）

【知识点05】尺规作图

（一）尺规作图的概念

2

在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。

（二）基本作图

1.作一条线段与已知线段相等

已知:线段。（如图所示）。

O'A

求作：一条线段长度等于4。

作法：①任何一条射线04；②在射线。4上截取03=。（以。为圆心，以。的长为半径画弧，交Q4于点

B）,则。8即为所求作的线段。

2.作一个角等于已知角

已知：ZA0B（如图所示）。

求作：ZA'O的,使=

作法：（1）以点。为圆心，以任意长为半径画弧，分别交Q4,05于点C。；

（2）作射线以点O'为圆心，以0C长为半径面弧，交。’4于点C'；

（三）运用基本作图作三角形

在作三角形时，一般先画出草图，分析作图步骤以及相应的字母表示，选择正确的作图程序，再按分析后编

写的字母写出已知，求作，按步骤一边画图一边写好作法。

作法中不需要重述基本作图的过程。

例如：已知线段和/4，如图所示，求作A4BC,使BC=a,N3=N〃,NC=Nq

作法：如图所示。

①作线段8C二〃；

②在BC的同侧作/MBC=/a/NCB=4氏BM与CN交于点4,则A4BC就是所求作的一:角形。

3

年题型感单

【考点题型一】全等三角形的性质

【例1】（23-24八年级上•江苏苏州・期末）如图，已知△ABCg^OE/L乙4=70。，N。七尸=50。，则

【变式1-1］（23-24八年级上•河南郑州•期末）如图，△48度八46>£/8=30。,/七=45。，贝］

【变式1-2］（23-24七年级下•广东深圳•期末）如图，△ABC四△OEC,点A,C,£在同一条直线上,

BC=2,6=5,则AE的长为.

【变式1-3］（23-24七年级上.山东威海.期末）如图，△ABCgADEC,AF1CD,若4CE=65。，则

ZC4F=°.

【变式1-4］（23-24七年级下.山西临汾.期末）如图，AAB*ACFD,且点从D,。在一条直线上，点F

在40上，延长C尸交48于点E.

4

BD

(1)试说明：CELAB.

(2)若BO=3,AF=\,求8c的长.

【考点题型二】添加一个条件使两三角形全等

【例2】（23-24八年级上•贵州遵义•期末）如图，线段8。是四边形A8C。的对角线，Z1=Z2,请添加一

个条件使得△A3Z注△C£>4,添加的条件为.

【变式2-1］（23-24七年级下•江西景德镇•期末）如图，D,£是边3c上的两点，

BD=CE,ZADB=ZAEC,现要直接用“AAS”定理来证明AABD^ACE,请你再添加一个条

件：.

【变式2-2］（23-24七年级下•甘肃白银・期木）如图，已知A6〃8,要使二钻尸"乙。夕只需添加一个

【变式2-3］（23-24七年级下•河南郑州•期末）如图，4是A。中点，NC=NE,请添加一个条件，使得

5

.ABC&DBE,可以添加的条件是.（写出一个即可）

D

【变式2-4]（23-24八年级上.湖北咸宁•期末）如图已知BC=EF,

（1）添加下列条件：©ZF=ZC；®EF//BC^

③ACO@AC//FD.

其中能证明VABC与所全等的有（直接填序号）；

（2）在（1）中选择一个进行证明.

【考点题型三】利用尺规作图一三角形

【例3】（23-24八年级上浙江•期末）已知”和线段a,b（如图）.

（1）用直尺和圆规作VA4C（点A在3C的上方），使NA=N〃，BC=a,AC=b（做出图形，保留痕迹,

不写作法）.

⑵这样的三角形能作几个？

【变式3-1]（23-24七年级下•重庆・期末）如图,已知线段小♦和Na.

6

求作：VA3C,使得/4=Na,A3=a+6,AC=b.（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹）

【变式3-2］（23-24七年级下.辽宁本溪•期末）尺规作图：

如图，线段8c和一副三角尺，其中Na=60。,//?=45。.

求作：以线段AC为一条边作VABC,使得448。=60。,/班。=75。.（要求：保留作图痕迹，不写作法）

【变式3-3］（23-24七年级下.广东佛山.期末）如题图，已知V4AC.

⑴请根据“SAS”作△BC"使△£><*.、A3C,其中点。在BC右侧，且QC=A8（要求：尺规作图，只

保留作图痕迹，不要求写出作法）：

（2）若NACB-60。，/ABC比/CA区的2倍小15。，求N48的度数.

【变式3-4］（23-24七年级下•江苏淮安・期末）如图，已知线段m,〃及Na.利用直尺和圆现作图，不写

作法，保留作图痕迹；

m

Zn

（1）求作所有满足条件的VABC（全等除外），使得=BC=m,AC=〃；

（2）在（I）中所作图中，过点C向直线A8画垂线，与直线A3交丁点〃：并结合图形，直接写出三条线段

AB.8H和A"的数量关系为二

【考点题型四】三角形全等的判定与性质

【例4】（22-23七年级下•重庆•期末）如图，BC=BD,BC//AD,点、E为BD上一点、，且

ZABD=/BCE,延长CE交AA于点F.

7

E

A

CD

(1)求证：.AB庠一ECB；

(2)若N3CE=25。，ZCM=100°,求/8OC的度数.

【变式4-1](23-24八年级下.贵州黔西•期末)如图，点A,F,C,。在一条直线上，AB//DE,

BC//EF,AB=DE.

⑴求证：YABC".DEF；

(2)若4b=5,6=4,求人。的长.

【变式4-2](23-24八年级上.安徽.期末)如图，在四边形/WC。中，AD//BC,E为对角线8。上一

点，NA+NC瓦)=180。，且AD=8E.

⑴求证：AB悭ECB.

(2)若BC=15,DE=9,求AD的长.

【变式4-3](23-24八年级上•广东东莞•期末)如图，在△48。中，AC是4。边上的高，点E在AC上,

AC=BC,CE=CD,连接应:并延长交AD丁点广

(1)求证：BE=AD；

8

(2)若恰好平分NA/3O,AF=2,求班的长

【变式4-4](23-24七年级下.辽宁沈阳•期末)如图，点E在V4BC的边AC上，AE=BC,BC//AD,

(1)判断VA3C与△。0是否全等，请说明理由；

(2)若/ACB=30，求NBCD的度数.

【考点题型五】用证明两直角三角形全等

【例5】(23-24八年级上•广东肇庆.期末)如图，VA3c中，尸为AB上一点、,Q为BC延长线上一点，且

PA=CQ,过点尸作PM_LAC于点过点。作QNJ.4c交AC的延长线于点N,且PM=QN,连PQ

(2)DM=^AC.

【变式5-1](22-23八年级上•北京朝阳・期木)如图，AB-CD，BE工AC丁点E,DFJ.AC丁点、F,

AF=CE.

D

9

(1)求证：△ABE^^CDF；

(2)求证：AB//CD.

【变式5-2](23-24七年级下•四川甘孜•期末)如图，已知/。=/尸=90。，乙4=51。，AC=DF,

AE=DB,BC与EF交于点、O.

(1)求证：下.

⑵求ZBOF.

【变式5-3](23-24八年级下.山东青岛.期末)如图，等腰V/WC中，C。是腰A8上的高，在底边8c上

截取4£=4。，过点、E作EFJ.BC交CD于F.

(2)若NW话=70。，求NQC4的度数.

【变式5-4](23-24七年级下•四川成都.期末)如图，RtA44c与所中，ZABC=ZDEF=90°,

BC=EF,线段AC与线段。尸在一条直线上，HAF=CD,连接EC,BF,BE,跖与A£>相交于点

G.

(1)^45/与一OEC全等吗？为什么？

(2)试说明点G是线段跖的中点.

【考点题型六】利用三角形全等求时间或线段长的多解问题

【例6】(23-24七年级下•江苏苏州・期末)如图，在四边形A8CO中，AD//BC,

AD=6cm,BD=10cm,BC>8cm.动点P以lcm/s的速度从点A出发沿边A。向点。匀速移动，动点。

10

以2ciWs的速度从点8出发沿边3c向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线4。向点。匀速移动,

三点同时出发.连接打必、QM,当动点M的速度为cm/s时，存在某个时刻，使得以P、。、M

为顶点的三角形与QBM全等.

【变式6-1］（23-24八年级上•河南商丘・期末）如图，ZA=NB.AB=20fE、尸分别为线段A8和射线

8。上的一点，若点E从点8出发向点A运动，同时点尸从点〃出发沿射线30运动，二者速度之比为2：

3,当点E运动到点A时，两点同时停止运动.在射线AC上取一点G,使△AEG与△瓦才全等，则AG

的长为.

【变式6-2］（23-24七年级下•河南驻马店•期末）如图，在长方形A3CQ中，AD//BC,AB=CD=5,

AD=BC=6,NA0C=9O。，延长4。至点E,使Z）E=4,连接CE.动点。从点A出发，以每秒2个

单位长度的速度沿人8-4。-。。-公4运动，回到点4停止运动，运动时间为：/秒，当/的值为

时，△CDP和二CDE全等.

【变式6-3］（23-24八年级上•河南焦作.期末）如图，直线y=2x+2与x轴和y轴分别交于4B两点,

射线于点A.若点。是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，旦以C、D、A为顶点

的三角形与VAO8全等，则点。的坐标为.

II

【变式6-4]（23-24八年级上•湖北鄂州•期末）如图，V/WC中，ZACB=90°,AC=\2,BC=T6.点、P

从A点出发沿A—C18路径向终点运动，终点为8点；点。从8点出发沿C—A路径向终点运动，

终点为A点.点P和。分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运

动，在某时刻，分别过〃和。作尸E_L/于E、作。尸，/于F,当点。运动秒时，以。、E、C为

顶点的三角形和以Q、/、。为顶点的三角形全等.

【考点题型七】与全等三角形有关的多结论问题

【例7】（23-24七年级下•黑龙江哈尔滨•期末）如图，在VA8C中，ZACB=60°,。为VA8C动4c卜一

点，BC=CD,点加在3。的延长线上，C£平分NACM,且4C=CE.连接M交AC于广，G为边CE

上一点，满足CG=Cr,连接OG交踮于以下结论：①△ABCg△E0C；②&BCFaDCG；③

【变式7-1]（23-24七年级下•陕西咸阳.期末）如图，在.//。与_4m中，ZE=ZF=90°,ZB=ZC,

AE=AF,分别交AB,EB于点、N,D,AC交EB于点、M,则下列结论：@Z1=Z2；②BE=CF；

③CD=DN；④“CN冬ABM,其中正确的有（）

PC

A.4个B.3个C.2个O.1个

【变式7-2]（23-24八年级上•云南红河・期末）如图所示，AB/7CD,DH=BE,ACDH=ZABE,点尸

12

是AB的中点.①；②/DHE=/BEH；③DE〃BH、®SAEF=SSEF；⑤CD=CE.以上

结论，正确的是（）

A.①③④⑤B.④⑤C.①②③④D.①②®®©

【变式7-3]（23-24八年级上.湖北黄石.期末）如图，在VABC中，AB=AC,N8=NC=45。，。、E

是斜边BC上两点，且ND4E=45。，过点A作m_LAD,垂足是A,过点。作。/_18。，垂足是。.交AF

于点尸，连接E/L下列结论：①一A8D0/XACa®DE=EF；③若5》所=10,，则

S,w=24：④5O+CE=OE.其中正确的是

【考点题型八】全等三角形中的动点综合问题

【例8】（23-24七年级下•全国•期末）如图，在VA8C中，AB=AC,Z/3AC=a（00<a<90°）,。为射线

8C上一动点（不与点以。重合），在4。的右侧作VAOE,使得AE=ADZDAE=ZBAC,连接CE.

备用图备用图

⑴当点。在线段4c上时，求证：一加此.。£；

⑵若点。运动到线段4C上某一点时，恰好有八8=CZ）+CE,问：线段CE与线段AB有什么位置关系并说

明理由;

（3）在点。的运动过程中，当。石垂直于VAHC的某边时，则上C=_（用含a的代数式表示J.

13

【变式8-1](23-24八年级上•贵州遵义・期末)在RtAAKC中，NACB=90。，AC=BC,点石为AC上一

图①图②

(1)【观察发现】

如图①，N7MC与—Q4C的数量关系是二

(2)【尝试探究】

点E在运动过程中，/C£>8的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求/CD8的度数;

(3)【深入思考】

如图②，若E为AC中点，探索班与八£的数最关系.

【变式8-2](23-24八年级上•湖南株洲•期末)如图，等腰R3AC3中，ZACB=90°,AC=BC,E点为

A/)

(2)如图2,连接所交AC于。点，若行=3,求证：E点为8C中点;

⑶如图3,当E点在。的延长线上时，连接防与AC的延长线交于。点，若箓《则器

【变式8-3](23-24七年级下.广东深圳.期末)如图，在V/WC中，/A4C为锐角，点。为直线4c上一

动点，以A。为直角边且在A。的右侧作等腰直角三角形AOE,,AD=AE.

14

(1)如果AA=AC,N3AC=90。.

①当点。在线段BC上时，如图I,线段CE、8。的位置关系为,数量关系为

②当点。在线段AC的延长线上的，如图2,①中的结论是否仍然成立，请说明理由.

(2)如图3,如果ABwAC,NB4CW90。，点。在线段BC上运动.

探究：当/AC8多少度时，CE1BC?请说明理由.

15

专题04全等三角形（5个考点清单+8种题型解读）

qt考克侪单

目录

【考点题型一】全等三角形的性质.................................................................4

【考点题型二】添加一个条件使两三角形全等.......................................................5

【考点题型三】利用尺规作图一一三角形..........................................................6

【考点题型四】三角形全等的判定与性质...........................................................7

【考点题型五】用证明两直角三角形全等.......................................................9

【考点题型六】利用三角形全等求时间或线段长的多解问题.........................................10

【考点题型七】与全等三角形有关的多结论问题....................................................12

【考点题型八】全等三角形中的动点综合问题......................................................13

【知识点01】全等图形

（一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形.

（二）特征：（I）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等。

【知识点02】全等三角形及其性质

（一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.

点拨：把两个全等三角形重合到•起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应

角.

（二）表示方法：全等用符号“必”，读作“全等于二

点拨：

（1）书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置.匕

（2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法：

①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。

②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

③有公共边的，公共边是对应边。

④有公共角的，公共角是对应角。

⑤有对顶角的，对顶角是对应先。

⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或

对应角）。

⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若△/WC刍△£）£/，则A4和QE,AC和QRBC

和E/7分别是对应边：N4和ND,和NE,/C和//分别是对应角。

【知识点04】全等三角形性质

16

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相

等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。

【知识点04】全等三角形的判定

（一）判定定理

（1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS〃（基本事实）；

（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“力角边”或“SAS'（基本事实）；

（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或'（基本事实）：

（4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS〃；

（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边"或

点拨:

•般三角形直角三角形

边角边（SAS）、角边角

具备一般三角形的判定方法

（ASA）

判定斜边和一条直角边对应相等

角角边（AA5）、边边边

QHL）

（555）

注意:

（1）“SSA""AM''不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等：

非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

（2）“HL”与“SSA”

一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SS4”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”

是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL''定理。

（二）证题的思路

我夹角（负5）

已知两边找直角《HL）

找第三边（SSS）

/若边为角的对边，则找任意角（44S）

）口知_»,_用；，找已知角的另一边（SAS）

'J一•边为角的邻边（找已知边的对角（AAS）

，找夹已知边的另一角（胫⑷

我两角的夹边（ASA）

已知两角

.找任意一边（AAS）

【知识点05】尺规作图

（一）尺规作图的概念

17

在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。

（二）基本作图

1.作一条线段与已知线段相等

已知:线段。（如图所示）。

O'A

求作：一条线段长度等于4。

作法：①任何一条射线04；②在射线。4上截取03=。（以。为圆心，以。的长为半径画弧，交Q4于点

B）,则。8即为所求作的线段。

2.作一个角等于已知角

已知：ZA0B（如图所示）。

求作：ZA'O的,使=

作法：（1）以点。为圆心，以任意长为半径画弧，分别交Q4,05于点C。；

（2）作射线以点O'为圆心，以0C长为半径面弧，交。’4于点C'；

（三）运用基本作图作三角形

在作三角形时，一般先画出草图，分析作图步骤以及相应的字母表示，选择正确的作图程序，再按分析后编

写的字母写出已知，求作，按步骤一边画图一边写好作法。

作法中不需要重述基本作图的过程。

例如：已知线段和/4，如图所示，求作A4BC,使BC=a,N3=N〃,NC=Nq

作法：如图所示。

①作线段8C二〃；

②在BC的同侧作/MBC=/a/NCB=4氏BM与CN交于点4,则A4BC就是所求作的一:角形。

18

同盛型侪单

\

【考点题型一】全等三角形的性质

【例1】（23-24八年级上•江苏苏州・期末）如图，已知△ABCg^OE/L乙4=70。，N。七尸=50。，则

【答案】60。/60度

【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质

【分析】本题主要考查了全等三角形的对应角相等，并注意运用了三角形的内角和定理，做题时要找准对

应关系.

先利用△A5Cg/XDEF,得到对应角相等，然后在，死产中依据三角形内角和定理，求出N尸的大小.

【详解】解：ABC组DEF,

.'.ZD=ZA=70°,

QZDEF-50P,

ZF=180°-ND—NDEF=60°.

故答案为:600.

【变式1-1］（23-24八年级上.河南郑州•期末）如图，△48/汪/\48,N2=30。,/£=45。，则

【答案】105。八（）5度

【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质

【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得NC=NB=30。，最后根据三角形内角和即可

求解：

［详解］解：*/△A8Z泾△ACE,

19

:.ZC=Zfi=30°

・•・LEAC=I80°-ZC-Z£：=1050

故答案为：105。

【变式1-2]（23-24七年级下•广东深圳•期末）如图，AABC丝ADEC,点、A,C,E在同一条直线上,

8c=2,6=5,则AE的长为.

【知识点】全等三角形的性质

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据△ABC且△OEC可得出CO=AC=5,BC=CE=2,

再根据线段的和差关系即可得出答案.

【详解】解：•・•△ABC❷△£>£1€：,

,-.CD=4C=5,BC=CE=2,

•.•点4,C,E在同一条直线上，

..AE=AC-CE=5-2=3,

故答案为：3.

【变式1-3]（23-24七年级上.山东威海.期末）如图，^ABC^DEC,AFLCD,若NBCE=65。,则

ZC4F=

【答案】25

【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质

【分析【本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性

质.由A48cg△班C“『得NAC8=NDCE,推出NACO=N8CE=65。，最后根据直角三角形的性质即可求

解.

20

［详解］解：AABC^DEC,

ZACB=ZDCE,

ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,

即ZACD=NBCE=65。,

AF1CD,

ZAFC=90°.

「.ZC4F=90°-ZACD=25°,

故答案为：25.

【变式1-4]（23-24七年级下•山西临汾.期末）如图，A瓦注且点B,D,C在一条直线上，点尸

在4）上，延长CF交力8于点金

（1）试说明：CE1AB.

（2）若80=3,AF=\,求8C的长.

【答案】（1）见解析

（2）5C=7

【知识点】全等三角形的性质

【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等.

（1）根据全等三角形的对应角相等可得4。"=NCQ〃，4=NC,再由等量代换即可证明:

（2）根据全等三角形的对应边相等可得B/）=OF=3,AD=CD,再由等量代换即可求解.

（详解】（1）证明：•・•一AB*-CED,

；・公DB=/CDF,zL4=ZC,

•・•点B,D,C在一条直线上，

・•・ZAZ）B=ZCDF=90°,

■:ZAFE=ZCFD,

：.ZAEF=ZCDF=90°,

；・CE工AB；

（2）解：恒心，

21

:.BD=DF=3,AD=CD,

AD=AF+DF=\+3=4,

.•・CD=4,

JBC=BD+CD=3+4=7.

【考点题型二】添加一个条件使两三角形全等

【例2】（23-24八年级上•贵州遵义•期末）如图，线段8。是四：S形48co的对角线，ZI=Z2,请添加一

个条件使得△ABD四△CD3,添加的条件为.

【答案】ZA=ZC（答案不唯一;

【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）

【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理

SSS,SAS,AA,ASA,HL.根据全等三角形的判定定理，即可解答.

【详解】解：①当乙4=NC时，根据AAS可判定△AB尼△CDB；

②当ZAOC=NCBO时，根据ASA灯判定友泾△83；

③当A8=CO时，根据SAS可判定AABZ运△CD8；

故答案为：ZA=ZC（或N4OC=NC8O或A8=CD）.

【变式2-1］（23-24七年级下•江西景德镇.期末）如图，D,E是边坎?上的两点，

BD=CE,ZADB=ZAEC,现要直接用“AAS”定理来证明AAB恒△ACE,请你再添加一个条

件：.

【答案】Z/MP=ZCA£

22

【知识点】用ASA（/MS）证明三角形全等（ASA或者/MS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定

综合）

【分析】在与二AC。中，已知人石=4），ZAED=ZADE,即已知♦角及角的一边对应相等，根据

“AAS”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可.本题考查了全等三角形的判定定理：AAS：两

角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL.根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.

【详解】解：可添加一个条件：NBAQ=NCAE,使aA0注A4CE.

理由：

在△ABO与"。石中，

ZBAD=/CAE

ZAED=ZADE,

BD=CE

ABD^ACE（AAS）.

故答案为NBAO=NC4£

【变式2-2]（23-24七年级下•甘肃白银•期末）如图，已知A8//CO,要使,尸均。所，只需添加一个

【答案】AF=DF（答案不唯一；

【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知A8〃C。，推出NA4b=/。麻，

NBAF=NEDF,则可添加条件AF=O/，利用AAS即可证明ABgDEF.

【详解】解：添加条件A尸=。尸，理由如下：

VAB//CD,

工ZABF=/DEF,ZBAF=/EDF、

：./ABmDEF（AAS）,

故答案为：AF=DF（答案不唯一）.

【变式2-3]（23-24七年级下•河南郑州•期末）如图，3是A。中点，NC=NE,请添加一个条件，使得

23

.ABC&DBE,可以添加的条件是.（写出一个即可）

【答案】ZA=ZD（答案不唯一；

【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）

【分析】本题考查了全等三角形的判定.根据题意可知已有•组对应角和一组对应边相等，再确定•组对

应角相等即可判定ABC^DBE.

【详解】解：・・・8是八Q中点，

:.AB=DB,

•・•ZC=ZE,

，当N4=NO时，依据AAS可得，4a

故答案为：NA=ND（答案不唯一）

【变式2-4］（23-24八年级上•湖北咸宁•期末）如图已知A£=8。，BC=EF,

（1）添加下列条件：@ZF=ZC：®EF//BCx

®AC=FDx®AC//FD.

其中能证明VA6C与1）£尸全等的有（直接填序号）；

⑵在（1）中选择一个进行证明.

【答案】（1）②③

（2）见解析

【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）

【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明；

（1）根据全等二角形的判定定理即可解答：

24

（2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可.

【详解】（I）解：已知AC=斯，要使V4BC与」死「全等可以添加的条件为4c或

ZABC=ZEFD,能得到这些条件的有②③，

故答案为：②③；

（2）证明：选③AC=H>,

•:AE=BD,

:.AE+BE=BD+BE,

即AB=DE,

在V4BC与1）£户中，

AC=FD

AB=DE,

BC=EF

AABC^DEF（SSS）.

【考点题型三】利用尺规作图一三角形

【例3】（23-24八年级上•浙江•期末）已知”和线段a,b（如图）.

h

（1）用直尺和圆规作VABC（点A在8C的上方），使NB=N尸,BC=a,AC=b（做出图形，保留痕迹，

不写作法）.

⑵这样的三角形能作儿个？

【答案】（1）见解析

（2）2

【知识点】尺规作一个角等于已知角、尺规作图——作三角形、作线段（尺规作图）

【分析】本题考查了作图一复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何

图形的性质和基本作图方法，解戾此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质

把堂杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

25

（I）先作/MBN=N0,再在OM上截取8C=a,然后以。为圆心，b为半径画弧交8N于A和A,则

V4AC和，A'BC即为所作；

（2）由作图即可得出答案.

【详解】（1）解：如图，VABC和48C即为所作，

（2）解：由图可得：这样的三角形能作2个.

【变式3・1】（23-24七年级下.重庆・期末）如图，已知线段」b和2a.

求作：VABC,使得/4=Na,48=a+。，AC=0.（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹）

【答案】作图见解析

【知识点】尺规作图——作三角形

【分析】此题考查作图能力：作一角等于已知角，截取线段长度等于已知线段长，掌握简单的作图方法是

解题的关键.先作NA=Na,再在角的两边分别截取AC=b,AE=a,EB=b,则=从而可得

答案.

【详解】解：如图，V48C即为所求作的三角形；

【变式3-2]（23-24七年级下.辽宁本溪.期末）尺规作图：

如图，线段8C和一副三角尺,其中/0=60。,〃=45。.

求作：以线段8C为一条边作VA6C,使得乙46c=60。,/647=75。.（要求：保留作图痕迹，不写作法）

26

B

【答案】见解析

【知识点】尺规作图一作三角形

【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角的方法作出NABC=60。，NAC3=45。即可.掌握尺规作

角的方法，是解题的关键.

【详解】因为ZA8C=60。，ZBAC=75°

所以NAC8=45。

⑴请根据“SAS”作△AC。，使其中点。在AC右侧，且ZX?=A8（要求：尺规作图，只

保留作图痕迹，不要求写出作法）：

（2）若NAC8=60。，/ABC比NCAB的2倍小15。，求NACO的度数.

【答案】（1）见解析

⑵乙400=135。

【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、三角形内角和定理的应用、尺规作图——作三

角形、用SAS1证明三角形全等（5AS）

【分析】（1）以点8为圆心，任意长度为半径作弧，分别交A8、BC于点E、F,再以点。为圆心，相同

的半径作弧，交BC于点G,以点G为圆心，E尸为半径作弧，交另一条弧于点。，连接CO并延长，再以

点C为圆心，8C为半径作弧，交射线CO于点。，即可得NOC8=ZA8C,CD=BA,连接6。，再利用

“SAS”ADC哙ABC,即可求解：

27

（2）由题意得N4〃C=2NCA4—I5。，根据三角形内角和定理可得2/。44-15。+/。44=120。，求得

ZC4B=45°,从而可得NABC=75。，由（1）可得，/DCB=ZABC=75。,即可求解.

【详解】（1）解：以点C为顶点，BC为NDCB的一条边，作NDCB=NABC,CD=BA,

在VA8C和△OCE中，

AB=DC

ZABC=ZDCB,

CB=BC

（2）解:・・・NABC比NC4B的2倍小15。,

:.Z4BC=2ZC4B-I50,

•・♦ZACB=60°,

ZCAB4-ZABC=I8O0-ZACB=12O°,

2ZCAB-15。+ZCAB=120°,

/.NC48=45。，

・•・ZABC=2x45°-15°=75°,

由（1）可得，Z£）CB=ZABC=75O,

・•・ZACD=600+75°=135°.

【点睛】本题考查作图-三角形、全等三角形的判定、三角形内角和定理及解一元一次方程，熟练掌握全

等三角形的判定和作三角形方法是解题的关键.

【变式3-4]（23-24七年级下•江苏淮安・期木）如图，己知线段,〃，〃及Na.利用直尺和圆规作图，不写

作法，保留作图痕迹；

/m

（1）求作所有满足条件的V/WC（全等除外），使得N8=a,4C=〃?，AC=n；

⑵在（1）中所作图中，过点C向直线A8画垂线，与直线AA交于点〃；并结合图形