湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2017-2018学年高一下学期期末联考数学试卷

宜昌市部分示范高中教学协作体2018年春期末联考高一数学（全卷满分：150分考试用时：120分钟）选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若a＞b，则下列正确的是()A．a2＞b2 B．ac2＞bc2C．a3＞b3 D．ac＞bc2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，则a＝()A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D.eqD.eq\f(1,2)3．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形A．B．C．D．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acosB＝bcosA，则△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形6.等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1D．a5＝17．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()．A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an8．平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（）9.一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.A.B.C.C.11．若两个正实数x，y满足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1，4) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－4，1) D．(－∞，－1)∪(4，＋∞)12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A．8π B．12πC．20π D．24π二、填空题：本大题共4小题,每小题5分。13．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n，则通项公式an＝________．14．若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．15.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中错误的命题有________．(填写错误命题的编号)16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b＝eq\r(3)，B＝eq\f(π,3),则2a+c的最大值为．三．解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（17题10分，其余各题12分）.20．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3000＋50x(单位：元)．（1）求楼房每平方米的平均综合费用f(x)的解析式.（2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq\f(购地总费用,建筑总面积)）21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）若b＝2，求△ABC的面积的最大值．22．已知数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝eq\f(n＋1,n)an＋2n＋2.（1）证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列；（2）证明：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)<1.

宜昌市部分示范高中教学协作体2018年春期末联考高一数学参考答案题号123456789101112答案CBBAABDADCDC解得d=3．……………2分20.解（1）依题意得，f(x)＝Q(x)＋eq\f(8000×10000,4000x)＝50x＋eq\f(20000,x)＋3000(x≥12，x∈N*)，………5分（2）f(x)＝50x＋eq\f(20000,x)＋3000≥2eq\r(50x·\f(20000,x))＋3000＝5000(元)．………8分当且仅当50x＝eq\f(20000,x)，即x＝20时上式取“＝”．………10分因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5000元．………12分21.（1）证明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，………2分∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，化简，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．………6分（2）由(1)及题设条件，得ac＝4.则cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)≥eq\f(2ac－ac,2ac)＝eq\f(1,2)，………8分当且仅当a＝c时，等号成立．∵0<B<π，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)≤eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).………10分∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∴△ABC的面积的最大值为eq\r(3).………12分22.证明（1）由an＋1＝eq\f(n＋1,n)an＋2n＋2，得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)＋2，………2分即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首项为3，公差为2的等差数列．………4分（2）由(1)知，eq\f(an,n)＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，∴an＝n(2n＋1)，………6分∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,n2n＋1)<eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，………9分∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(