广东省中山市实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

第第页广东省中山市实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），若该组数据的中位数是众数54A．165，5 B．5，5 C．163，62．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中nΩA．是互斥事件，不是独立事件B．不是互斥事件，是独立事件C．既是互斥事件，也是独立事件D．既不是互斥事件，也不是独立事件3．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，M,N分别是A1C1A．1 B．12 C．32 4．在空间直角坐标系O−xyz中，已知A(1,2,−2)，B(0,1,1)，下列结论错误的是（）A．ABB．点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1,−2,2)C．若m=2,1,1D．若n=a,−2,6，n5．为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（）A．2.6 B．3 C．3.4 D．4.16．已知随机事件A、B发生的概率分别为PAA．若A与B互斥，则PB．若A与B相互独立，则PC．若PAB=D．若B⊆A，则P7．甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（）A．甲胜乙 B．乙胜丙 C．乙平丁 D．丙平丁8．正方体A1B1A．AB1与B．若CN=13NC．若P点在正方形ABB1A1D．若点E，F分别在DB1,A1C1上，且DEE二、多项选择题(3个小题，每题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，请将答案填在答题卡表格中)9．下列命题正确的是（）A．数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6B．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3C．若数据x1,x2,⋯,x10的标准差为1，则数据2D．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数

10．已知向量a→A．若x=14，y=−2B．若x=1，y=4，则aC．若x=12D．若x=12，y=1，则向量a11．在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α0<α<1，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β0<β<1，收到1的概率为A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为1-αB．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为βC．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为βD．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．已知某地区中小学生的人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为13．在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是.14．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点.H为PC上的点，且PHPC=13，点G在AH上，且AGAH四、解答题：(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，发现得分均在区间30,90内.现将100个样本数据按30,40，40,50，50,60，60,70，70,80，80,90分成6组，得到如下频率分布直方图．（1）求出频率分布直方图中x的值；（2）请估计样本数据的众数和平均数；（3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是77分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由．16．已知空间中三点A−2,1,3（1）若a=3，且a//AC，（2）若点P2,−1,m在平面ABC17．嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选对得6分，有错选得0分，小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设每个选项被选到的概率是等可能的），请帮助小明求解以下问题：（1）若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率；（2）若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A正确（正确答案中有A选项，且A必选）的情况下，求小明得分大于等于4分的概率．18．如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，棱长都为2，且∠A1AD=∠A1AB=60°，设AA1→（1）用a→，b→，c→（2）若P为棱C1D1（3）是否存在点P，使AP⊥A1N19．在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A,B,C,D，其中A对阵其他三个队伍时获胜的概率均为p(0<p<1)，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为12，最初分组时，A,B同组，C,D（1）若p=34，在淘汰赛赛制下，（2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为中位数=4+x2，众数为4，

由题意，知4+x2=4×5则该组数据的平均数为x=则该组数据的方差是S2因为6×60%=3.6，故答案为：C.【分析】先利用中位数公式和众数的定义，从而求出x的值，再根据平均数公式和方差公式以及分位数的求解方法，从而得出该组数据的方差和60%分位数.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为nΩ所以n(A∩B)=n(A)+n(B)−n(A∪B)=2，则P(A)=1又因为P(A)+P(B)=12+因为P(A∩B)=16=P(A)⋅P(B)故答案为：B.【分析】根据互斥事件的定义和独立事件的定义以及并事件求概率公式、交事件求概率公式，从而找出正确的选项.3．【答案】C【解析】【解答】解：连接AM,AN如下图：由于G是MN的中点，∴==1根据题意知AG=x∴x+y+z=3故答案为：C.

【分析】核心是利用中点的向量性质，将AG分解为AM与AN的平均向量，再进一步将AM、AN分解为已知基向量（AB、AA1、4．【答案】B【解析】【解答】解：对于A，由题意，得AB=对于B，关于xOy平面对称的点的横坐标、纵坐标相同，竖坐标相反，因此点A关于xOy平面对称的点的坐标为1,2,2，故B错误；对于C，若m=2,1,1，则m⋅对于D，若n=a,−2,6且n∥BA，则故答案为：B．【分析】根据点的坐标可得向量的坐标，则可判断选项A；根据图形对称的性质可判断选项B；利用向量法可判断两直线的位置关系，则可判断选项C；根据向量共线定理，则可判断选项D，从而找出结论错误的选项.5．【答案】B【解析】【解答】解：因为甲班调查了40人，

所以甲班所占比重为4040+60=25，

又因为乙班调查了60人，则甲班平均数和方差分别为x=5和s12=1.65,设调查的总样本的平均数为z和方差为s2,

则所以s故答案为：B.【分析】根据题意，由分层抽样方法可得甲班和乙班所占的比重，从而由总体平均数公式、方差的计算公式，从而计算估计出该校两个清北班一周内请假人数的总体方差.6．【答案】D【解析】【解答】解：对于A，若A与B互斥，则PA∪B对于B，若A与B相互独立，则PAB所以，因为PA∪B对于C，若PAB=所以，事件A与B相互独立，故C正确；对于D，若B⊆A，则AB=A∩B=B，所以PAB故答案为：D.【分析】根据互斥事件概率加法公式计算，则可判断选项A；利用独立事件的概率公式和并事件的概率公式，则可判断选项B；利用独立事件的概念可判断选项C；由交事件的定义可判断选项D，从而找出说法不正确的选项.7．【答案】C【解析】【解答】解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分，由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2场比赛是平局，即3×4+丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3场比赛中有1场是平局，丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3场比赛中有1场是平局，而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，故答案为：C.

【分析】甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为16分，由比赛计分规则可得出在6场比赛中有2场比赛是平局，丁在3场比赛中有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，乙在3场比赛中有2局是平局，由此可得答案.8．【答案】B【解析】【解答】解：对于A，如图建立空间直角坐标系，则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1所以AB则cos〈AB所以〈AB1,B对于B，由CN=13NC设H(0,m,2)，则A1由题意，得A1,M,N,H四点共面，

则存在λ,μ∈R所以−1=−2λ−2μ2=2λ+mμ0=32λ+2μ，解得λ=2μ=−32m=对于C，设P(2,y,z),y,z∈[0,2]，则MP=(1,y−2,z),由MP⋅DB则点P的轨迹长为线段y−z=1(1≤y≤2)的长度，为12对于D，因为点E，F分别在DB1,则DE=23所以E(43,43,2所以cosα=|cos所以cosβ=|cos〈EF,DA故答案为：B.

【分析】由图建立空间直角坐标系，利用数量积求向量夹角公式得出〈AB1,BC1〉=609．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对A：数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差为：4−0=4，众数为：2，所以极差与众数之和为4+2=6，故A正确；对B：由14×8=2，所以数据11，13，5，6，8，1，3，9按从小到大排列为下四分位数是3+52对C：若数据x1,x2,⋯,x10的标准差为1，则数据2x1对D：右拖尾特征​：分布右侧有少数极端大值，左侧数据较集中.平均数vs中位数​：平均数受极端值影响显著，向右偏移.中位数仅取决于数据中间位置，对极端值不敏感.结论​：右拖尾时，平均数通常大于中位数，故D正确.故答案为：ACD.【分析】根据极差、众数、四分位数、标准差的性质以及频率分布直方图中平均数和中位数的关系逐一分析选项.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为向量a=若x=14，y=−2，则a=12，1若x=1，y=4，则a=2，1，1，若x=12，y=2，则a=若x=12，y=1，则a=1，1，故答案为：ABD.

【分析】先代入x，y的值，从而得到向量11．【答案】A,D【解析】【解答】解：对于A，依次发送1，0，1，

则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积事件，所以它们相互独立，则所求概率为(1−β)(1−α)(1−β)=(1−α)(1−β)对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，

则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，则它们相互独立，所以所求概率为(1−β)⋅β⋅(1−β)=β(1−β)对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是收到两个1和一个0，或者收到三个1，则收到两个1和一个0的概率是C32β所以它们互斥，则所求的概率为C3对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1−α)因为单次传输发送0，所以译码为0的概率P'=1−α，

又因为0<α<0.5，所以P−P'=故答案为：AD.

【分析】利用相互独立事件求概率公式，从而计算判断出选项A和选项B；利用相互独立事件概率公式和互斥事件的概率公式，则判断出选项C；先求出两种传输方案的概率，再作差比较判断出选项D，从而找出正确的选项.12．【答案】20​​​​​​​【解析】【解答】解：因为分层抽样抽取的比例为2%，高中生抽取的学生数为40，

则抽取的高中生近视人数为40×50%=20.

故答案为：20．

13．【答案】7【解析】【解答】解：由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是34，沿顺时针方向跳的概率是1青蛙跳三次要回到A叶上只有两条途径：第一条，按A→B→C→A，此时停在A叶上的概率P1第二条，按A→C→B→A，此时停在A叶上的概率P2所以跳三次之后停在A叶上的概率P=P故答案为：7【分析】分别求出P(顺时针)和P(逆时针跳)，跳3次回到A满足3次顺时针或者3次逆时针，代入概率公式P=P14．【答案】3【解析】【解答】解：如图，若G，B，P，D四点共面，则G即为AH与平面PBD的交点，连接AC，BD交于点O，连接PO，则G即为PO与AH的交点，如图所示：

在截面PAC中，O为AC的中点，H为PC的三等分点，取HC的中点E，连接OE，

则OE=12AH=2GH，所以GH=14AH，故答案为：34.

【分析】由G，B，P，D四点共面，得出点G为AH与平面PBD的交点，连接AC，BD交于点O，连接PO，则G即为PO与AH的交点，取HC的中点E，连接OE15．【答案】（1）解：由直方图知(0.01×3+2x+0.03)×10=1，所以x=0.02；（2）解：平均值为：(35×0.01+45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.02+85×0.01)×10=62分，众数为：60+702（3）解：成绩低于70分的频率为0.7，成绩低于80分的频率为0.9，则得到奖励的最低成绩为70+0.8−0.7【解析】【分析】（1）频率和等于小长方形面积和等于1，列方程求参数值；（2）直方图数字特征，代入样本数据的众数和平均数公式即可；（3）先求出对应分位数0.7，判断甲的分数所在的位置70-80间，即可得结论.（1）由直方图知(0.01×3+2x+0.03)×10=1，所以x=0.02；（2）平均值为：(35×0.01+45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.02+85×0.01)×10=62分，众数为：60+702（3）成绩低于70分的频率为0.7，成绩低于80分的频率为0.9，则得到奖励的最低成绩为70+0.8−0.716．【答案】（1）解：由题意，易知AC=1,−2,2，

因为所以a=λ又因为a=3，所以λ2+4λ2所以，向量a=1,−2,2或（2）解：因为点P2,−1,m在平面ABC上，

所以，存在实数x,y，使得AP又因为AP=4,−2,m−3，AB则x所以4=3x+y−2=−3x−2ym−3=−3x+2y，

解得则m=−7.【解析】【分析】（1）利用向量共线的充要条件结合向量的模长的坐标表示，从而计算得出向量a的坐标.（2）利用空间向量共面定理建立方程组，从而计算得出实数m的值.（1）易知AC=1,−2,2，因为所以a=λ因为a=3，所以λ2+4所以向量a=1,−2,2或（2）因为点P2,−1,m在平面ABC上，故存在实数x,y使得AP又AP=4,−2,m−3，ABx所以4=3x+y−2=−3x−2ym−3=−3x+2y，解得故m=−7.17．【答案】（1）解：设总选项个数为N，记事件A=“小明得6分”，选项个数为NA假设正确选项为AB，则NA列举法：单选项有A，B，C，D共计4个，双选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共计6个，三选项有ABC，ACD，ABD，BCD共计4个，N=4+6+4=14个（其它方法也可以，得分相同），P(（2）解：设总选项个数为N，记事件B=“小明得分大于等于4分”选项个数为NB假设ABC为答案小明已经判定A正确（正确答案中有A选项，且小明A项必选）的情况下，列举法：单选项有A共计1个，且仅得2分，双选项有AB，AC，AD共计3个，其中2个得4分，三选项有ABC，ACD，ABD共计3个，其中1得6分，N=1+3+3=7，NBP(【解析】【分析】（1）根据题意，利用列举法结合古典概型概率公式求解即可；

（2）根据题意，利用列举法结合古典概型概率公式求解即可.18．【答案】（1）解：由题意，得A1（2）解：若P为棱C1D1的中点，

则MP所以MP=1（3）解：设D1P则AP⃗=a→所以a→则−a化简得−1+2λ=0，

解得λ=1所以，这样的点P存在，且P为C1【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理，从而用a→，b→，c→（2）根据向量的线性运算得出MP→+N（3）设D1P⃗=λD1C⃗1