专题3.3 导数与函数的极值、最值（二类核心）-2026年高考《数学》一轮复习考点精讲

专题3.3导数与函数的极值、最值目录目录 1一、5年高考•真题感悟 2二、课程标准•考情分析 15【课程标准】 15【考情分析】 15【2026考向预测】 15三、知识点•逐点夯实 16知识点1、函数的极值 16知识点2、函数的最值 16四、重点难点•分类突破 17考点1利用导数求解函数极值 17命题点1根据图像判断函数极值 17命题点2求已知函数的极值 18命题点3已知函数极值或极值点，求参数 21考点2利用导数求解函数最值 25考点5不含参函数的最值 25考点6含参函数的最值 28五、必考题型•分层训练 32A、基础保分 32B、综合提升 36TOC\o"1-2"\h\z\u

一、5年高考•真题感悟1．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】根据极值点求参数【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.2．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．当时，C．当且仅当 D．是的极大值点【答案】ABD【难度】0.65【知识点】由奇偶性求函数解析式、求已知函数的极值点、函数奇偶性的应用【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；对B，当时，，则，故B正确；对C，，故C错误；对D，当时，，则，令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD.3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，【答案】ACD【难度】0.65【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；故选：ACD.4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【答案】ABC【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数极值点的辨析【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值点，故D错误.故选：.5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【难度】0.65【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据极值求参数【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【详解】函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】AC【难度】0.65【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值点、利用导数研究函数的零点【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.7．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则【答案】【难度】0.85【知识点】求函数值、根据极值点求参数、导数的运算法则【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解.【详解】由题意有，所以，因为是函数极值点，所以，得，当时，，当单调递增，当单调递减，当单调递增，所以是函数的极小值点，符合题意；所以.故答案为：.8．（2025·上海·高考真题）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；【答案】(1)(2)且.【难度】0.65【知识点】根据极值求参数、根据函数的单调性解不等式【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解；（2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）因为，故，故，故，故即为，设，则，故在上为增函数，而即为，故，故原不等式的解为.（2）在有极大值即为有极大值点.，若，则时，，时，，故为的极小值点，无极大值点，故舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求；若，则时，，无极值点，舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求；综上，且.9．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；(2)设分别为在区间的极值点和零点.（i）设函数·证明：在区间单调递减；（ii）比较与的大小，并证明你的结论．【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析.【难度】0.65【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、求已知函数的极值点【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点；（2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证；（ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合，和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证.【详解】（1）由题得，因为，所以，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，，令，所以当时，，则；当时，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上存在唯一极值点，对函数有在上恒成立，所以在上单调递减，所以在上恒成立，又因为，时，所以时，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点.（2）（i）由（1）知，则，，，则，，，即在上单调递减.（ii），证明如下：由（i）知：函数在区间上单调递减，所以即，又，由（1）可知在上单调递减，，且对任意，所以.10．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数，求在的最大值；（2）给定，设a为实数，证明：存在，使得；（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【难度】0.4【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、解余弦不等式【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.（2）利用反证法可证三角不等式有解；（3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值.【详解】（1）法1：，因为，故，故，当时，即，当时，即，故在上为增函数，在为减函数，故在上的最大值为.法2：我们有.所以：.这得到，同时又有，故在上的最大值为，在上的最大值也是.（2）法1：由余弦函数的性质得的解为，，若任意与交集为空，则且，此时无解，矛盾，故无解；故存在，使得，法2：由余弦函数的性质知的解为，若每个与交集都为空，则对每个，必有或之一成立.此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.故存在，使得成立.（3）法1：记，因为，故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况.当时，，当时，，此时，令，则，而，，故，当，在（2）中取，则存在，使得，取，则，取即，故，故，综上，可取，使得等号成立.综上，.法2：设.①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有.所以对任意恒成立，这直接得到.设，则根据恒成立，有所以均不超过，再结合，就得到均不超过.假设，则，故.但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧.所以假设不成立，这意味着.②另一方面，若，则由（1）中已经证明，知存在，使得.从而满足题目要求.综合上述两个方面，可知的最小值是.二、课程标准•考情分析【课程标准】（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．（2）会用导数求函数的极大值、极小值．（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．【5年考情分析】5年考情分析考题示例考点分析难易程度（简单、一般、较难、很难）2025年新I卷，第19题,17分由导数求函数的最值(含参)很难2025年新Ⅱ卷，第18题,15分由导数求函数的极值(含参)很难2024年新I卷，第10题,6分求已知函数的极值点一般2024年新Ⅱ卷，第11题,6分极值与最值的综合应用一般2024年新Ⅱ卷，第16题,15分根据极值求参数较难2023年新I卷，第11题,5分函数极值点的辨析一般2023年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值(不含参)较难2023年新Ⅱ卷，第11题,5分根据极值求参数较难2023年新Ⅱ卷，第22题,12分根据极值点求参数很难2022年新I卷，第8题,5分由导数求函数的最值(不含参)一般2022年新I卷，第10题,5分求已知函数的极值点较难2022年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值(含参)很难【2026考向预测】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-13-15分。高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．

三、知识点•逐点夯实知识点1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤：（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．知识点2、函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注意：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．四、重点难点•分类突破考点1利用导数求解函数极值命题点1根据函数图像判断极值例1、函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.94【知识点】函数与导函数图象之间的关系【分析】本题利用导函数的性质，便可以解题.，函数为增函数，，函数为减函数，根据导函数图形找到对应区间就可以得出答案.【详解】由图象知，当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，对应图象为A.故选：A．【变式训练1】、（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（

）

A． B．C．有三个零点 D．有三个极值点【答案】A【难度】0.65【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数（导函数）图象与极值的关系、利用导数研究函数的零点、比较函数值的大小关系【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可.【详解】根据导函数图像知道：正0非正0正增极大值减极小值增对于A，，单调递减，则，则A正确；对于B，自变量在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则B错误；对于C，不能确定零点个数，则C错误；对于D，函数有两个极值点，则D错误.故选：A．命题点2求已知函数的极值例2、（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1C．的极大值为 D．的最小值为【答案】C【难度】0.65【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值点【分析】对函数求导得，令，利用导数法求得的单调性及函数值的符号，进而求得的单调区间，求出最大值后可逐项判断正误.【详解】因为，所以，令，则，所以在上单调递减．因为，所以当时，，即；当时，，即，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以．故选：C例3、（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行．(1)求a，b；(2)求的极值点个数．【答案】(1)，(2)两个【难度】0.85【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值【分析】（1）由题意知，，，求导数，代入计算，即可得解；（2），令，则问题转化为函数的变号零点的个数，对函数求导，判断的正负，得到函数的单调性，进而判断变号零点个数，从而得解.【详解】（1）由题得，解得，又，则，解得，故，（2）由（1）可知，令，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，，，，使得，故，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，则在内单调递增，在单调递减，在递增，所以有两个极值点．【变式训练2】、（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为．【答案】【难度】0.65【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再求出极小值.【详解】函数，求导得，依题意，，解得，令，解得，则当时，；当时，，所以的极小值为.故答案为：【变式训练3】、已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（

）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为【答案】C【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又a<b<c，所以，故A不正确．因为，，且当时，；当c<x<e时，；当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．故选：C．命题点3已知极值或极值点求参数例4、（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【难度】0.65【知识点】根据极值点求参数【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出并验证即得.【详解】函数的定义域为，求导得，由是的极值点，得，解得，此时，当时，；当时，，因此是的极值点，所以.故选：B例5、（2025·广西北海·模拟预测）若函数有两个极值点，则的取值范围是．【答案】【难度】0.4【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数【分析】令得，令，将函数的零点问题转化为的图象和直线的交点问题，利用导数判断出的单调性，结合图象可得答案.【详解】的定义域为，因为有两个极值点，所以函数在上有两个变号零点，令，则，即，所以，令，所以将函数的零点问题转化为的图象和直线的交点问题，求导得，令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，，则恒成立，所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以，又因为，则的图象如图所示，要使的图象和直线有两个交点，由图象知，即，所以的取值范围为．【变式训练4】、（2025·辽宁·三模）若是函数的极大值点，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.4【知识点】根据极值点求参数【分析】由题意可得是的变号零点，则可求出并通分化简后得到，再检验时，是否为函数的极大值点即可得.【详解】，由，则，，故恒成立，令，由是函数的极大值点，故，解得，当时，，则，，即且，，当时，，当时，，故在、上单调递增，在、上单调递减，故是函数的极大值点，符合要求.故选：A.【变式训练5】、（2024·全国·一模）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是．【答案】【难度】0.85【知识点】根据极值点求参数【分析】求出函数的导数，再探讨并求出极值点，列式求出范围.【详解】函数的定义域为，求导得，当时，，无极值点；当时，由，得，当时，，当时，，则是函数的极值点，依题意，，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：考点2利用导数求解函数最值命题点1不含参函数的最值例6、（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.85【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）【分析】利用导数判断函数的单调性，进而可求得最大值.【详解】，，，，即，在上单调递增，.故选：D.例7、（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若，求的值域．【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果；（2）利用导数与函数单调性间的关系，求出和的解集，即可求出函数的单调区间，再求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果.【详解】（1）由函数，可得，可得，且，所以切线的斜率为，切点为，则所求切线方程为．（2）由（1）得，当时，可得．当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增．而，所以函数的值域为．【变式训练6】、（2025·湖南·三模）已知是偶函数，则的最大值为.【答案】【难度】0.65【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由奇偶性求参数【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得，再由利用导数求得函数单调性可得其最大值.【详解】因为函数为偶函数，所以其定义域关于原点对称，易知定义域为，即，因此的解集为；即可得，所以；此时，经检验满足，符合题意；此时的定义域为，且，易知当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，可知在处取得极大值，也是最大值，即；所以的最大值为.故答案为：【变式训练7】、（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)若是的两个极值点，且，求a的最大值．【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最小值；（2）求导，得到是方程的两个正根，从而得到不等式，求出，由韦达定理整理得到，结合函数单调性得到，求出答案.【详解】（1）当时，，定义域为，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．（2）由题意知，函数的定义域为，求导得，因为是的两个极值点，所以是方程的两个正根，则有解得．且，而，所以，又，下面证明在上单调递增，理由如下：在上恒成立，故在上单调递增，易知，即，所以，故．命题点2含参函数的最值例8、（24-25高三下·广东梅州·周测）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设函数的最小值是2，求实数a的值．【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】（1）将代入求出，再由导数的意义求出切线的斜率，然后由点斜式得到直线方程即可；（2）求导后分和讨论，当时找到零点，由单调性可得函数的最值进而可求.【详解】（1）当时，，将代入得：，函数的导数为，曲线在点处切线的斜率为，因此，曲线在点处的切线方程为：，即：．（2）对求导：，①当时，恒有，于是在上单调递减，此时，无最小值；②当时，令，得，当都有在上单调递减；当都有在上单调递增因此在处取得最小值，依题意，，即：解得：．综上，当时，函数的最小值是2．例9、（2022·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【难度】0.65【知识点】由导数求函数的最值（含参）【分析】利用导数研究函数的极值和最值即可，这里需要用到的二阶导数【详解】由题，，，所以单调递增，又，所以，，故为最小值点，即，解得，故选：A【变式训练8】、（24-25高三上·安徽宿州·期末）若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数.【答案】【难度】0.4【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】根据题意，令，可知当时符合题意，利用导数可得函数的单调性和最小值，其中，令最小值大于或等于0，进而得解.【详解】由题意可知，令，当时，研究函数与的图象，因为，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，所以函数有最小值为，而为单调递减的直线，如图，此时不恒成立，不符合题意；当时，，令，，易知在上单调递减，在上单调递增，且由于函数有最小值为，所以当时，方程有解，设解为，则，且，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，由题意恒成立，所以，所以，当且仅当时取等号，此时.【点睛】关键点点睛：利用导数可知方程有解，设解为，则，从而表示出的最小值，进而求解.【变式训练9】、（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)讨论的单调性，并求最值.【答案】(1)(2)答案见解析【难度】0.85【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参）【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程；（2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值.【详解】（1）当时，，求导得：，则，，则在处的切线方程：，即；（2）由求导得：，①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值；②当时，由，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，在单调递增，所以在有最小值，为,无最大值.五、分层训练1．（24-25高三下·广东东莞·周测）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（

）

A．有2个极值点 B．在处取得极小值C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减【答案】C【难度】0.94【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、求已知函数的极值、函数极值点的辨析【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解.【详解】由导函数的图象可知，当时，，仅时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数只有一个极值大点，无极小值点，所以有极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确.故选：C.2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（

）A． B． C．0 D．【答案】A【难度】0.65【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值.【详解】函数的定义域为R，求导得，由是函数的极值点，得，解得，函数，，当或时，；当时，，所以函数的极小值.故选：A3．（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】根据极值求参数【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为，对分类讨论求出，验证即可.【详解】由题意，，则，令，解得或，当时，在，上满足，单调递增，在上满足，单调递减，所