2023年抽屉原理题库教师版

&8-2抽屉原理

即睚露目的

抽尼原理是一种特殊的思维措施，不仅可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同步可以协助同

学证明诸多看似复杂的问题。本讲的重要教学目的是：

1.理解抽屉原理的基本概念、基本使用方法；

2.掌握用抽屉原理解题口勺基本过程；

3.可以构造抽屉进行解题：

4.运用最不利原则进行解题；

5.运用抽屉原理与最不利原则解释并证明某些结论及生活中8勺某些问题。

一、知识点简介

抽屉原理有时也被称为鸽茏原理，它由德国数学家狄利克需首先明确提出耒并用来证明某些数论中的问

题，因此，也被称为狄利克雷原则.抽屉原理是组合数学中一种重要而又基本。勺数学原理，运用它可以

处理诸多有趣的问题，并且常常可以起到令人惊奇的作用.许多看起来相称复杂，甚至无从下手的问懑,

在运用抽屉原则后，能很快使问题得到处理.

二、抽屉原理的定义

(1)举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一种，有的可以放两

个，有口勺可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一种抽屉里面至少放两个苹果。

(2)定义

一般状况下，把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里，其中必然至少有一种抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案

（一）、运用公式进行解题

苹果:抽屉=商……余数

余数：（1）余数=1,结论：至少有（商+1）个苹果在同一种抽屉里

（2）余数=□匚I,结论：至少有（商+1）个苹果在同一种抽屉里

（3）余数=0,结论：至少有“商”个苹果在同一种抽屉里

（二）、运用最值原理解题

将题目中没有阐明fl勺量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简朴，也就是常说口勺极限思想“任我

意”措施、特殊值措施.

模块一、运用抽屉原理公式解题

（一）、直接运用公式进行解题

（1）求结论

只鸽子要飞进个笼子，每个笼子里都必须有只，一定有一种笼子里有只鸽子.对吗？

只鸽子要飞进个笼子，假如每个笼子装只，这样还剩余只鸽子.这只鸽子可以任意飞进其

中的一种兔子，这样至少有一种笼子里有只鸽子.因此这句话是对的的.

运用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，□,

□（只）把□个苹果放到□个抽屉中，每个抽屉中都要有□个苹果，那么肯定有一种抽屉中有两

个苹果，也就是一定有一种笼子里有□只鸽子.

【解析】把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你阐明至少有一种鱼缸放有两条或两条以上金鱼.

在口个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是口条金鱼；还剩余的一条，任意放在这口个鱼缸其中。勺任意一种

中，这样至少有一种鱼缸里而会放有两条金鱼.

【解析】教室里有5名学生正在做作业，目前只有数学、英语、语文、地理四科作业试阐明：这5名学

生中，至少有两个人在做同一科作业.

将5名学生看作5个苹果将数学、英语、语文、地理作业各当作一种抽屉，共4个抽屉由抽屉原理，一

定存在一种抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果.即至少有两名学生在做同一科口勺作业.

年级一班学雷锋小组有人.教数学的张老师说：“你们这个小组至少有个人在同一月过生

日.”你懂得张老师为何这样说吗？

先想一想，在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽屉？从题目可以看出，这道题显

然与月份有关.我们懂得，一年有□个月，把这□个月当作□个抽屉，这道题就相称于把□个

苹果放入□个抽屉中.根据抽屉原理，至少有一种抽屉放了两个苹果.因此至少有两个同学在

同一种月过生日.

【总结】题目中并没有阐明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造‘抽屉”，确

定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解.

【解析】数学爱好小组有13个学生，请你阐明：在这13个同学中，至少有两个同学属相同样.

属相共□个，把□个属相作为□个“抽屉”，口个同学按照自己H勺属相选择对应口勺“抽屉”，根据抽屉原

理，一定有一种“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相同样.

光明小学有名年出生的学生，请问与否有生日相似的学生？

一年最多有□天，把口天看作□个“抽屉”，将□名学生看作□个“苹果”.这样，把口个苹果

放进口个抽屉里，至少有一种抽屉里不止放一种苹果.这就阐明，至少有口名同学的生日相似.

【解析】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你阐明：至少会有两个面涂色相似.

五种颜色最多只能涂□个不一样颜色口勺而，由于正方体有口个而，尚有一种而更选择这五种颜

色中H勺任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一种面颜色相似，这样就有两

个面会被涂上相似日勺颜色.也可以把五种颜色作为□个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把

六个面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一种抽屉中有两个或两个以上日勺面，也就

是至少会有两个面涂色相似.

向阳小学有730个学生，问：至少有几种学生的生日是同一天？

一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果.由于口，因此，至少有1+1=2（个）

学生日勺生日是同一天.

【巩固】试阐明400人中至少有两个人的生日相似.

将一年中的366天或□天视为366个或□个抽屉，400个人看作400个苹果，从最极端的状况考虑，即每

个抽屉都放一种苹果，尚有□个或□个苹果必然要放到有一种苹果H勺抽屉里，因此至少有一种抽屉有至

少两个苹果，即至少有两人日勺生三相似.

【解析】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.

措施一：状况一：这三个小朋友，也许所有是男，那么必有两个小朋友都是男孩口勺说

法是对的的：

状况二：这三个小朋友，也许所有是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是对口勺

8勺；

状况三：这三个小朋友，也许其中口男□女那么必有两个小朋友都是女孩说法是对的的；

状况四：这三个小朋友，也许其中□男□女，那么必有两个小朋友都是男孩口勺说法是对的的.因此，三个

小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是对的的：

措施二：三个小朋友只有两种性别，因此至少有两个人口勺性别是相似的，因此必有两个小朋友都是男孩或

者都是女孩.

【解析】“六一”小朋友节，诸多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自碰到了许多熟人.试阐明：在游

园的小朋友中，至少有两个小朋友碰到的熟人数目相等.

假设共有□个小朋友到公园游玩，我们把他们看作□个“苹果”，再把每个小朋友碰到口勺熟人数

目看作“抽屉”，那么，口个小朋友每人碰到的熟人教目共有如下口种也许：0,1,2,……，□.

其中0。勺意思是指这位小朋友没有碰到熟人；而每位小朋友最多遇见□个熟人，因此共有□个“抽

屉”.下面分两种状况来讨论：

⑴假如在这口个小朋友中，有某些小朋友没有碰到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上口

个熟人，这样熟人数目只有□种也许：0,1,2,……，□.这样，“苹果”数（□个小朋友）超

过“抽屉”数（□种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们碰到的熟人数目相等.

⑵假如在这□个小朋友中，每位小朋友都至少碰到一种熟人，这样熟人数目只有口种也许：1,2,

3,……，口.这时，“苹果”数（□个小朋友）仍然黑过'‘抽屉”数（口种熟人数目），根据抽屉

原理，至少有两个小朋友，他们碰到的熟人数目相等.

总之，不管这口个小朋友各碰到多少熟人（包括没碰到熟人），必有两个小朋友碰到的熟人数目相

【解析】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中均有某些朋友，请你阐明：至少有两名同学,

他们的朋友人数同样多.

数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们均有朋友，因此每个同学

至少有1个朋友.因此，这20名同学中，每个同学。勺朋友数只有19种也许：1,2,

3,……,19.把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽

屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们日勺朋友人数同样多.

在任意的四个自然数中，与否其中必有两个数，它们的差能被整除？

由于任何整数除以口，其他数只也许是口，口，□三种情形.我们将余数的这三种情形当作是三个“抽

屉”.一种整数除以口口勺余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里.将四个自然数放入三个抽

屉，至少有一种抽屉里放了不止一种数，也就是说至少有两个数除以口的余数相似（需要对学生运用余数

性质进行解释：为何余数相似，则差就能被整除）.这两个数的差必能被□整除.

【解析】四个持续的自然数分别被除后，必有两个余数相似，请阐明理由.

想一想，不一样的自然数被□除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？

把这四个持续的自然数分别除以口，其他数不外乎是口，口，口，把这□个不一样8勺余数当作二个“抽屉”,

把这口个持续的自然数按照被口除的余数，分别放入对应a勺口人'‘抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个

自然数在同一种抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以口的余数相似.

【解析】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.

在与整除有关的问题中有这样8勺性质，假如两个整数a、b,它们除以自然数mH勺余数相似，那么它们8勺差

□是m口勺倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相似.我们

可以把所有自然数按被7除所得的7种不一样口勺余数0、1、2、3、4、5、6提成七类.也就是7个抽屉.任

取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一种抽屉中，也就是它们除以7H勺余数相似，因此这两个

数的差一定是7的倍数.

证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

把自然数按照除以5R勺余数提成5个剩余类，即5个抽屉.任取6个自然数，根据抽屉原理，至

少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以5的余数相似，因此它们口勺差是5的倍数。

（第八届《小数报》数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是

1时为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0时为第

10类.（1）任意取出6个互不一样类的自然数，其中一定有2个数的和是10时倍数吗？（2）

任意取出7个互不一样美的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？假如一定，请煎

药阐明理由；假如不一定，请举出一种反例.

（1）不一定有.例如1、2、3、4、5、10这6个数中，任意两个数日勺和都不是10的倍数.

（2）一定有.招■第1类与第9类合并，第2类与第8类合并，第3类与第7类合并，第4类与

第6类合并，制造出4公抽屉：把第5类、第10类分别看作1个抽屉，共6个抽雇.任意7个

互不一样类的自然数，放到这6个抽屉中，至少有1人抽屉里放2个数.由于7个数互不一样类，

所后来两个抽屉中每个都不也许放两个数.当两个互不一样类的数放到前4个抽屉的任何一种里

面时，它们口勺和一定是108勺倍数.

【解析】证明：任给12个不一样的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字

相似的两位数.

两位数除以11H勺余数有11种：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,按余数状况把所有两位数提成11

种,12个不一样的两位数放入11个抽屉，必然有至少2个数在同一种抽屉里，这2个数除以11口勺余数相

似，两者的差一定能整除11.两个不一样的两位数，差能被11整除，这个差也一定是两位教（如11,

22……），并且个位与十位相似.因此，任给12个不一样的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它

们的差是个位与十位数字相似8勺两位数.

【解析】任给11个数，其中必有6个数，它们口勺和是6B勺倍数.

设这11个数为口，口，口，....，匚］,由5个数H勺结论可知，在口，匚］,口，口，□中必有3

个数，其和为3日勺倍数，不妨设口；在口，口，口，口，□中必有3个数，其和为3口勺倍数，不

妨设口；在口，口，匚I,匚］,□中必有3个数，其和为3的倍数，不妨设口.又在口，口，口中

必有两个数的奇偶性相以，不妨设口，口的奇偶性相似，那么□是6日勺倍数，即口，匚I,口,匚I,

□,□的和是6的倍数.

在任意的五个自然数中，与否其中必有三个数附和是的倍数？

至多有两个数在同一种抽屉里，那么每个抽屉里均有数，在每个抽屉里各取一种数，这三个数被口除日勺

余数分别为口，口，□.因此这三个数之和能被□整除.综上所述，在任意口勺五个自然数中，其中必有三

个数H勺和是□的倍数.

【解析】任意给定个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是的倍数（单独一种数也当做和）.

把这个数先排成一行：口，口，匚....,口，

第1个数为4;

前2个数fl-J和为％+5；

前3个数口勺和为q+a2+%:

前个数。勺和为□.

假如这个和中有一种是的倍数，那么问题已经处理；假如这个和中没有8勺倍数，那么它们除以的

余数只能为1,2,……，之一，根据抽屉原理，必有两个和除以。勺余数相似，那么它们口勺差（仍

然是口，口，口，……，□中若干个数口勺和）是口勺倍数.因此结论成立.

【解析】20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题.证明：小明一定在持续口勺若干天内恰好

做了7道题目.

设小明第1天做了□道题，前2天共做了□道题，前3天共做了口道题，……,前14天共做了

□道题.显然口，而口〜□都不不小于20.考虑口，口，匚］,……，□及口，口，匚I,……，口

这28个数，它们都不超过27.

根据抽屉原理，这28个数中必有两个数相等.由于口，口，口，....，口互不相等，口，口，

□,……，口也互不相等，因而这两个相等的数只能一种在前一组，另一种在后一组中，即有：

□,因此□.这表明从第□天到第□天，小明恰好做了7道题.

【解析】求证：可以找到一种各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数.

,下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499口勺倍数.

取500个数：1,11,111,........,111........1（500个1）.用499清除这500个数，得到500个

余数口，匚］,匚］,…，□.由于余数只能取0,1,2,…，498这499个值，因此根据抽屉原则，

必有2个余数是相似的，这2个数日勺差就是499的倍数，差口勺前若干位是1,后若干位是0:

11-100-0.又499和10是互质的，因此它口勺前若干位由1构成的自然数是499的倍数，将它

乘以4,就得到一种各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数.

【解析】任意给定一种正整数，一定可以将它乘以合适的整数，使得乘积是完全由0和7构成的数.

考虑如下□个数：7,77,777,……，口，口，这□个数除以□的余数只能为0,1,2,……,□

中之一，共□种状况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以口的余数相似，不妨设为□和

□（□）,那么□是口的培数，因此□乘以合适的整数，可以得到形式为□口勺数，即由。和7构成

日勺数.

【解析】求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f,使得是105的倍

数.

.对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们H勺差是7的J倍数；在剩余的）6个数中，又可

选出2个数，使它们的差是5的倍数；在剩余的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3卧J倍

数.

【解析】任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数构成一种算式，使其得数为

105的倍数.

根据上一题口勺提醒我们可以写出下列数字谜二］使其成果为105口勺倍数，那么我们8勺思绪是使第一

种括亍里是7口勺倍数，第二个括早里是5的信数，第三个括手里是3口勺倍数，那么有于假如六个

数字里有7的倍数，那么第一种括号里直接做乘法即可，假如没有7H勺倍数，那么我们做如下抽

屉：

［除以7日勺余数是1或者是6}

（除以78勺余数是2或者是5}

（除以7□勺余数是3或者是4）那么六个数字肯定有两个数字在同一种抽屉里，那么看两个数假如

余数相似，做减法就可以得到7D勺倍数，假如余数不一样，做加法就可以得到7H勺倍数.

这样剩余H勺4个数中，同理可得背面的括号里也可以组合出5和3的倍数.于是本题可以证明.

（年中国台湾小学数学竞赛决赛（一）在张卡片上不反复地编上~,至少要随意抽出几

张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被整除？

,由于日勺倍数有个，因此不是依J倍数的数一共有（个），抽取这个数无法保证乘积是

的倍数，不过假如抽取个数，则必然存在一种数是向倍数，乂由于奇数只有个，因此抽取的

偶数至少有个，可以保证乘积是的倍数，从而可以保证乘积是的倍数。于是至少要抽取个

数（即：张卡片）才可以保证成果。

【解析】把1.2.3.…、10这十个数按任意次序排成一图，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不

不不小于17.

（法1）把这一国从某一种数开始按顺时针方向分别记为口、□、□、…、□.相邻的三

个数为一组，有口、匚］、口、…、口、口共10组.

这十组三个数之和的总和为：

,,根据抽屉原理，这十组数中至少有一组数日勺和不不不小于17.

（法2）在10个数中一定有一种数是1,不妨设口，除去□之外，把口、匚］、口、…、□这9个数

按次序分为三组口、□、□.由于这三组数之和的总和为：

,根据抽屉原理，这三组数中至少有一组数之和不不不小于17.

【解析】圆周上有个点，在其上任意地标上（每一点只标一种数，不一样的点标上不一样的数）.证

明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不不不小于

把这一圈从某一种数开始按顺时针方向分别记为口、口、口、…、□.相邻口勺三个数为

一组，有口、匚］、□、,,•、□、□共□组.

这口组三个教之和的总和为：

,根据抽屉原理，这两千组数中至少有一组数的和不不不小于2999.

【解析】证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者互相认识，或者互相不认识.

把这6个人看作6个点，每两点之间连一条线段，两人互相认识H勺话将线段涂红色，两人不认识口勺话将线

段涂上篮色，那么只需证明其中有一种同色三角形即可.从这6个点中随意选用一点口，从口点引出的5

条线段，根据抽屉原理，必有3条的颜色相似，不妨设有3条线段为红色，它们此外一种端点分别为口、

□、□,那么这三点中只要有两点例如说口、□之间的线段是红色，那么口、口、口3点构成红色三角形；

假如口、匚］、□三点之间日勺线我都不是红色，那么都是蓝色，这样口、匚1、口3点构成蓝色三角形，也符

合条件.因此结论成立.

【解析】平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上.证明：用这些点做顶点所构成的一切三角形中，

一定有一种三角形，它的最大边同步是此外一种三角杉的最小边.

我们先把题目解释一下.一般状况下三角形日勺三条边的长度是互不相等日勺，因此必有最大边和最

小边.在等腰三角形（或等边三角形中），会出现两条边，甚至三条边都是最大边（或最小边）.

我们用染色口勺措施来处;里这个问题.分两步染色：

第一步：先将每一种三沟形中的最大边涂上同一种颜色，例如红色；第二步，将其他H勺未涂色的

线段都涂上此外一种颜色，例如蓝色.

这样，我们就将所有三甬形的边都用红、蓝两色涂好.根据上题题日勺结论可知，这些三角形中至

少有一种同色三角形.由于这个同色三角形有自己口勺最大边，而最大边涂成红色，因此这个同色

三角形必然是红色三角形.由于这个同色三角形有自己的最小边，而这条最小边也是红色H勺，阐

明这条最小边必然是某个三角形的最大边.结论得证.

假设在一种平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后,

问你能不能找到一种由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？

从这6个点中随意选用一点口，从□点引出的5条线段，根据抽屉原理，必有3条B勺颜色相似，

不妨设有3条线段为红色，它们此外一种端点分别为口、口、口，那么这三点中只要有两点例如

说口、□之间口勺线段是红色，那么口、匚］、口3点构成红色三角形；假如口、匚］、口三点之间的

线段都不是红色，那么都是蓝色，这样口、口、口3点构成蓝色三角形，也符合条件.因此结论

成立.（可以拓展玩转数学）

【解析】平面上有17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干

个三角形.证明：一定有一种三角形三边的颜色相似.

从这17个点钟任取一种点口，把□点与其他16个点相连可以得到16条线段，根据抽屉原理，其

中同色。勺线段至少有6条，不妨设为红色.考虑这6条线段H勺除□点外。勺6个端点：

（1）假如6个点两两之间有1条红色线段，那么就有1个红色三角形符合条件；

⑵假如6个点之间没有红色线段，也就是全为黄色和蓝色，由上面口勺2题可知，这6个点中必有3个点，

它们之间的线段H勺颜色相似，那么这样的三角形就符合条件.

综上所述，一定存在一种三角形满足题目规定.

【解析】上体育课时，21名男、女学生排成3行7列H勺队形做操.老师与否总能从队形中划出一种长方形，

使得站在这个长方影4个角上口勺学生或者都是男生，或者都是女生？假如能，请阐明理由；假如

不能，请举出实例.

由于只有男生或女生两种状况，因此第1行日勺7个位置中至少有4个位直同性别.为了确定起见，不妨设

前4个位置同是男生，假如第二行的前4个位置有2名男生，那么4个角同是男生的状况已经存在，因此

我们假定第二行口勺前4个位置中至少有3名女生，不妨假定前3个是女生.又第三行的前3个位置中至少

有2个位置是同性别学生，当是2名男生时与第一行构成一种四角同性别的矩形，当有2名女生时与第二

行构成四角同性别的矩形.因此，不管怎样，总能从队形中划出一种长方形，使得站在这个长方形4个角

上1勺学生同性别.问题得证.

【解析】8个学生解8道题目.（1）若每道题至少被5人解出，请阐明可以找到两个学生，每道题至少被

过两个学生中的一种解出.（2）假如每道题只有4个学生解出，那么（1）的结论一般不成立.试

构造一种例子阐明这点.

（1）先设每道题被一人解出称为一次，那么8道题目至少共解出5口8二40次，分到8个学生身

上，至少有一种学生斛出了5次或5次以上题目，即这个学生至少解出5道题，称这个学生为

A,我们讨论如下4种也许：

第一种也许：若A只解出5道题，则另3道题应由其他7个人解出，而3道题至少共被解出

|3口5二15次，分到7个学生身上，至少有一名同学解出了3次或3次以上的题目（15=2口7+1,由

抽屉原则便知）由于只有3道题，那么这3道题被一名学生所有解出，记这名同学为B.那么,

每道题至少被A.B两名同学中某人解出.

第二种也许：若A解出6道题，则另2道题应由另7人解出，而2道题至少共被解出2X5=10次,

分到7个同学身上，至少有一名同学解出2次或2次以上的题目（10=1口7+3,由抽福原则便知）.

与I第一种也许I同理，这两道题必被一名学生所有解出，记这名同学为C.那么，每道题目至

少被A.C学生中一人解出.

第三种也许：^A解出7道题目，则另一题必由另一人解出，手此人为D那么，每道题目至少被To病

，学生中一人解出.

第四种也许：若A解出8道题目，则随意找一名学生，记为E,那《，每道题目至少被A、E两名学生中一

人解出，因此问题（1）得证..

（2）类似问题（1）中口勺想法，题目共被解出8口4=32次，可以使每名学生都解出4次，那么每人解出4道

题，随便找一名学生，必有4道未被他解出，这4道题共被7名同学解出4口4=16次，由于16=2X7+2,可

以使每名同学解出题目不超过3道，这样就无法找到两名学生，使每道题目至少被其中一人解出.

详细构造如下表，其中中文代表题号，数字代表学生，打J代表该位置对应H勺题目被该位置对应的学生

解出.

—二三四五六七A

1V7y

2yV7

37VV

4VyV

5V7VV

6J

7V7

8V77V

【解析】试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案.一群学生参与考试，成果是对于其中任何

3人，均有一种题目的答案互不相似.问参与考试的学生最多有多少人?

设总人数为A,再由分析可设第一题筛选用出H勺人数为口，第二题筛选的人数为口，第三题筛选用的人数

为二I,第四题筛选日勺人数为□.假如不能满足题目规定，则：口至少是3,即3个人只有两种答案.由于

□是□人做第四题后筛选用出的人数，则由抽屉原则知，

（两种答案）中至少放有□个苹果（即口=3,则A3至少为4,即4人只有两种答案.由于□是□人做

第三题后筛选口勺人数，则由抽屉原则知，将□个苹果放久三个抽屉（三种答案），那么必然有两个抽屉（两

种答案）中至少放有□个苹果（即口）.□二□二4,则□至少为5,即5人只有两种答案.同理，有□二□二5

则□至少为7,即做完第一道题必然有7个人只有两种答案；则有□:口:7.则□至少为10,即当有10人

参与考试时无法满足题目H勺规定.考虑9名学生参与考试，令每人答题状况如下表所示（中文表达题号，数

字表达学生）.故参与考试口勺学生最多有9人.

123456789

—AAABBBCCC

二ABcABCABC

=

ABcBCACAB

四ABcCABBCA

（2）求抽屉

把十只小兔放进至多几种笼子里，才能保证至少有一种笼里有两只或两只以上的小兔？

要想保证至少有一种笼里有两只或两只以上口勺小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根

据抽屉原理，要把□只小兔放进口个笼里，才能保证至少有一种笼里有两只或两只以上H勺小兔.

把125本书分给五⑵班的学生，假如其中至少有一种人分到至少4本书，那么，这个班最多有多

少人？

本题需规定抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”状况的结合，最坏H勺状况是只有1个人分

到4本书，而其他同学都只分到3本书，则口，因此这个班最多有：□（人）（处理余数很关键，假

如有42人则不能保证至少有一种人分到4本书）.

某次选拔考试，共有1123名同学参与，小明说：“至少有10名同学来自同一种学校.”假如他的说法是

对的的，那么最多有多少个学校参与了这次入学考试？

本题需规定抽屉的数量，反用抽屉原理和最“坏”状况的结合，最坏8勺状况是只有10个同学来自同一种

学校，而其他学校都只有9名同学参与，则口，因此最多有：口个学校（处理余数很关键，假如有125个

学校则不能保证至少有10名同学来自同一种学校）

【解析】100个革果最多分给多少个学生，能保证至少有一种学生所拥有的苹果数不少于12个.

从不利的方向考虑：当分苹果的学生多出某一种数时，有也许使每个学生分得的学生少于12个,

求这个数.100个按每个学生分苹果不多于11个（即少于12个）苹果，至少也要分10人（9人

11个苹果，尚有一人一种草果），否则9X11V100,因此只要分苹果日勺学生不多出9人就能使保

证至少有一种学生所拥有的苹果数不少于12个（印多于11个）.答案为9.

【解析】某班有16名学生，每月教师把学生提成两个小组.问至少要通过几种月，才能使该班的任意两

个学生总有某个月份是分在不一样的小组里？

通过第一种月，将16个学生提成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生.

通过第二个月，将这8个学生提成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生.

通过第三个月，将这4个学生提成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这阐明只通过3个月是无法满足

题目规定8勺.假如通过四个月，将每月都一直保持同组的学生一分为二，放入两个组，那么第一种月保持

同组口勺人数为16=2=8人，第二个月保持同组的人数为8:2=4人，第三个月保林同组人数为4=2=2人，

这匈明照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目规定，故至少要通过4个月.

（3）求苹果

【解析】班上有名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一种小朋友能得到

不少于两本书？

【解析】把□名小朋友当作□个“排屉”，书作为物品.把拈放在□个抽屉中，要想保证至少有一种业屉

中有两本书，根据抽屉原理，书口勺数目必须不小于□，而不小于口日勺最小整数是口，因此至少

要拿□本书.

班上有名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一种小朋友能得到不少于两

本书？

老师至少拿□本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一种小朋友能得到不少于两本书.

有只鸽笼，为保证至少有只鸽笼中住有只或只以上的鸽子.请问：至少需要有几只鸽子？

有口只俏笼，冬个笼子住□只鸽子，一共就是□只.要保证至少有□只鸽笼中住有口只或口只以上口勺鸽

子,那么至少需要口只鸽子，这多出。勺□只鸽子会住在这口个任意一种笼子里.这样就有□个笼子里住着

□只鸽子.因此至少需要□只鸽子.

三年级二班有名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同步借两本

书？

把□名同学看作□个抽屉，根据茄屉原理，要使至少有一种抽屉里有两个苹果，那么就要使革果的个数

不小于抽屉的数量.因此，“图书角”至少要准备□本课外书.

海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在厘米到厘米之间（包括厘米到厘米），那么，

至少从多少个学生中保证能找到个人的身高相似？

陷阱：此前日勺题基本全是□个人的，而这里出现□个人，那么，就“从倍数关系选"。认真思索，此题中

应把什么看作抽屉？有几种抽屉？

在□厘术至□厘术之间（包括□厘米到□厘木）共有□个整厘木数，把这口个整厘术数看作□个抽屉，每

个抽屉中放□个整厘米数，就要□个整厘米数，假如再取出一种整厘米数，放入对应H勺抽电中，那么这

个抽屉中便有□个整厘米数，也就是至少找出口个学生，才能找到□个人的身高相似.

一次数学竞赛出了10道选择题，评分原则为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不

得分。问：要保证至少有4人得分相似，至少需要多少人参与竞赛？

由题目条件这次数学竞赛H勺得分可以从1070二。分到10+3X10=40分，但注意到39、38、35这3个分数

是不也许得到的，要保证至少有4人得分相似，至少需要3X（41-3）+1=115人.

【解析】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测脸共有10道问答题，每题的评分原则是：回答完全

对的，得5分；回答不完全对的，得3分，回答完全错误或不回答，得。分.至少—人参与这

次测验，才能保证至少有3人得得分相似.

根据评分原则可知，最高得分为50分，最低得分为。分，在。〜50分之间，1分，2分，4分，7分，47

分，49分不也许出现.共有口（种）不一样得分.根据抽屉原理，至少有口（人）参赛，才能保证至少有

3人得分相似.

（二）、构造抽屉运用公式进行解题

在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪颖和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从

口袋中随意取出个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜包完全同样.

你能阐明这是为何吗？

从三种颜色H勺球中挑选两个球，也许状况只有下面□种：

红、红；黄、黄；蓝、盅；红、黄；红、蓝；黄、蓝，

我们把□种搭配方式当作□个“抽屉”，把□个小朋友当作□个“苹果”，根据抽屉原理，至少

有两个“苹果”要放进一种“抽屉”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全同样.

【解析】在一只口袋中有红色与黄色球各4只，既有4个小朋友，每人从口袋中任意取出2个小球，请你

证明：必有两个小朋友，他们取出的两个球的颜色完全同样.

小朋友从口袋中取出B勺两个球的颜色的构成只有如下3种也许：红红、黄黄、红黄，把这3种状

况看作3个“抽屉”，把4位小朋友看作4只“苹果”，根据抽屉原理，必有两个小朋友取出的

两个球口勺颜色完全同样.

篮子里有苹果、梨、桃和枯子，既有若干个小朋友，假如每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有

多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相似的？

首先应弄清不一样的水果搭配有多少种.两个水果是相似H勺有4种，两个水果不一样有6种：苹果和梨、

苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子.因此不一样口勺水果搭配共有口（种）.将这10种

搭配作为10个“抽屉”.由抽屉原理知至少需□个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相似的

学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，既有位小朋友前来借阅,

每人都借了本.请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？

每个小朋友都借口本有三种也许：数数，英英，数英.第□个小朋友无论借什么书，都也许是这三种状况

中为一种，这样就有两个同学借8勺是同一类书，因此可以保证，至少有□位小朋友，他们所借阅的两本

书属于同类.

总结：此题如用简朴乘法原理的话，有难度，由于波及到简朴加法原理，因此推荐使用列表法。与之前不

一样的是，本题借阅的书只说了两本并没说其他规定，因此可以拿口本同样的书.

【解析】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借

两本不一样类的书，至少借一本.试阐明：必有两个学生所借的书的类型相似

设不一样H勺类型书为A、B、C、D四种，若学生只借一本书，则不一样的类型有A、B、C、D四种：

若学生借两本不一样类型的书，Q"不一样的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种.共有10种类型，把这

10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”.假如谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，

由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借H勺书的类型相似.

幼稚园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选抒两件，但不能是同样的，问：至少有多少

个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相似？

从四种玩具中挑选不一样日勺两件，所有。勺搭配有如下□组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、狗；

羊、狗.把每一组搭配看作一种“抽屉”，共□个抽屉.根据抽屉原理，至少要有□个小朋友去拿，才能

保证有两人所拿玩具相似.

体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，规定每个人至少拿一种，

最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全同样的？

以拿球配组a勺方式为抽屉，每人拿一种或两个球，因此抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、

足排、足篮、排篮共9种状况，即有9个抽屉，则：□,□,即至少有8名同学所拿球口勺种类是

同样亥J.

幼稚园买来诸多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不一样的，那么至少要

有几种小朋友才能保证有两人选的玩具是相似的？

根据题意列下表：

小汽车小火车小飞机

第一个小朋友V

第二个小朋友

第三个小朋友■7

第四个小朋友

有Z］个小朋友就有三种不一样的选择措施，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么