2022年广西桂林中考数学复习训练：第18讲 解直角三角形(含答案)

第十八讲解直角三角形1．(2021·贵港覃塘区期末)已知α为锐角，且sin(90°－α)＝eq\f(1,2)，则α的度数是(C)A．30°B．45°C．60°D．75°2．(2021·崇左期末)已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，则下列式子中正确的是(A)A．sinA＝eq\f(5,7)B．sinB＝eq\f(5,7)C．tanA＝eq\f(2\r(6),5)D．tanA＝eq\f(5,7)3．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝(B)A．eq\f(\r(2),6)B．eq\f(\r(26),26)C．eq\f(\r(26),13)D．eq\f(\r(13),13)4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cosA＝eq\f(4,5)，则BD的长度为(C)A．eq\f(9,4)B．eq\f(12,5)C．eq\f(15,4)D．45.(2021·重庆中考)如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)为i＝1∶2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为(D)(参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19)A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米6．(2021·湖州中考)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是__eq\f(1,2)__．7．(2021·武汉中考)如图，海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是__10.4__nmile(eq\r(3)≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1).8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，请根据下面的条件解直角三角形．(1)a＝10，∠A＝45°.(2)b＝7，c＝7eq\r(5)(角度精确到0.01°).【解析】(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝45°，∴b＝a＝10，∴c＝10eq\r(2).(2)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝7，c＝7eq\r(5)，∴a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(（7\r(5)）2－72)＝14，∴tanB＝eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，∴∠B≈26.57°，∴∠A＝90°－∠B＝63.43°.9．(2021·成都中考)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°(点A，D与N在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN的长．(结果精确到1米；参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)【解析】延长BC交MN于点H，DA＝BE＝3.5米，设MH＝x米，∵∠MEC＝45°，故EH＝x米，在Rt△MHB中，tan∠MBH＝eq\f(MH,EH＋BE)＝eq\f(x,x＋3.5)≈0.65，解得x＝6.5，则MN＝1.6＋6.5＝8.1≈8(米)，∴电池板离地面的高度MN的长约为8米．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝eq\f(1,2)，则tanB等于(C)A．eq\r(3)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(3),3)D．2eq\r(3)11.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D.通过测量可得AB，BD，AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是(A)A．sinA＝eq\f(BD,AB)B．cosA＝eq\f(AB,AD)C．tanA＝eq\f(AD,BD)D．sinA＝eq\f(AD,AB)12．(2021·长春中考)如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A，B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度(BC的长)为(A)A．30sinα米B．eq\f(30,sinα)米C．30cosα米D．eq\f(3,cosα)米13．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，则(sinθ－cosθ)2＝(A)A．eq\f(1,5)B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(9,5)14．(2021·乐山中考)如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长＝__eq\f(5,2)eq\r(3)__米．(结果保留根号)【核心素养题】(2021·连云港中考)我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m.(1)如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°.求点O到岸边DH的距离；(2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．(参考数据：sin37°＝cos53°≈eq\f(3,5)，cos37°＝sin53°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4)，sin22°≈eq\f(3,8)，cos22°≈eq\f(15,16)，tan22°≈eq\f(2,5))【解析】(1)如图1，过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于点E，则AE⊥BF，垂足为E，由cos∠BAE＝eq\f(AE,AB)，∴cos22°＝eq\f(AE,4.8)，∴eq\f(15,16)＝eq\f(AE,4.8)，即AE＝4.5(m)，∴DE＝AE－AD＝4.5－0.4＝4.1(m)，由sin∠BAE＝eq\f(BE,AB)，∴sin22°＝eq\f(BE,4.8)，∴eq\f(3,8)＝eq\f(BE,4.8)，即BE＝1.8(m)，∴BF＝BE＋EF＝1.8＋1.2＝3(m)，又tan∠BCF＝eq\f(BF,CF)，∴tan37°＝eq\f(3,CF)，即CF＝4(m)，∴CH＝CF＋HF＝CF＋DE＝4＋4.1＝8.1(m)，即点O到岸边的距离为8.1m；(2)如图2，过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，则AM⊥BN，垂足为M，由cos∠BAM＝eq\f(AM,AB)，∴cos53°＝eq\f(AM,4.8)，∴eq\f(3,5)＝eq\f(AM,4.8)，即AM＝2.88(m)，∴DM＝AM－AD＝2.88－0.4＝2.48(m)，由sin∠BAM＝eq\f(BM,AB)，∴sin53°＝eq\f(BM,4.8)