第1章 丰富的图形世界（全章知识梳理与考点分类讲解）（教师版）-北师大版(2024)七上

丰富的图形世界（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】生活中的立体图形 1.立体图形定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等.2.常见的立体图形及分类：3.点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系.此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.【知识点二】从立体图形到平面图形1.简单立体图形的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．【要点提示】(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．2.从不同方向看从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】常见的立体图形及构成【例1】（2021七年级上·全国·专题练习）如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的．【答案】见解析．【分析】根据生活中常见的几何体的特征进行求解即可得到答案．解：图①是由底面完全重合的圆锥和圆柱组合而成的；图②是由底面完全重合的两个圆锥组合而成的；图③是由完全相同的四个正方体组合而成的．【点拨】本题主要考查了立体图形中的几何体，解题的关键在于能够熟练掌握常见的几何体的特征．【变式1】（20-21七年级上·广西贵港·期末）下面四个立体图形中，只由一个面就能围成的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据各立体图形的构成逐项判断即可.解：A、六棱柱是由8个面构成的，此项不符合题意；B、四面体是由4个面构成的，此项不符合题意；C、球是由一个曲面组成，此项符题意D、圆柱体是由两个底面和一个侧面组成，故选：C．【点拨】本题考查了立体图形的特点，掌握常见几何体的形状以及构成是解题关键.【变式2】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下列几何体中，属于柱体的有（填序号）．【答案】①②③⑤【分析】本题考查认识立体图形，根据柱体的特征进行判断即可．解：棱柱的两个底面是形状、大小相同的多边形，侧面是长方形，因此①③⑤是棱柱，而②是圆柱，④是圆锥，⑥是球，属于柱体的有①②③⑤．故答案为：①②③⑤．【题型2】立体图形的分类【例2】下列是我们常见的几何体，按要求将其分类（只填写编号）．（1）如果按“柱、锥、球”来分，柱体有______，锥体有______，球有______；（2）如果按“有无曲面”来分，有曲面的有______，无曲面的有______．【答案】(1)①②⑥；③④；⑤(2)②③⑤；①④⑥【分析】（1）根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑．（2）根据面的形状特征考虑．解：（1）∵（1）是四棱柱，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）是棱锥，（5）是球，（6）是三棱柱，∴柱体有（1），（2），（6），锥体有（3），（4），球有（5），故答案为：（1），（2），（6）；（3），（4）；（5）；（2）∵（2）（3）（5）有曲面，其它几何体无曲面，∴按“有无曲面”来分，有曲面的有（2），（3），（5），无曲面的有：（1），（4），（6），故答案为：（2），（3），（5）；（1），（4），（6）．【点拨】本题考查了认识立体图形，解决本题的关键是认识柱体的形状特征．【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了认识立体图形，几何体的分类，棱柱的定义。有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．根据棱柱的定义判定即可．解：从左到右依次是长方体，圆柱，四棱柱，棱锥，圆锥，三棱柱．所以属于棱柱有长方体，四棱柱，三棱柱，共3个．故选：C．【变式2】（20-21七年级上·山东青岛·阶段练习）将下列几何体分类用序号填空：(1)按有无曲面分类：有曲面的是，没有曲面的是；(2)按柱体、锥体、球体分类：柱体的是，锥体的是，球体的是．【答案】②③④①⑤⑥①③⑤④⑥②【分析】(1)根据曲面和没有曲面的特征进行求解即可；(2)根据柱体，锥体和球体的定义进行求解即可．解：(1)按有无曲面分类：有曲面的是②③④，没有曲面的是①⑤⑥，故答案为：②③④；①⑤⑥；(2)按柱体，锥体，球体分类：柱体的是①③⑤，锥体的是④⑥，球体的是②．故答案为：①③⑤；④⑥；②．【点拨】本题主要考查了几何体的分类的有关知识．正确把握相关定义是解题关键．【题型3】立体图形点、线、面、棱及其关系【例3】（20-21七年级上·全国·单元测试）如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．（1）数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表：图形①②③④顶点数（V）边数（E）区域数（F）（2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系；（3）如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数．【答案】（1）见表格解析；（2）V＋F＝E＋1；（3）30.【分析】（1）根据图中的四个平面图形数出其顶点数、边数、区域数得出结果；（2）根据表（1）数据总结出归律；（3）根据题（2）的公式把20个顶点和11个区域代入即可得平面图形的边数．解：（1）结和图形我们可以得出：图①有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域；图②有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域；图③有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域；图④有10个顶点、15条边、这些边围成6区域．（2）根据以上数据，顶点用V表示，边数用E表示，区域用F表示，他们的关系可表示为：V+F=E+1；（3）把V=20，F=11代入上式得：E=V+F﹣1=20+11﹣1=30．故如果平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为30．【点拨】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法不正确的是（）A．篮球的表面、水桶的侧面都是曲面B．正方体有八个顶点，经过每个顶点有两条面与面的交线C．晴朗的夜空中一颗流星划过，给我们留下一条美丽的亮线，这说明点动成线D．在中国地图上，锦州可被看作一个点【答案】B【分析】本题考查生活中的立体图形，掌握点、线、面的概念是解题关键．首先根据面有平面和曲面之分，由篮球的表面、水桶的侧面都不在同一平面，判断A；由正方体的特点，面与面相交形成线，判断B；然后根据点动成线，判断C；在地图上，用点表示位置，判断D．解：A．篮球的表面、水桶的侧面都是曲面，故不符合题意；B．正方体有八个顶点，经过每个顶点有3条面与面的交线，故符合题意；C．晴朗的夜空中一颗流星划过，给我们留下一条美丽的亮线，这说明点动成线，故不符合题意；D．在中国地图上，锦州可被看作一个点，故不符合题意．故选：B．【变式2】（23-24六年级上·山东威海·期末）直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成了圆锥，这种现象说明了．【答案】面动成体【分析】本题主要考查了点、线、面、体的关系，解题的关键在于熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体．根据点动成线，线动成面，面动成体进行解答即可．解：直角三角板绕它的直角边旋转一周，形成了一个圆锥体，这说明了面动成体，故答案为：面动成体．【题型4】立体图形到平面图形——图形的展开与折叠【例4】（23-24六年级上·山东威海·期末）张明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．

（1）共有______种弥补方法；（2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；（3）在你帮忙在设计成功的图中，把2，3，4，5，6，7这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上）【答案】(1)4(2)画图见解析(3)画图见解析【分析】（1）根据正方体展开图的特点：中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形，而符合图中样式的有四种，据此可得到弥补方法；（2）正方体共有11种展开图，本题可根据（1）中的添补方法，画出完整的展开图；（3）根据，把各数填到展开图中相对的面上即可．解：（1）由正方体的展开图型特点，可得共有4种弥补方法；（2）设计其中一个顶盖，使其成为一个完整的正方体盒子，如图所示，即是一个完整的正方体盒子，

答案不唯一；（3）把2，3，4，5，6，7这些数字分别填入六个小正方形中，使折成的正方体相对面上的两个数相加的和相等，如图所示，折成的正方体盒子相对面上的两个数相加都得9，

答案不唯一；【变式1】（2024·河北张家口·三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（

）A．点数1的对面是面 B．点数2的对面是面C．，两个面的点数和为9 D．，两个面的点数和为6【答案】C【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据同行隔一个，确定出相对面，再进行判断即可．解：由图可知：点数1的对面是面，故的点数为；点数的对面是面，故的点数为；点数的对面是面，故的点数为，∴，两个面的点数和为9，，两个面的点数和为8；故选C．【变式2】（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，正方体中每个面印有不同数字，在展开图中的值可以等于3的是．【答案】或【分析】本题主要考查了正方体的展开图，根据正方体的表面展开图，同时与1，2相连的两个面是展开b或c，即可解答．解：同时与相连的两个面是展开或，则图中的值可以等于3的是或故答案为：或．【题型5】立体图形到平面图形——立体图形的截面【例5】（22-23七年级上·山东济宁·期中）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．（1）根据要求填写表格面数（f）顶点数（v）棱数（e）图1______914图268______图37______15（2）猜想f，v，e三个数量间有何关系．（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2021个，棱数4041条，试求出它的面数．【答案】(1)7，12，10(2)(3)2022【分析】（1）观察3个图形，直接填写表格，即可求解；（2）根据（1）中的结果，即可得到f，v，e之间的数量关系；（3）把，代入（2）中的结论，即可．解：（1）解：根据题意，填写表格如下：面数（f）顶点数（v）棱数（e）图17914图26812图371015（2）解：根据图1得：，根据图2得：，根据图3得：，由此猜想f，v，e三个数量间为；（3）解：因为，，，所以，所以，即它的面数是2022．【点拨】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律【变式1】（2024·四川成都·一模）用一个平面去截下列几何体，截面可能是矩形的几何体是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了截一个几何体：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．根据一个几何体有几个面，则截面最多为几边形解题即可．解：用一个平面去截棱柱，截面可能是矩形．故选A．【变式2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆柱的高为h，底面直径为d，用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个圆柱，得到的截面是一个正方形，那么hd（填“”、“”、“”、“”或“”）【答案】≤【分析】本题考查圆柱的截面．用一个垂直于圆柱底面的平面去截圆柱时，得到的截面是长方形，长为圆柱的高，宽最多为底面直径（若截面过底面直径，则截面的宽为底面直径，若截面不过底面直径，则截面的宽小于底面直径）．根据截面是正方形即可解答．解：用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个圆柱，得到的截面是一个正方形，圆柱的底面直径d与圆柱的高h之间的关系为，即．故答案为：≤【题型6】立体图形到平面图形——从不同方向看【例6】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图，若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体．请画出这个几何体的三视图；（2）若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体．如图是从上面看到的这个几何体的形状，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．【分析】此题考查了几何体的三视图画法．解题的关键是由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．解：（1）如图所示（2）如图所示【变式1】（23-24七年级上·河南平顶山·开学考试）用5个小正方体搭成一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个图形不可能是（）A． B． C．【答案】A【分析】本题考查由三视图判定几何体，解题的关键是理解三视图的定义，利用俯视图，写出小正方体的个数，可得结论．解：A．从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠左边，与已知不符合，故本选项符合题意；B．从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠右边，符合已知的，从上面两排，其中1个的靠最左侧，符合，故本选项不符合题意；C．从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠右边，符合已知的，从上面两排，其中1个的靠最左侧，符合，故本选项不符合题意；故选：．【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期中）用小立方块搭一个几何体，如图是从正面和上面看到的几何体的形状图，最多需要个小立方块，最少需要个小正方块．【答案】1912【分析】本题考查了由三视图判断几何体，关键是从正面看与从上面看结合起来．从两个方向看结合起来，几何体从左往右，找到每列的最少数与最多数，即可得结果．解：从两个方向看结合起来，几何体从左往右，第一列最少5个，最多9个；第二列最少3个，最多4个；第三列最少4个，最多9个，则最少（个），最多（个）；故答案为：19，12．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·山东济宁·中考真题）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（

）A．人 B．才 C．强 D．国【答案】D【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“Z”型首尾是相对的面，根据这一特点作答．解：由图可得，有“建”字一面的相对面上的字是“国”，故选：D．【例2】（2022·湖南常德·中考真题）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是．【答案】月【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”．故答案为：月．【点拨】此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键．2、拓展延伸【例1】（23-24六年级下·全国·假期作业）将数字，8，9，11书写在每一枚骰子的6个表面上，做成6枚一样的骰子，分别取3枚同样的这种骰子叠放成如图所示的A和B两个柱体，问柱体A和柱体B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？说明你的理由．【答案】柱体A36；柱体B31，见解析【分析】根据柱体发现，与相邻的面的数是，，8，9，得和11相对；与相