中科院群论考试题及答案

中科院群论考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪个集合对于普通加法运算构成群？A.正整数集B.整数集C.有理数集（除去0）D.无理数集答案：B2.群\(G\)中元素\(a\)的阶为\(n\)，则\(a^m\)的阶是（）A.\(m\)B.\(n\)C.\(\frac{n}{(m,n)}\)D.\((m,n)\)答案：C3.若群\(G\)是阿贝尔群，\(a,b\inG\)，则\((ab)^n\)等于（）A.\(a^nb^n\)B.\(b^na^n\)C.\(ab^n\)D.\(a^nb\)答案：A4.对称群\(S_3\)的阶是（）A.3B.6C.9D.12答案：B5.群\(G\)的子群\(H\)，\(G\)关于\(H\)的左陪集个数与右陪集个数（）A.一定不相等B.一定相等C.有时相等有时不相等D.无法确定答案：B6.群\(G\)中单位元\(e\)的阶是（）A.1B.0C.无限D.与群\(G\)有关答案：A7.若\(G\)是群，\(a\inG\)，\(a^2=e\)，则（）A.\(a=e\)B.\(a\)的阶为2C.\(G\)是阿贝尔群D.\(G\)是有限群答案：B8.循环群\(G=\langlea\rangle\)，\(|G|=n\)，则\(G\)的生成元个数为（）A.\(\varphi(n)\)（欧拉函数）B.\(n\)C.\(n-1\)D.1答案：A9.以下哪个不是群的性质（）A.封闭性B.结合律C.交换律D.存在逆元答案：C10.群\(G\)中，若\(a,b\inG\)，则方程\(ax=b\)在\(G\)中有（）个解。A.0B.1C.2D.无数答案：B二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些集合对于特定运算能构成群（）A.全体实数集对于普通乘法运算B.全体非零实数集对于普通乘法运算C.全体\(n\)阶可逆矩阵对于矩阵乘法运算D.全体\(n\)阶矩阵对于矩阵加法运算答案：BCD2.群\(G\)的子群\(H\)的性质有（）A.\(H\)对\(G\)的运算封闭B.\(H\)有单位元C.\(H\)中元素在\(G\)中的逆元也在\(H\)中D.\(|H|\)整除\(|G|\)答案：ABCD3.对称群\(S_n\)的性质包括（）A.\(S_n\)的阶为\(n!\)B.\(S_n\)是置换群C.\(S_n\)中元素都是双射D.\(S_n\)一定是阿贝尔群答案：ABC4.关于群中元素的阶，以下说法正确的是（）A.元素\(a\)的阶为\(n\)，\(a^k\)的阶为\(\frac{n}{(k,n)}\)B.若\(a\)的阶为有限，则\(a^m=e\)当且仅当\(n\midm\)（\(n\)是\(a\)的阶）C.单位元的阶为1D.群中元素阶可能为无限答案：ABCD5.循环群的特点有（）A.一定是阿贝尔群B.由一个元素生成C.所有子群都是循环群D.阶一定是有限的答案：ABC6.群同态\(\varphi:G_1\toG_2\)具有以下性质（）A.\(\varphi(e_1)=e_2\)（\(e_1,e_2\)分别是\(G_1,G_2\)的单位元）B.\(\varphi(a^{-1})=(\varphi(a))^{-1}\)C.\(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)D.若\(\varphi\)是双射，则\(\varphi\)是群同构答案：ABCD7.有限群\(G\)的性质有（）A.元素个数有限B.子群个数有限C.每个元素的阶有限D.一定是循环群答案：ABC8.群\(G\)中陪集的性质包括（）A.左陪集\(aH\)与右陪集\(Ha\)元素个数相同B.不同的左陪集不相交C.\(G\)是所有左陪集的并集D.左陪集\(aH=bH\)当且仅当\(a^{-1}b\inH\)答案：ABCD9.以下哪些是群的同构定理（）A.第一同构定理B.第二同构定理C.第三同构定理D.第四同构定理答案：ABC10.群\(G\)的中心\(Z(G)\)具有性质（）A.\(Z(G)\)是\(G\)的子群B.\(Z(G)\)中元素与\(G\)中所有元素可交换C.若\(G\)是阿贝尔群，则\(Z(G)=G\)D.\(Z(G)\)一定是循环群答案：ABC三、判断题（每题2分，共10题）1.任意集合对于某种运算都能构成群。（×）2.群中元素的逆元是唯一的。（√）3.阿贝尔群的子群一定是阿贝尔群。（√）4.对称群\(S_n\)一定不是阿贝尔群。（×，\(n=1,2\)时\(S_n\)是阿贝尔群）5.循环群一定是有限群。（×）6.群同态一定是双射。（×）7.群\(G\)的两个子群的并集一定是\(G\)的子群。（×）8.若\(a\)在群\(G\)中的阶为\(n\)，则\(a^n=e\)。（√）9.有限群\(G\)中，元素的阶一定整除群\(G\)的阶。（√）10.群\(G\)的正规子群\(N\)，对于任意\(g\inG\)，\(gN=Ng\)。（√）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述群的定义。答案：非空集合\(G\)，在\(G\)上定义一个二元运算\(\cdot\)，满足封闭性、结合律，存在单位元\(e\)，\(\foralla\inG\)，存在\(a\)的逆元\(a^{-1}\)，则\((G,\cdot)\)是群。2.说明循环群的定义及分类。答案：若群\(G\)中存在一个元素\(a\)，使得\(G=\langlea\rangle\)，即\(G\)中任意元素都可写成\(a^n\)（\(n\inZ\)）的形式，\(G\)是循环群。分类：有限循环群和无限循环群。3.简述群同态基本定理。答案：设\(\varphi:G_1\toG_2\)是群同态，\(Ker\varphi\)是\(\varphi\)的核，则\(G_1/Ker\varphi\congIm\varphi\)，即商群\(G_1/Ker\varphi\)与同态像\(Im\varphi\)同构。4.什么是群的陪集？答案：设\(H\)是群\(G\)的子群，\(a\inG\)，则\(aH=\{ah|h\inH\}\)称为\(H\)关于\(a\)的左陪集，\(Ha=\{ha|h\inH\}\)称为\(H\)关于\(a\)的右陪集。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论阿贝尔群与非阿贝尔群在结构和性质上的主要差异。答案：阿贝尔群运算满足交换律，结构相对简单规则。子群性质良好，如子群的乘积仍为子群。非阿贝尔群运算不满足交换律，结构复杂，存在不可交换元素，共轭类等概念更复杂，正规子群判定也不同。2.探讨群的同态与同构在研究群结构中的重要性。答案：同态能将一个群的部分结构性质传递到另一个群，通过核与像研究群间联系。同构则表明两个群结构完全相同，可将已知群结构和性质应用到同构群上，简化研究，是理解群本质结构的关键工具。3.分析有限群中拉格朗日定理的意义及应用。答案：拉格朗日定理指出有限群\(G\)的子群\(H\)的阶\(|H|\)整除\(G\)的阶\(|G|\)。意义在于揭示群与子群阶数关系。应用：判断子群存在性，分析群结构，如确定元素阶数的可能值，推导群的分类等。4.讨论循环群的