2025年考研数学线性代数核心考点与特性解析

线性代数（经管类）重点难点指导

线性代数这门课程的概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容互相纵横交错，知

识前后紧密联络。下面就对线代每章中某些详细知识点以及重要性质作如下总结：

一、行列式

行列式的关键内容是求行列式，包括详细行列式的计算和抽象行列式的计算，其中详

细行列式的计算乂有低阶和〃阶两种类型。重要措施是应用行列式按行或者列展开定理和

化为上下三角行列式求解，还也许用到的措施包括：行列式的定义（〃阶行列式的值为取

自不一样行、不一样列的〃个元素的乘积的代数和）、性质|A|=444（其中4为矩

阵A的特性值）、行列式的性质。对于抽象行列式的求值，重要在于考虑A7、A"、A-1

等的有关性质。

二、矩阵

矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵、矩阵的秩等重要概念外，重要也是运

算，其运算分两个层次，一是运用矩阵的性质对抽象矩阵进行运算，二是详细矩阵的数值

运算。矩阵计算中最重要的工具是初等变换。下面的表格分类列出了47、A*、A"的性质

以供区别记忆（4为A的特性值）：

行列式性质特性值性质运算性质秩的性质

(A')。

与A的特性(M)T=kA1'

Ar值相似

(ABY="A'r(A)=r(Ar)=r(ArA)

(A+B)r=BT+AT

}

A'I

有特性值n.r(A)=n

伴随矩

11=1Ap-1r(j4*)=<1r(4)=«-l

阵4*1用[or(A)<«-l

A（门=（才-

r(^+5)<r(4)+^(5)

数乘矩

(切)

阵r(AB)<min(r(j4),r

kA有特性值

kA、

|kA|=knAkAAB=。则有：

矩阵之

积工8

\ABHA\\Wl+bE

及矩阵若其是可逆矩阵则有

特性值/!+b

之和r(AB)=r(F).同样，

力+3若8可逆则有

r(4B)=r(4)

三、线性方程组

向量与线性方程组的内容联络很亲密，诸多知识点互相之间均有或明或暗的有关性。

学习本章必须彻底弄清晰诸多知识点之间的内在联络，只有这样才可以保证做到真正意义

上的理解，同步也是纯熟掌握和灵活运用的前提。如下给出这部分重要知识点：

三个双重定义：

1.秩的定义

a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数。

b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个数。

2.线性有关'无关的定义

a.对于一组向量4，的，…，％,若存在不全为零的数月色…匕使得

七何+岛。2+…+鼠％=°成立,则相量组线性有关,否则向量组线性无关,即上述

等式当且仅当左全为0时才成立。

b.向量组"1'"2一・0”线性有关。向量组中至少存在一种向量可由其他T个向

量线性表出：线性无关O向量组中没有一种向量可由其他的向量线性表出。

3.线性方程组的两种形式

a.矩阵形式：4=2

,向口形式XS+XM:+・・・+X〃外=6

b.问里形氏：1*4/nn

两条性质：

1.对于方阵,8号有：方阵力可逆=存在方阵8使得=BA=E

o|4忸°=的行\列向量组均线性无关=「(4)=〃oSx=b可由克莱姆法则

判断将唯一解，而4=0仅自本解。

对于一般矩阵则有：『(')="<=>A的列向量组线性无关oAx=()仅有

零解=若/x=b有解，则必有唯一解。

2.齐次线性方程组与否有非零解对应于系数矩阵的列向量组与否线性有关，而非齐次

线性方程组与否有解对应于匕与否可以由的列向量组线性表出o

以上两条性质可视为是将线性有关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联络在一起

的桥梁。

有关秩的某些结论:

{科力；r(Ar)=r(A)=r(ArA).

r(AB^mn{r(A)tr(B)}.r(A±B)<r(A)+r(5)；若有"6…满足

/8=0,则尸(力)+尸(8)"；若人是可逆矩阵，则有「(从的二7出)：同样若8可逆

则有r(/B)=r(H)。非齐次线性方程组4二方有唯一解则对应齐次方程组4X=。仅

有零解，若4=匕有无穷多解则加=()有非零解.；若有两个不一样的解则At=()有非

零解；若是加x〃矩阵而r(?l)=m则4=匕一定有解，并且当用=打时是唯一

解，当加<〃时是无穷多解，而若「(4)=月则=b没有解或有唯一解。

四、特性值与特性向量

本章知识要点如下：

1.特性值和特性向量的定义及计算措施就是记牢一系列公式，如：出=双

*工。)、笈-&=0、(花-R)x=O和|存-川二0。常用到下列性质：若"阶

矩阵力有个特性值44…则有I月1=44'-4；若矩阵有特性值兀，则

比4、月2、aA+bE、/〈⑷、4、4•分别有特性值hl、之、"十b、

£Ml

/(2)、2、4,且对应特性向量等于“所对应的特性向量，而若4、22分别为

矩阵A、8的特性值，则4±4不一定为't8的特性值。

2.相似矩阵及其性质。定义式为8=9-\4/>,需要辨别矩阵的相似、等价与协

议：矩阵与矩阵等价的定义式是B,其中p、Q为可逆矩阵，此时矩阵A可

通过初等变换化为矩阵8,并有r(d)=r(5)；当24。=8中的尸、Q互逆时就变成

了矩阵相似的定义式，即有8=P-1AP,此时满足「⑷="为、I/ITB|、

\AE-A\^AE-B\f并且、有相似的特性值。矩阵协议的定义是P】P=3,

其中尸为可逆矩阵。

由以上定义可看出等价、协议、相似三者之间的关系：若A与8协议或相似则在与

8必等价，反之不成立；协议与等价之间没有必然联络，

3.矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两个充足条件，充要条件（1）是

〃阶矩阵有〃个线性无关的特性向量；充要条件（2）是的任意归重特性根对应有上个线性无

关的特性向量：充足条件（1）是有〃个互不相似的特性值：充足条件（2）A是为实对称

矩阵“

4.实对称矩阵极其相似对角化。〃阶实对称矩阵必可正交、相似于对角阵A,即有

正交阵?使得P"i<P=pr£P=A,并且正交阵