第6章 反比例函数期末复习（知识清单）（学生版）-北师大版(2024)九上

第六章反比例函数一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.（2）()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：()；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数的值；（4）把求得的值代回所设的函数关系式中.三、反比例函数的图象和性质1.画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；2.反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．3.反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.四、反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.五、利用反比例函数解决实际问题1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题.2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.3.反比例函数在其他学科中的应用（1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；（2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；（3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；（4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.易错01根据反比例函数的定义求参数易错总结1.

忽略“k≠0”：误将形如y=\frac{k}{x}（k为常数）直接判定为反比例函数，漏看k≠0的限制。2.

混淆函数形式：对y=kx^{-1}等等价形式不熟悉，错判函数类型。3.

参数范围考虑不全：求参数时，仅满足形式却未验证k的取值是否符合题意。解题技巧1.

紧扣定义形式：确认函数为y=\frac{k}{x}（k≠0）或y=kx^{-1}（k≠0）的形式。2.

双重验证参数：先根据定义列方程求参数，再代入验证k≠0。3.

结合题意分析：若函数有实际背景，需额外保证自变量、函数值的合理性。例1：（2025九年级下·全国·专题练习）若是反比例函数，那么m的值是．易错02已知反比例函数分布的象限求参数范围易错总结1.

混淆k的符号与象限的关系：误将“k>0时图象在一、三象限”记反，导致参数符号判断错误。2.

忽略“k≠0”前提：求范围时只考虑象限对应的k符号，漏了k≠0的基本限制。3.

增减性与象限绑定错误：误将不同象限内的增减性当成整个定义域的性质，导致参数分析偏差。解题技巧1.

对应象限定k号：根据图象所在象限，直接确定k的正负（一、三象限→k>0；二、四象限→k<0）。2.

验证k的非零性：结合定义，确保求出的参数使k≠0。3.

结合增减性细化：若涉及增减性，需明确“同一象限内y随x的变化”，再对应k的符号。例2：（24-25九年级上·全国·期末）若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是．易错03已知反比例函数的增减性求参数易错总结1.

忽略“同一象限”前提：误将“y随x增大而减小/增大”当成整个定义域的性质，未限定同一象限，导致参数判断错误。2.

混淆k的符号与增减性的关系：错记“k>0时，同一象限内y随x增大而减小；k<0时则相反”的对应关系。3.

漏验k≠0：求参数时只满足增减性对应的k符号，未验证k≠0的基本条件。解题技巧1.

锁定“同一象限”：看到增减性描述，先明确是“同一象限内”的变化规律。2.

符号对应规律：根据增减性定k的符号（减→k>0；增→k<0）。3.

双重验证：求参数后，既要保证k的符号符合增减性，也要确认k≠0。例3：（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）若函数的图象在每个象限内的值随值的增大而减小，则的取值范围是．易错04实际问题与反比例函数的图象问题易错总结1.

忽略实际意义的限制：图象漏画自变量、函数值的正半轴范围（实际问题中常为正数）。2.

混淆图象与实际量的对应：误将图象上的点与实际情境中的量对应错误，导致分析偏差。3.

忽略k的实际意义：求k时未结合实际背景验证其正负（实际问题中k常为正）。解题技巧1.

限定变量范围：根据实际情境，确定自变量、函数值的取值范围（如正数），只画对应象限的图象。2.

结合情境析点：将图象上的点对应实际量（如“x=2对应时间2小时”），再分析关系。3.

验证k的合理性：求k后，结合实际意义确认其符号与数值是否符合题意。例4：（2025·辽宁大连·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（）A．B．C．D．易错05反比例函数中利用k值求图形的面积易错总结1.

忽略k的绝对值：计算面积时忘记用|k|，直接代入k的值，导致面积为负数。2.

记错面积公式：混淆了"矩形面积等于|k|"和"三角形面积等于|k|/2"。3.

找不到"关键点"：不会从复杂图形中，找出在双曲线上的点，并向坐标轴作垂线。4.

多算或少算：对由多个基本图形组合成的复杂图形，面积计算容易出错。解题技巧1.

核心思路：牢记过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。2.

解题步骤：-找：找到双曲线上的点P(x,y)-作：过P作x轴、y轴的垂线-算：利用矩形或三角形面积公式结合|k|求解

复杂图形：通过"割补法"将复杂图形分解成几个能用|k|计算的基本图形，再求和或差。例5：（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是（

）①与的面积相等；②四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为；③与始终相等；④当点A是的中点时，点一定是的中点A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④易错06反比例函数与几何图形的综合问题易错总结1.

坐标关系不清：不会利用几何图形的性质（如中点、垂直、距离）来表示点的坐标。2.

联立方程出错：解一次函数与反比例函数的方程组时，计算失误或漏根。3.

忽略图像位置：不结合函数图像所在象限分析，导致求出的解不符合几何图形的实际位置。4.

面积计算复杂：面对组合图形时，不知如何分割或补全，导致面积计算错误。解题技巧1.

核心思路："以点为桥，坐标为媒"。把几何图形的性质转化为点的坐标关系。2.

解题步骤：-设点：设出函数图像交点或关键点的坐标。-列关系式：根据几何性质（如平行、垂直、距离、面积）列出关于坐标的方程。-求坐标：联立函数解析式，解方程组求出点的坐标。-算结果：将求出的坐标代入，计算最终要求的长度、面积等。例6：（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．

(1)求的长度；(2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点；①求该反比例函数解析式；②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？一、单选题1．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若函数是反比例函数，则m的值为（

）A．0 B．1 C．或1 D．或2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若双曲线的图像分布在第二、四象限，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．5．（2024·山西·模拟预测）学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．根据物理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N）一定时，人和木板对地面的压强（单位：）是木板面积S（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示．下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，6．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上），公共点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若两个正方形的面积之和是，且，则的值是（

）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题7．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）已知函数是关于的反比例函数，则的值为．8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，则的取值范围是．9．（2025·四川成都·模拟预测）已知两点在双曲线上，且，则m的取值范围是．10．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了mL．11．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为．12．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴上，坐标为，双曲线经过点A和的中点D，连接，，则．三、解答题13．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积．14．（24-25九年级上·全国·期末）已知函数(1)若y是x的正比例函数，求m的值．(2)若y是x的反比例函数，求m的值．15．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第一、三象限．(1)求k的取值范围；(2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围．16．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数（为常数）．(1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围；(2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围．17．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，对角线轴，边所在的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点．(1)求和的函数表达式．(2)是x轴上一动点，当是以为斜边的直角三角形时，点的坐标为_______．18．（2022九年级下·广东佛山·竞赛）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至．(1)当时，水温与开机时间分钟的函数表达式．(2)求的值．(3)求开机50分钟时热水器中水的温度．19．（2022·河南南阳·三模）如图，已知点在y轴上，在x轴上，以为边在第一象限内作正方形，此时反