辽宁省名校联盟2020-2021学年高三下学期数学联考试卷（2021.03）（解析版）

2021年辽宁省名校联盟高考数学联考试卷（3月份）一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|y＝2x+a，x∈A}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．[1，2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]2．已知复数z＝是纯虚数（其中i是虚数单位），则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．﹣23．为了更好地进行新冠肺炎的疫情防控，某社区安排6名工作人员到A，B，C三个小区讲解疫情防控的注意事项，若每个小区安排两名工作人员，则不同的安排方式的种数为（）A．90 B．540 C．180 D．2704．为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为10cm，且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm，则制造该漏斗所需材料面积的大小约为（）（假设材料没有浪费）A．15πcm2 B．20πcm2 C．25πcm2 D．30πcm25．已知α为锐角，且cos（α+）＝，则tanα＝（）A．2 B．3 C． D．6．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（）A． B． C． D．7．已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则（）•（）的取值范围是（）A．[4，8] B．[8，24] C．[2，18] D．[4，20]8．已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（2）＝，f（1）＝1，则关于x的不等式f（x）＜+sinπx的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）二、多项选择题：4小题，每小题5分，共20分.9．已知a＝log23，3b＝4，2c＝log23+1，则下列结论正确的是（）A．a＜c B．ab＝2 C．abc＝a+1 D．2bc＝b+210．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x过点P（m，0）（m＞0）作与x轴垂直的直线，与抛物线C交于A，B两点，则下列说法正确的是（）A．若|PA|＞|PO|，则0＜m＜2 B．若△ABO为正三角形，则m＝12 C．若抛物线C上存在两个不同的点E，F（异于A，B），使得|PE|＝|PF|＝，则m＞4 D．当取得最大值时，m＝111．对于正弦函数y＝f（x）＝sinx，当x∈[﹣]时，x关于y的函数称为“反正弦函数”，记作f﹣1（x）＝arcsinx，如f﹣1（）＝；同样的，对于余弦函数y＝g（x）＝cosx，当x∈[0，π]时，x关于y的函数称为“反余弦函数”，记作g﹣1（x）＝arccosx，如：g﹣1（）＝．则下列说法正确的是（）A．“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为[﹣1，1] B．“反正弦函数”与“反余弦函数”的单调性相同 C．“反正弦函数”是奇函数，“反余弦函数”是偶函数 D．若x1，x2＞0，且x12+x22＝1，则arcsinx1＝arccosx212．已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，且Sn＝an•an+1﹣，则（）A．d＝ B．a1＝1 C．数列{an}中可以取出无穷多项构成等比数列 D．设bn＝（﹣1）n•an，数列{bn}的前n项和为Tn，则|T2n|＝n三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）若P（X＞）＝P（X＜0），则μ＝．14．在平面直角坐标系xOy中，双曲线M：＝1的一条渐近线被圆C：（x﹣4）2+y2＝25截得的弦长为．15．已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，则的最小值为．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，P是正方体表面上一动点，且PA＝2PA1，则点P形成的轨迹的长度为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．在①tanA•tanB＝1，b＝；②b＝4c，sinA＝c中任选一个，补充到下面的横线中，并求解．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积S＝4，且_____．求△ABC的周长．18．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，an+2＝an+1+2an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜3．19．某刚开业的大型百货商场进行促销活动，统计得刚开始的五天内的客流量如表：天数第一天第二天第三天第四天第五天客流量（千人）6.77.47.98.69.4（1）求出日客流量y（千人）关于开业天数x（x＝1，2，3，4，5）之间的线性回归方程；（2）根据市场经验，在促销活动期间，客流量增长速度遵循（1）中的线性回归方程．经过几天的调研发现，每天约有的人进行了饮食消费，约有的人进行了购物消费，且在购物消费的人中，约有的人进行了饮食消费．若该商场计划将促销活动持续进行20天，试判断能否实现第20天时商场内参与消费的人数超过1.5万人？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝＝，＝﹣．20．如图，圆O的半径为4，AB，CD是圆O的两条互相垂直的直径，P是OA的中点，EF∥CD．将此图形沿着EF折起，在翻折过程中，点A对应的点为A1．（1）证明：A1B⊥CD；（2）当∠A1PB＝时，求二面角A1﹣BC﹣P的正弦值．21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，），其左顶点为A，上顶点为B．直线l：y＝﹣2x+t（t∈R）与x，y轴分别交于点M，N，直线AN，BM分别与椭圆C交于点P，Q．（P异于点A，Q异于点B）（1）求椭圆C的方程；（2）若|AP|＝|BQ|，求直线l的方程．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x（a＞0）．（1）当a＝时，求函数f（x）在x＝e处的切线方程；（2）若f（x）在x＝x0（0＜x0＜）处取得极值，且f（x0）＞0，求a的取值范围．

参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|y＝2x+a，x∈A}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．[1，2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]解：因为A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|y＝2x+a，x∈A}＝{y|2+a≤y≤4+a}，若A⊆B，则，解得，﹣2≤a≤﹣1．故选：B．2．已知复数z＝是纯虚数（其中i是虚数单位），则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．﹣2解：复数z＝＝＝＝+是纯虚数（其中i是虚数单位），∴＝0，≠0，解得a＝1．故选：A．3．为了更好地进行新冠肺炎的疫情防控，某社区安排6名工作人员到A，B，C三个小区讲解疫情防控的注意事项，若每个小区安排两名工作人员，则不同的安排方式的种数为（）A．90 B．540 C．180 D．270解：根据题意，分3步进行分析：①在6名工作人员中任选2人，安排到A小区，有C62＝15种选法，②在剩下的4名工作人员中任选2人，安排到B小区，有C42＝6种选法，③将最后的2名工作人员安排到C小区，有1种选法，则有15×6＝90种不同的安排方式，故选：A．4．为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为10cm，且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm，则制造该漏斗所需材料面积的大小约为（）（假设材料没有浪费）A．15πcm2 B．20πcm2 C．25πcm2 D．30πcm2解：如图，圆锥的高PO＝10cm，PO1＝2cm，O1A1＝1cm，由△POA∽△PO1A1，可得，则OA＝＝cm，则cm，沿母线PA剪开，可得一扇形，则扇形面积即为所需材料的面积，展开后扇形的半径为PA＝，弧长为2π×5＝10π，扇形的面积S＝＝25πcm2，故选：C．5．已知α为锐角，且cos（α+）＝，则tanα＝（）A．2 B．3 C． D．解：因为α为锐角，且cos（α+）＝，所以sin（α+）＝，tan（α+）＝2，则tanα＝tan[（α+）]＝＝．故选：D．6．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（）A． B． C． D．解：沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为：P＝＝．故选：A．7．已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则（）•（）的取值范围是（）A．[4，8] B．[8，24] C．[2，18] D．[4，20]解：如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B（﹣2，0），C（2，0），A（0，），设D（x，0），（﹣2≤x≤2），则，，，∴（）•（）＝（﹣2﹣2x，2）•（2﹣2x，2）＝4x2+8，∵﹣2≤x≤2，∴4x2+8∈[8，24]．故（）•（）的取值范围是[8，24]．故选：B．8．已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（2）＝，f（1）＝1，则关于x的不等式f（x）＜+sinπx的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）解：设g（x）＝+sinπx，可得g（x）是奇函数，当x越大时，g（x）值越小．当x＝1时，g（1）＝1，不等式f（x）＜g（x）成立，则0＜x＜1，∵f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，图象关于原点对称；当x＜0时，要使不等式f（x）＜g（x）成立，则x＜﹣1；关于x的不等式f（x）＜+sinπx的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知a＝log23，3b＝4，2c＝log23+1，则下列结论正确的是（）A．a＜c B．ab＝2 C．abc＝a+1 D．2bc＝b+2解：A．a＝log23＞＝，由3b＝4，可得b＝log34＜＝，∴a＞c，因此A不正确；B．ab＝×＝2，因此B正确；C．由Bab＝2，∴abc﹣a﹣1＝2c﹣a﹣1＝log23+1﹣log23﹣1＝0，可得abc＝a+1，因此C正确；D.2bc﹣b﹣2＝b（2c﹣1）﹣2＝log34×log23﹣2＝×﹣2＝0，∴2bc＝b+2，因此D正确．故选：BCD．10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x过点P（m，0）（m＞0）作与x轴垂直的直线，与抛物线C交于A，B两点，则下列说法正确的是（）A．若|PA|＞|PO|，则0＜m＜2 B．若△ABO为正三角形，则m＝12 C．若抛物线C上存在两个不同的点E，F（异于A，B），使得|PE|＝|PF|＝，则m＞4 D．当取得最大值时，m＝1解：对于A，若|PA|＞|PO|，则|PA|2＞|PO|2，所以4m＞m2，解得0＜m＜4，故选项A错误；对于B，若△ABO为正三角形，不妨设A在x轴的上方，则，所以|OA|＝|OB|＝|AB|，即m2+4m＝16m，因为m＞0，解得m＝12，故选项B正确；对于C，不妨设E在x轴的上方，则，t＞0且t≠m，因为|PE|＝，，由|PE|＝|PF|＝，可得（m﹣t）2+4t＝4m，则由（m﹣t）2＝4（m﹣t），因为t≠m，所以m﹣t＝4，则t＝m﹣4＞0，所以m＞4，故选项C正确；对于D，当＝＝，令，则，所以＝，当且仅当，即x＝20，即12+8＝20，故m＝1时取等号，所以当取得最大值时，m＝1，故选项D正确．故选：BCD．11．对于正弦函数y＝f（x）＝sinx，当x∈[﹣]时，x关于y的函数称为“反正弦函数”，记作f﹣1（x）＝arcsinx，如f﹣1（）＝；同样的，对于余弦函数y＝g（x）＝cosx，当x∈[0，π]时，x关于y的函数称为“反余弦函数”，记作g﹣1（x）＝arccosx，如：g﹣1（）＝．则下列说法正确的是（）A．“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为[﹣1，1] B．“反正弦函数”与“反余弦函数”的单调性相同 C．“反正弦函数”是奇函数，“反余弦函数”是偶函数 D．若x1，x2＞0，且x12+x22＝1，则arcsinx1＝arccosx2解：对于A，因为正弦函数和余弦函数的值域均为[﹣1，1]，根据题中给出的“反正弦函数”和“反余弦函数”的定义，所以“反正弦函数”和“反余弦函数”定义域均为[﹣1，1]，故选项A正确；对于B，因为正弦函数y＝sinx在[﹣]上单调递增，所以y增大时，x也增大，即“反正弦函数”也是单调递增，同理可知，“反余弦函数”单调递减，所以“反正弦函数”和“反余弦函数”的单调性相反，故选项B错误；对于C，令f（x）＝arccosx，x∈[﹣1，1]，则f（﹣1）＝arccos（﹣1）＝π，f（1）＝arccos1＝0，所以f（﹣1）≠f（1），故f（x）不是偶函数，即“反余弦函数”不是偶函数，故选项C错误；对于D，设arcsinx1＝α，arccosx2＝β，则sinα＝x1，cosβ＝x2，因为x1，x2＞0，所以，又由x12+x22＝1，则sin2α+cos2β＝1，即sin2α＝sin2β，所以sinα＝sinβ，则α＝β，即arcsinx1＝arccosx2，故选项D正确．故选：AD．12．已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，且Sn＝an•an+1﹣，则（）A．d＝ B．a1＝1 C．数列{an}中可以取出无穷多项构成等比数列 D．设bn＝（﹣1）n•an，数列{bn}的前n项和为Tn，则|T2n|＝n解：∵Sn＝an•an+1﹣，∴当n≥2时，有Sn﹣1＝an﹣1an﹣，两式相减得：an＝an（an+1﹣an﹣1）＝2d•an，n≥2，又d≠0，∴2d＝1，解得：d＝，∴选项A正确；又当n＝1时，有S1＝a1a2﹣，即a1＝a1（a1+）﹣，解得：a1＝1或a1＝﹣，故选项B错误；又an＝1+＝，或an＝﹣+＝，∴①当an＝时：令n＝2k﹣1，k∈N*，则an＝a＝＝2k﹣1，则数列{a}是等比数列，又bn＝（﹣1）n•an＝（﹣1）n•，∴T2n＝（﹣+）+（﹣+）+…+（﹣+）＝，此时|T2n|＝；②当an＝时：令n＝2k+2，k∈N*，则an＝a＝＝2k﹣1，则数列{a}是等比数列，又bn＝（﹣1）n•an＝（﹣1）n•，∴T2n＝（﹣+）+（﹣+）+…+（﹣+）＝，此时|T2n|＝，故选项C正确，选项D错误，故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）若P（X＞）＝P（X＜0），则μ＝．解：∵随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）若P（X＞）＝P（X＜0），∴正态分布曲线的对称轴为x＝μ＝．故答案为：．14．在平面直角坐标系xOy中，双曲线M：＝1的一条渐近线被圆C：（x﹣4）2+y2＝25截得的弦长为6．解：圆（x﹣4）2+y2＝25的圆心为（4，0），半径为5，双曲线M：＝1的一条渐近线为y＝x，即x﹣3y＝0即有圆心到渐近线的距离d＝＝，由弦长公式可得2＝2＝6，故答案为：6．15．已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，则的最小值为．解：因为（a﹣b）2≥0，所以a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2（a2+b2）≥2ab+a2+b2＝（a+b）2，故a+b，所以2[（a2）2+（b2）2]≥（a2+b2）2＝1，所以≥，即最小值．故答案为：．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，P是正方体表面上一动点，且PA＝2PA1，则点P形成的轨迹的长度为．解：将正方体两侧面AA1B1B和AA1D1D展开平面图，建立平面直角坐标系如图，设动点P（x，y），因为PA＝2PA1，所以x2+（y+3）2＝4（x2+y2），化简得x2+（y﹣1）2＝4，在两侧面内轨迹为以O（0，1）为心，以2为半径的圆弧，因为cos∠A1OM＝，所以cos∠A1OM＝，于是∠MON═，所以在两侧面内轨迹长度为＝，在顶面A1B1C1D1内，轨迹为以A1为圆心，以为半径的圆弧，此时满PA＝2PA1条件，所以在顶面轨迹长度为＝．所以点P形成的轨迹的长度为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．在①tanA•tanB＝1，b＝；②b＝4c，sinA＝c中任选一个，补充到下面的横线中，并求解．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积S＝4，且_____．求△ABC的周长．解：若选条件①，因为tanA•tanB＝＝1，可得cosAcosB﹣sinAsinB＝0，所以cos（A+B）＝﹣cosC＝0，即cosC＝0，因为C∈（0，π），可得C＝，又，解得a＝4，b＝2，可得c＝＝2，所以△ABC的周长为4+2+2．若选条件②，因为S＝bcsinA＝bc2＝4，可得bc2＝32，又b＝4c，可得c＝2，b＝8，可得sinA＝c＝，可得A＝，或，当A＝时，c＝＝2，当A＝时，c＝＝2，所以△ABC的周长为10+2，或10+2．18．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，an+2＝an+1+2an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜3．【解答】（1）解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由题设可得：anq2＝anq+2an，∵an＞0，∴q2﹣q﹣2＝0，解得：q＝2，又a1＝1，∴an＝2n﹣1；（2）证明：由（1）可得：+＝+＝+﹣，∴Sn＝+1﹣+﹣+…+﹣＝2﹣+1﹣＝3﹣（+）＜3，又Sn随n增大而增大，∴Sn≥S1＝3﹣（1+）＝，∴≤Sn＜3．19．某刚开业的大型百货商场进行促销活动，统计得刚开始的五天内的客流量如表：天数第一天第二天第三天第四天第五天客流量（千人）6.77.47.98.69.4（1）求出日客流量y（千人）关于开业天数x（x＝1，2，3，4，5）之间的线性回归方程；（2）根据市场经验，在促销活动期间，客流量增长速度遵循（1）中的线性回归方程．经过几天的调研发现，每天约有的人进行了饮食消费，约有的人进行了购物消费，且在购物消费的人中，约有的人进行了饮食消费．若该商场计划将促销活动持续进行20天，试判断能否实现第20天时商场内参与消费的人数超过1.5万人？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝＝，＝﹣．解：（1）（1+2+3+4+5）＝3，，＝＝＝0.66，，∴y关于x的线性回归方程为；（2）由题意得，既购物又进行饮食消费的人占比为，则消费人数占比为，又当x＝20时，（万人），∴第20天时商场内参与消费的人数为19.22×≈16.017（万人），超过了1.5万人．∴该商场第20天时实现商场内参与消费的人数超过1.5万人．20．如图，圆O的半径为4，AB，CD是圆O的两条互相垂直的直径，P是OA的中点，EF∥CD．将此图形沿着EF折起，在翻折过程中，点A对应的点为A1．（1）证明：A1B⊥CD；（2）当∠A1PB＝时，求二面角A1﹣BC﹣P的正弦值．【解答】（1）证明：因为AB⊥CD，EF∥CD，所以EF⊥AB，所以EF⊥PA1，EF⊥PB，PA1∩PB＝P，所以EF⊥平面A1PB，因为A1B⊂平面A1PB，所以EF⊥A1B，因为EF∥CD，所以A1B⊥CD；（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，B（0，4，0），C（﹣4，0，0），A1（0，﹣3，），＝（0，7，﹣），＝（﹣4，3，﹣），设平面A1BC法向量为＝（x，y，z），，令y＝，＝（﹣，，7），平面BCP法向量为＝（0，0，1），设二面角A1﹣BC﹣P的大小为θ，cosθ＝＝，sinθ＝＝＝．故二面角A1﹣BC﹣P的正弦值为．21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，），其左顶点为A，上顶点为B．直线l：y＝﹣2x+t（t∈R）与x，y轴分别交于点M，N，直线AN，BM分别与椭圆C交于点P，Q．（P异于点A，Q异于点B）（1）求椭圆C的方程；（2