第13章 勾股定理重难点检测卷（教师版）-华东师大版(2024)八上

第十三章勾股定理重难点检测卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）下面各组数中，是勾股数的是（）A．，2，7 B．2，6，8 C．3，4，5 D．5，8，10【答案】C【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答．【详解】解：A、不是正整数，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，故不符合题意；故选：C．2．（24-25八年级上·山西运城·期中）五根木棒（单位：cm）的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（

）A．5，9，12 B．5，12，15 C．9，12，15 D．12，15，17【答案】C【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理进行排除选项．【详解】解：A、，故不能构成直角三角形；B、，故不能构成直角三角形；C、，故能构成直角三角形；D、，故不能构成直角三角形；故选：C．3．（2024八年级上·全国·专题练习）用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（

）A．都不为0 B．只有一个为0C．至少有一个为0 D．都为0【答案】A【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤；反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．【详解】解：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况．在这个问题中，结论是“a，b中至少有一个为0”，其反面就是“a，b都不为0”．故选：A．4．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，，且，则线段的长为（

）A． B． C．4 D．3【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出，进而可求出，据此可求出的长．【详解】解：在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴或（舍去），故选：C．5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，数轴上的点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接AB．若以点为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查实数与数轴及勾股定理．根据实数与数轴的关系解答即可【详解】解：在直角三角形中，．∴点表示的数为．故选：B．6．（24-25八年级上·山东烟台·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后，变成了如图②．如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了10次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（

）A．11 B．55 C．66 D．【答案】A【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和为11，故选：A．7．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，．如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（

）A．4.8 B．9.6 C．10 D．10.8【答案】B【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，涉及轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积，运用了等积变换的思想．掌握对称的性质是解题的关键．作点关于的对称点，作点，交于点，则，所以，即的最小值为．【详解】解：作点关于的对称点，作点，交于点，连接，∴，∴，即的最小值为，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，即的最小值为．故选：B．8．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若长为4，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，，由勾股定理可求的长，进而可求的长，再利用勾股定理可求的长．【详解】解：由折叠可知：，，，，，∴，∴，∵，∴，∴，故选：C．9．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（

）A．10米 B．12米 C．16米 D．20米【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果．【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和，∵底面周长约为6米，柱身高约16米，∴米，米，∴米，∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米，故选：D．10．（24-25八年级上·北京·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”．弦图由四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形．已知为较长的直角边，若，则正方形的面积为（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、列代数式等知识点，弄清线段间的关系成为解题的关键．如图，在图中标出P、Q，设，则，再运用勾股定理可得，即正方形的面积为、，再结合可得；再根据题意可得，再将、代入即可解答．【详解】解：如图，在图中标出P、Q，

设，则，∴，∴正方形的面积为．∵，，∴，即，∵小正方形为S，∴，∴正方形的面积为．故选D．填空题（5小题，每小题2分，共10分）11．（上海市浦东新区第四教育署2022—2023学年上学期八年级期末数学考试卷）若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为．【答案】8或10【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为8的边是否为斜边，所以要讨论：边长为8的边为斜边；边长为8的边为直角边．【详解】解：当边长为8的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为8；当边长为8的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为．故该直角三角形斜边长为8或10．故答案为：8或10．12．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积差为．【答案】4【分析】本题考查勾股定理与面积，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．由勾股定理可得出答案．【详解】解：，，，正方形和正方形的面积差为．故答案为：4．13．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在一个长为，宽为的长方形未板上，放着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为．

【答案】/厘米【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，将木块展开，然后根据两点之间线段最短利用勾股定理解答即可．【详解】解：如图，将木块展开，

由题意，得：展开后长方形的长为，，则：蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为；故答案为：．14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的处（如图），则水深是尺．【答案】12【分析】本题本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深x尺，芦苇尺，根据题意：，由勾股定理：，解得：，故答案为：12．15．（2024·山东淄博·一模）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm．【答案】50【详解】如图,设圆心为O,连接AO，CO，∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM²+OM²=AN²+ON²，∴30²+OM²=40²+(70−OM)²，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm.故答案为50.三、解答题（8小题，共70分）16．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，求的长．【答案】【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理直接进行求解【详解】解：在中，，，，由勾股定理，得，即，解得，的长为．17．（24-25八年级上·北京·阶段练习）在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树跑到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C后直接跃到A处，如果两只猴子所经过的路程相等，且路程以直线计算，试求这棵树的高度．【答案】【分析】本题主要考查了线段的和与差，勾股定理，解一元一次方程，代数式求值等知识点，利用勾股定理建立方程是解题的关键．设，则，，利用勾股定理可得，即，解方程即可求出这棵树的高度．【详解】解：如图，由题意可得：，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，，这棵树的高度是．18．（23-24八年级上·湖南·阶段练习）由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量、．现计划在该空地上种植草皮．(1)求四边形的面积；(2)若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？【答案】(1)24(2)4800元【分析】此题考查了勾股定理和逆定理的应用，（1）连接，根据勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证得是直角三角形，，进而利用求出四边形的面积；（2）根据面积乘以单价即可得到答案．【详解】（1）解：连接，∵，∴，∵，∴，∴是直角三角形，，∴四边形的面积；（2）解：在该空地上种植草皮共需（元）．19．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．(1)已知点，试求两点间的距离；(2)已知点在平行于轴的直线上，点的横坐标为6，点的横坐标为，试求两点间的距离；(3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值．【答案】(1)(2)8(3)8【分析】本题主要考查了两点的距离计算公式：（1）利用两点间距离公式计算即可；（2）根据两点横坐标差的绝对值，计算即可；（3）原式表示点到和的距离之和，由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小，据此求解即可．【详解】（1）解：∵，∴．（2）解：根据题意可知：点A，B在平行于x轴的直线上，∴．（3）解：∵表示点到和的距离之和，又∵两点之间线段最短，∴点在以和为端点的线段上时，原式值最小，∴的最小值为：．20．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）综合与实践：【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离．(1)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度．(2)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？【答案】(1)不是，(2)能【分析】本题考查勾股定理的应用；（1）将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为，所以梯子顶端到地为米，根据勾股定理求出，再与作差，求出的长度；（2）先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与比较，即可求得．【详解】（1）解：云梯的底部在水平方向滑动到的距离不是．理由如下：在中，．∴．在中，，∴．（2）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，则能够到达墙面的最大高度为．∵，∴，因此，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．21．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题：；（是的面积）；；（是的面积）；；（是的面积）；(1)推算出________，________；(2)用含有（为正整数）的等式________；(3)求出的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据已知条件中和的值发现并总结出其变化规律，即可求出答案；（2）根据（1）中发现并总结出的规律求出答案即可；（3）根据（1）中发现并总结出的规律，求出，，，，，，，再代入所求代数式，然后利用分母有理化进行计算即可．【详解】（1）解：，（是的面积），，（是的面积），，（是的面积），，，（是的面积），，，故答案为：，；（2）解：，（是的面积），，（是的面积），，（是的面积），，，（是的面积），，（是的面积），故答案为：；（3）解：由（1）可知：，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，数字类规律探索，求一个数的算术平方根，实数的混合运算等知识点，发现并总结出其一般规律是解题的关键．22．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．【详解】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，∴CH＝（m），∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），∴AC+BC＜CH+AH+BH，∴甲方案所修的水渠较短．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．23．（23-24八年级上·山东威海·期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼