第24章 解直角三角形期末复习（知识清单）（学生版）-华东师大版(2024)九上

第24章解直角三角形知识点一测量◎合理的选择测量方法测量就是我们用所学过的知识解决生活和工作中的实际问题。在选择方法时，一定要先弄清实际问题的条件，再选择切实、可行的测量方法，在测量问题中，一般包括测量角度和长度。◎掌握测量的各种原理以及测量的一般步骤在测量的过程中，有些数据是可以直接测量得到的，如跳高的高度，跳远的距离都可以直接用刻度尺直接测量出结果，但也有些长度无法直接量出。方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形。利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长。方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用相似比计算出实际长度。方法三：条件允许的话，还可以构造一个和原三角形全等的三角形来测量后可直接得出。◎测量时应注意的问题☆在测量时要注意测量的方法必须是切实可行的，尽量操作简单。☆要考虑环境、气候、人的视力等多方面的因素。☆注意单位要统一。☆在具体测量时，要注意选择测量方法。测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减小误差。知识点二直角三角形的性质☆直角三角形两个锐角互余.☆直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.☆在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.◎勾股（弦）定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.知识点三锐角三角函数◎锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）定义表达式图形正弦余弦正切◎锐角三角函数的关系在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：☆同角三角函数的关系：sin2A+cos2A=1．tanA=sinA☆互余两角的三角函数关系：sinA=cosB,sinB=cosA,QUOTEtanA⋅tanB◎锐角三角函数的性质性质前提：0°＜∠A＜90°sinA随∠A的增大而增大cosA随∠A的增大而减小tanA随∠A的增大而增大知识点四三角函数值的计算◎特殊角的三角函数值α三角函数α三角函数30°45°60°sin123cos321tan313记忆口诀：一二三，三二一，三九二十七◎用计算器进行有关三角函数值的计算一般是：先按“”（或“”“”），再按数字键输入三角函数值，最后按“”键便显示结果．知识点五解直角三角形◎解直角三角形的概念一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．◎解直角三角形的依据设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：☆边之间的关系：a2☆锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.☆边角之间的关系：sinA=αc，cosA=bc，☆，为斜边上的高.◎解直角三角形的四种基本类型①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下：已知类型已知条件解法步骤图示两边斜边c、一直角边（如a）（1）b=c（2）由sinA=ac（3）∠B=90°−∠ARt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，两直角边（a，b）（1）c=a（2）由tanA=ab（3）∠B=90°−∠A一边一角斜边c、一锐角（如∠A）（1）∠B=90°−∠A；（2）由sinA=ac（3）由cosA=b一直角边、一锐角（如a、∠A）（1）∠B=90°−∠A；（2）由tanA=ab（3）由sinA=a知识点六解直角三角形的实际应用◎利用解直角三角形解决实际问题的步骤☆将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；☆根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；☆得到数学问题的答案；☆得到实际问题的答案．◎仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图．◎坡角与坡度坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图．◎方向角（或方位角）方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）多少度．如图．易错点一：混淆三角函数定义与使用条件在解直角三角形时，学生容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义，或在不满足直角三角形条件的情况下错误使用这些函数。必须牢记三角函数仅适用于直角三角形，且需要明确角的对边、邻边和斜边关系。例题、已知在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，求sinA、cosA和tanA的值。常见错误：错误地将∠A的对边当作AB，邻边当作BC，得出sinA=，cosA=，tanA=。正确解法：首先确定直角三角形的边角关系：

-斜边AC===13

-∠A的对边是BC=12

-∠A的邻边是AB=5

因此：

sinA=对边/斜边=

cosA=邻边/斜边=

tanA=对边/邻边=易错点二：特殊角三角函数值记忆混淆对于30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，学生容易记忆混淆或忘记推导方法，导致计算错误。需要理解这些特殊值的几何来源，而非简单死记硬背。例题、计算2sin30°+3cos60°-tan45°的值。常见错误：错误记忆三角函数值，如认为sin30°=，cos60°=，tan45°=等。正确解法：准确记忆特殊角三角函数值：

-sin30°=,cos60°=,tan45°=1

因此：

2×+3×-1=1+1.5-1=1.5易错点三：实际问题中角度理解错误在解决实际问题时，学生容易混淆仰角、俯角、方位角等概念，或错误地将实际问题转化为数学模型。例题、从一栋楼的底部测得顶部仰角为30°，向前走20米后测得仰角为45°，求楼高。常见错误：错误地认为两个测量点与楼底构成直角三角形，直接使用tan函数求解。正确解法：设楼高为h，第一次测量点距楼底为x，则：

tan30°=

tan45°=

解得：h==≈27.32米易错点四：忽略解的合理性检验在解直角三角形时，学生容易忽略三角函数值的范围限制，或求出不符合实际情况的解。例题、已知sinα=1.2，求α的度数。常见错误：直接使用计算器求arcsin1.2，得出错误结果。正确解法：正弦函数的值域为[-1,1]，sinα=1.2超出了这个范围，因此无解。需要指出题目条件错误。易错点五：锐角三角函数值与角度对应关系错误在解直角三角形时，学生容易混淆不同锐角对应的三角函数值，特别是当题目中涉及两个锐角时，错误地将一个角的三角函数值用于另一个角。例题、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求sinA和cosB的值。常见错误：错误地认为sinA=，cosB=，得出sinA=cosB的结论，但没有理解其本质原因。正确解法：首先计算斜边AB===5

-sinA=对边/斜边==

-cosB=邻边/斜边==

正确结论：在直角三角形中，∠A+∠B=90°，因此sinA=cosB，这是正确的，但必须理解这是因为∠A的对边(BC)恰好是∠B的邻边。易错点六：解应用题时忽略实际意义和单位在解决实际应用问题时，学生容易只关注数值计算而忽略答案的实际意义，或者忘记单位换算，导致最终答案不符合实际情况。例题、一架梯子靠在墙上，梯子与地面的夹角为75°，梯子长度为5米，求梯子顶端距离地面的高度。（结果精确到0.1米）常见错误：直接计算5×sin75°≈4.83，然后回答高度为4.83米，忽略了题目要求的精确度，也没有考虑实际情境中梯子的安全性。正确解法：高度h=5×sin75°≈5×0.9659≈4.8295米

根据题目要求精确到0.1米，得h≈4.8米

同时应该指出，在实际应用中，梯子与地面的夹角75°偏大，可能不够稳定，建议调整到更安全的65°-70°范围内。总结反思通过对以上易错点的分析，可以看解直角三角形的常见错误主要集中在概念理解和实际应用上。为避免这些错误：(1)牢记三角函数仅适用于直角三角形；

(2)准确记忆特殊角的三角函数值，理解其几何意义；

(3)正确理解实际问题中的角度概念，准确建立数学模型；

(4)注意三角函数的值域范围，检验解的合理性；

(5)明确不同锐角的三角函数对应关系；

(6)解决实际问题时注意答案的实际意义和单位要求。

重难点1：锐角三角函数定义与计算涉及知识点：◎正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)的定义◎特殊角的三角函数值（30°、45°、60°）◎三角函数值的取值范围◎同角三角函数关系：sin²α+cos²α=1,tanα=sinα➗cosα解题技巧：◎先将方程熟记特殊角的三角函数值◎利用直角三角形边角关系计算三角函数值◎应用同角三角函数关系进行转换例题精选例题1：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，则下列结论不正确的是（

A．tanA=BCAC B．sinA=BDAB例题2：在Rt△ABC中，∠A=30°，tanA=BCAC，则例题3：阅读、理解、应用我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，sinA=∠A的对边斜边，设有一个角α0°≤α≤360°，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴Ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边OQ上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，终边OQ可以看作是将射线Ox绕点O逆时针旋转α°后所得到的，P和原点O0，0的距离为r=x2+y2（r总是正的）然后把角α的三角函数规定为：sinα=yr，cosα=xr，tanα=y(1)若α=90°，则sinα=(2)已知∠α是钝角，则下列说法正确的是（填写序号）．①0<sinα<1；②sin2α+co(3)证明：若角α是锐角，则sin180°−α(4)若270°<α<360°，若角α的终边在直线y=−3x上，试求重难点2：解直角三角形基本方法涉及知识点：◎两角对应相等直角三角形边角关系◎勾股定理：a²+b²=c²◎三角函数关系：sinA=a÷c,cosA=b÷c,tanA=a÷b◎直角三角形内角和为180°解题技巧：◎根据已知条已知两边求第三边（勾股定理）◎已知一边一角求其他边和角◎合理选择三角函数关系式◎注意单位的统一例题精选例题1：如图，在△ABC中，AB=AC，tanB=3,BC=210，则△ABC的面积为例题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c(1)已知a=6,b=23(2)已知a=24,c=242例题3：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°,cosC=45,AC=8,BD平分(1)BC=______，AB=______．(2)过点D作DE⊥BC于点E，补全图形，并求sin∠ABD重难点3：仰角与俯角问题涉及知识点：◎仰角：视线在水平线上方时与水平线的夹角◎俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角◎高度测量问题◎距离测量问题解题技巧：◎准确画出图形，标出已知量和未知量◎利用三角函数建立方程◎注意仰角和俯角的区别◎实际问题中注意单位的换算例题精选例题1：如图，老王在江边垂钓，河堤AB的坡度为1:2.4，AB长为3.9米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离AE为1米，此时沿钓竿看向钓竿顶端C处，仰角∠CEF为37°钓竿两端点的直线距离EC为4米，钓线与江面的夹角∠CDB=52°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（）米．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，A．4.6 B．3.4 C．2.3 D．3.6例题2：在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一架无人机，如图，无人机在河上方距水面高60m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°．已知瞭望台BC高12m（图中点A,B,C,P在同一平面内），则此河段的宽AB约为m（结果保留整数，参考数据：sin63.6°≈910，tan例题3：如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30∘，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45∘，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:3(即tan∠DEM=1:3),且D、M、E、C、N、B、A(1)求D点距水平面EN的高度？(保留根号)(2)求条幅AB的长度？(结果精确到1米)(参考数据：3重难点4：方位角问题涉及知识点：◎方位角的定义：从正北方向顺时针旋转到目标方向线的角度◎方位角的取值范围：0°～360°◎方位角与直角三角形的转换◎方位角在实际问题中的应用解题技巧：◎准确理解方位角的定义◎将方位角问题转化为直角三角形问题◎注意方位角与内角的关系◎建立坐标系解决复杂方位角问题例题精选例题1：如图，一艘渔船以32nmile/h的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，半小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东60°方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离CS为（

）A．16nmile B．18nmile C．8nmile D．83例题2：如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为海里．（参考数据：sin37°≈35，例题3：如图，A，B，C，D在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定在游客中心C汇合，已知景点A位于景点B的正北方向，游客中心C位于景点B的正东方向，景点A位于游客中心C的西北方向6千米，景点D位于点A的北偏东(1)求CD的长度（结果保留一位小数）；(2)小明从景点A乘坐索道沿着AC方向前往游客中心C，小红从景点B乘坐观光车沿着BC方向前往游客中心C，若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的22倍，上下车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东45°时，小红与游客中心C重难点5：坡度问题涉及知识点：◎坡度的定义：坡面的铅直高度与水平宽度的比◎坡角：坡面与水平面的夹角◎坡度与坡角的关系：坡度i=tan(坡角)◎坡度在实际工程中的应用解题技巧：◎理解坡度的定义和表示方法◎将坡度问题转化为直角三角形问题◎利用坡度计算高度或水平距离◎注意坡度与坡角的转换例题精选例题1：如图，在某公路旁有一大型矩形广告牌ABCD，小刘想测量该广告牌的高度，她在广告牌前的G处测得广告牌的底部D处的仰角为α，接着小刘再沿着坡度为i=1：2.4的斜坡GH走了13米到达H处，测得广告牌顶端A处的仰角为29°，已知广告牌立柱EF的高度为7米，其中tanα=13A．18.2 B．16.2 C．15.2 D．13.2例题2：如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1:2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin⁡20°≈0.342，cos⁡20°≈0.940，例题3：某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层A至B1层之间安装扶梯AC，截面图如下图所示．底层A与B1层平行，层高AD为9m，点A,B之间的距离为6m，∠ACD=20°（参考数据：sin20°≈0.34，cos(1)身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭乘扶梯，在B处______碰到头（填“会”或“不会”）．(2)若采取中段平台设计（如折线A−E−F−C所示），已知平台EF∥CD，且AE段和FC段的坡度i=1:2．求平台EF的长度．重难点6：三角函数与几何综合涉及知识点：◎三角形内角和定理◎相似三角形的性质◎四边形性质解题技巧：◎将几何问题转化为解直角三角形问题◎利用相似三角形建立比例关系◎注意几何图形的特殊性质例题精选例题1：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，BC=9，CD=3，则四边形ABCD的面积为（

）

A．48 B．50 C．52 D．54例题2：已知在△ABC中，∠B=90°,AB=8,BC=6，在斜边AC上有一点G,CG=6，把△ABC绕点G按逆时针方向旋转90°得到△DEF，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为．例