期末重难点真题特训之易错必刷题型（126题37个考点）（教师版）-华东师大版(2024)九上

期末重难点真题特训之易错必刷题型（126题37个考点）【精选最新考试题型专训】易错必刷题一、求二次根式中的参数1．（23-24九年级上·全国·单元测试）在下列各式是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题．【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意；B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意；C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意；D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意；故选：D．2．（23-24九年级上·湖北荆门·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为．【答案】2【分析】本题考查了二次根式的定义和性质．能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．【详解】解：，∵是整数，∴n的最小值是2．故答案为：2．3．（23-24九年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值；（2）已知是整数，求正整数的最小值．【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为．【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．【详解】（1）∵是整数，∴，，，，，解得：，，，，，则自然数的值为2，9，14，17，18；（2）∵是整数，为正整数，∴正整数的最小值为．【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键．易错必刷题二、同类二次根式1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若与是同类二次根式，则、的值为（）A．， B．，C．，或， D．，【答案】C【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，由同类二次根式的定义得出或，求解即可得出答案．【详解】解：∵与是同类二次根式，∴或，解得：或，故选：C．2．（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）将化为最简二次根式是；（2）写出的一个同类二次根式【答案】(答案不唯一)【分析】题目主要考查二次根式的化简及同类二次根式得判断，根据二次根式的化简依次计算即可，熟练掌握二次根式的化简是解题关键【详解】解：（1），，∴同类二次根式为(答案不唯一)，故答案为：，(答案不唯一)3．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）把二次根式与分别化成最简二次根式后，被开方数相同．(1)如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？(2)如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？【答案】(1)符合条件的正整数的值为5，15，21(2)如果是整数，那么符合条件的有无数个．其中的最大值为21，没有最小值．【分析】本题考查的是最简二次根式的意义及同类二次根式的意义，根据本题的特点，当a为正整数时，a的取值是有限的，当a为整数时，a的取值是无限的，掌握知识点是解题关键．（1）由于a是正整数，所以可得此时的情况有，，三种；（2）当a是整数时，除了（1）中的三种情况，还可以列出无数种，所以此时a值有无数个，没有最小值，最大值是21．【详解】（1），且与的被开方数相同，当时，；当时，；当时，；当时，（不合题意，舍去）．符合条件的正整数的值为5，15，21．（2）由（1），得当时，；当时，；……如果是整数，那么符合条件的有无数个．其中的最大值为21，没有最小值．易错必刷题三、二次根式的混合运算1．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）估计的值在（

）A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间【答案】B【分析】此题考查了估算无理数的大小和二次根式的混合运算．根据二次根式的乘除法法则化简后，再估算出的值即可．【详解】解：，，，，的值介于6与7之间．故选：B．2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，分别是的整数部分和小数部分，则式子的值是.【答案】4【分析】本题主要考查了实数的运算．根据的整数范围先确定、的值，再计算的值．【详解】解：，，．．故答案为：4．3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）小明同学进行实数运算的过程如图所示．……第一步……第二步……第三步……第四步(1)第一步的化简中所依据的数学公式是___________；(2)小明的计算过程，从第___________步开始出现错误，请你写出该算式的正确运算过程和结果．【答案】(1)(2)二；见解析【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．（1）根据进行解答即可；（2）由于除法没有分配律即可得到是从第二步开始出错的，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：∵除法没有分配律，∴解题过程是从第二步开始错的，．故答案为：二．易错必刷题四、分母有理化1．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）阅读例题：，用上述类似的方法解答问题：若a是的小数部分，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查估算无理数的大小以及二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．先根据a是的小数部分，得到，再运用例题的类似方法化简即可解答．【详解】解：∵，a是的小数部分，∴，∴．故选：C2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）观察下列等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：……按上述规律，计算【答案】【分析】本题考查了分母有理化以及数字列规律，先根据已有的条件推断出，再根据代入数值化简，即可作答．【详解】解：∵第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：即第4个等式：，……以此类推：第个等式：，则，故答案为：．3．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：(1)的有理化因式是______．(2)请利用上面的知识化去式子分母中的根号：．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分母有理化，读懂题中材料是解题的关键．（1）按题中材料进行即可；（2）分子分母同乘以据的有理化因式计算即可求解．【详解】（1）解：，即的有理化因式是，故答案为：；（2）解：．易错必刷题五、二次根式化简求值1．（23-24九年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解．【详解】解：∵∴∴，故选：B．2．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知，，求下列各式的值：，．【答案】11【分析】本题考查了二次根式的化简求值．（1）将分解因式后代入求值；（2）将化为后代入求值即可．【详解】解：∵，，∴，，，∴；．故答案为：；11．3．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)7【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化．（1）先根据分母有理化求出，，即可求出；（2）由，，将原式整理成，再整体代入计算即可得解．【详解】（1）解：，，∴；（2）解：∵，∴．易错必刷题六、二次根式的应用1．（2024·云南昆明·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案．【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为，则，所以其面积，的值为．故选：A．2．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则：（1）面积为27的正方形的边长是的倍；（2）剩下阴影部分的面积是．【答案】372【分析】本题考查了二次根式的应用，（1）直接利用二次根式的性质得出面积为27的正方形的边长，即可得出答案；（2）利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．【详解】解：（1）面积为27的正方形的边长为，面积为27的正方形的边长是的3倍，故答案为：3；（2）两个小正方形面积为27和48，大正方形边长为，大正方形面积为，剩下阴影部分的面积为，故答案为：72．3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图是学校的一块正方形绿地，其边长为m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为m，宽为m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：）【答案】元【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键．先用正方形面积减去4个矩形的面积，计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费．【详解】解：通道的面积为（平方米），∴购买地砖需要花费元．易错必刷题七、一元二次方程的解一一直接开平方法和因式分解法1．（2024九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根为（）A． B．，C． D．，【答案】D【详解】本题主要考查了运用平方根解方程，运用直接开平方法即可解决问题．【分析】解：∵，∴x是3的平方根，则，故选：D．2．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为．【答案】或【分析】此题考查用一元二次方程解决问题，考查学生的分析问题和探索问题的能力．此题将规定的一种新运算引入题目中，题型独特、新颖，难易程度适中，解题的关键是理解题意．在此题中，，代入所给公式得：，则可得一元二次方程，解方程即可求得．【详解】解：据题意得，，，或．故答案为：或．3．（24-25九年级上·广东河源·期中）下面是小刚在作业本中做的一道题，老师说小刚的方法有问题，可是小刚不明白，你能帮帮他吗？解一元二次方程：．解：原方程变形为…………①两边同时除以，得…………②移项，合并得…………③系数化为1，得…………④上述解法中，该解法第一步采用的是______法解方程；第二步的依据是______，你认为第______步有问题，问题在于______，请你将该方法正确的过程写出来．【答案】因式分解，等式的性质，二，可以为0；见详解【分析】依题意，因为可以为0，所以方程两边除以之前要进行讨论；先移项得到，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【详解】解：依题意，该解法第一步采用的是提公因式法解方程；第二步的依据是等式的性质，你认为第二步有问题，问题在于可以为0．则正确解法为：，∴，∴，则或，∴，．故答案为：因式分解，等式的性质，二，可以为0；易错必刷题八、一元二次方程的解一一配方法1．（23-24九年级上·全国·单元测试）把一元二次方程，配成的形式，则p、q的值是（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．按照配方法把配成的形式即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，．故选：B．2．（24-25九年级上·全国·课后作业）完成下面的解题过程：用配方法解方程：．解：移项，得．二次项系数化为1，得．配方，得，．开平方，得，x1＝，x2＝．【答案】【分析】按照配方法的步骤解方程即可．本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．【详解】解：移项，得，二次项系数化为1，得，配方，得，，开平方，得，，．故答案为：，，，，，，．3．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方：；请根据阅读材料解决下列问题：(1)【直接应用】，将代数式配方：______；(2)【类比应用】已知，求的值；(3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？【答案】(1)(2)(3)16【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）依题意，得，即可作答．（2）先整理原式为，再结合非负性，得出，，然后代入计算，即可作答．（3）先整理原式为，因为，所以当，时，取得最小值，最小值为16，即可作答．【详解】（1）解：依题意，，故答案为：；（2）解：∵，∴配方得：，即，，，故．（3）解：依题意，，，，时，即当，时，则，即取得最小值，最小值为16．易错必刷题九、一元二次方程的解一一公式法1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知代数式与的值互为相反数，则x的值为（

）A．或4 B．或4C．或4 D．或【答案】D【分析】本题主要考查了相反数的定义，公式法解一元二次方程，由相反数的定义得出，然后解一元二次方程求解即可得出答案．【详解】解∶代数式与的值互为相反数，则整理得：，解得：或，故选：D．2．（23-24九年级上·全国·单元测试）一元二次方程的根是，．【答案】【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求出方程的根即可．【详解】解：，∴，∴；故答案为：，3．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）按要求解下列方程：(1)（因式分解法）；(2)（公式法）．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能正确运用指定的方法解一元二次方程是解此题的关键．（1）先移项将原方程可变形为，进而得．再解两个一元一次方程即可求解；（2）将原方程化为一般形式．求出，再代入求根公式即可求解．【详解】（1）解：原方程可变形为，．，或，∴．（2）解：将原方程化为一般形式，得．这里．，，即．易错必刷题十、一元二次方程的解一一换元法1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（

）A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或【答案】D【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式，列出关于的方程，利用换元法解一元二次方程即可．【详解】解：∵，，∴，∴．设，则，整理，得，解得．当时，，∴（负值舍去）；当时，，∴（负值舍去）．故选D．2．（23-24九年级上·山东威海·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体．设，则原方程可化为，解得，．即，，所以原方程的解为，．请类比这种方法解方程：，则．【答案】【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．先设，则方程即可变形为，解方程即可求得y，然后根据取舍根即可．【详解】解：设，则原方程可化为，解得，．∵，∴，故答案为：．3．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得，化简得，所以，所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”．利用阅读材料提供的换根法求新方程：(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________．(2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确材料中的换根法，根据实际的问题进行换根．（1）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程．（2）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程．【详解】（1）设所求方程的根为，则，所以，把代入方程，得，化简，得．故所求方程为：．故答案为：．（2）设所求方程的根为，则，所以，把代入方程，得，化简，得．故所求的方程为：．故答案为：．易错必刷题十一、一元二次方程根的判别式1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一元二次方程方程的根的情况为（

）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．本题考查了一元二次方程根判别式，熟练记忆根的判别式是解题的关键．【详解】解：∵，∴一元二次方程方程有两个不相等的实数根．故选：C．2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则的值为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴，解得：，故答案为：．3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知关于x的一元二次方程：有两个相等的实数根．(1)求k的值．(2)并求出方程的根．【答案】(1)k的值为1或(2)或【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值；（2）利用配方法解方程即可．【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根∴，解得：，，所以k的值为1或．（2）解：当时，方程为，解得；当时，方程为解得．【点睛】此题主要考查一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程的解与的关系是解决问题的关键．易错必刷题十二、一元二次方程的根与系数的关系1．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则代数式的值（

）A．4045 B．4044 C．2024 D．1【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系得出，，，然后代入即可求解．【详解】解：∵是方程的两个实数根，∴，，，∴∴，故选：A．2．（23-24九年级上·全国·单元测试）甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项系数，解得根为4和；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较低，关键根据题意正确运用根与系数的关系：，是方程的两根时，，．首先根据根与系数的关系求得一次项系数和常数项的值，再进一步得到方程即可．【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系，由甲看错了一次项系数，解得根为4和，得，乙看错了常数项，解得根为2和3，得．则得出方程：，故答案为：．3．（23-24九年级上·四川泸州·期中）阅读材料：【材料1】若一元二次方程的两根为，则．【材料2】已知实数m、n满足，且，求的值．解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得：，∴．根据上述材料解决下面问题：(1)关于x的方程的两个根是和1，则的值为．(2)已知实数m、n满足，且，求的值．(3)若关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值．【答案】(1)；(2)(3)k的值【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握相关结论即可.（1）由题意得，即可求解；（2）由题意得m、n可看作方程的两实数解，可得，即可求解；（3）关于x的方程的两个实数根分别为α、β，根据根与系数的关系得，结合条件可得，利用根的判别式进行验证即可；【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，解得，∴；故答案为：；（2）解：由题意得m、n可看作方程的两实数解，∴∴（3）解：设关于x的方程的两个实数根分别为α、β，根据根与系数的关系得，∵，∴，∴，整理得，解得，当时，原方程化为，则，此方程没有实数解；当时，原方程化为，则，此方程有两个不相等的实数解；综上所述，k的值为．易错必刷题十三、一元二次方程的应用（营销、增长、工程）问题1．（24-25九年级上·河南漯河·期中）“十四五”时期，国家政策提出要坚持“以文塑旅、以旅彰文”，打造独具魅力的中华文化旅游体验，文旅融合发展进入高水平阶段．著名旅游景区“只有河南·戏剧幻城”以黄河文明为创作根基，对于树立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意义.该景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售杯．年春节假期，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润？【答案】当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设当每杯售价定为x元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润，根据题意列一元二次方程解答即可．【详解】解：设当每杯售价定为x元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润，根据题意，得，整理，得，解得，，∵要让顾客获得最大优惠，∴，∴当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天6300元的利润．2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率；(2)因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．【答案】(1)进馆人次的月平均增长率为(2)红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析【分析】本题考查了一元二次方程的增长率的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）设进馆人次的月平均增长率为x，列式，进行计算，即可作答．（2）根据月平均增长率为，算出第四个月的进馆人次为，再与进行比较，即可作答．【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意得，解得：，（不合题意，舍去）答：进馆人次的月平均增长率为；（2）解：不能，理由如下：依题意，第四个月的进馆人次，答：红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次．3．（2024·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)的值为10【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意得，，解得：，则，答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．易错必刷题十四、一元二次方程的应用（几何、行程、图形）问题1．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程．【答案】1秒或4秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．利用时间路程速度，可分别求出点，到达终点所需时间，当运动时间为时，，，．根据四边形的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合当时，点重合，即可得出结论．【详解】．由（1）得：，，，运动时间t的取值范围为：，∵四边形APQC的面积等于，∴，整理得：，解得，，∴或4时，四边形APQC的面积等于．答：1秒或4秒后，四边形APQC的面积等于．2．（24-25九年级上·广东东莞·期中）综合与实践如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，截去四个大小相同小正方形之后，折成如图2所示的长方体形的无盖纸盒，设截取的小正方形边长为．(1)用含有x的代数式分别表示无盖纸盒底面的长（________），宽（________）；(2)若纸盒的底面积为，求小正方形边长为x的值；(3)求出（2）中长方体纸盒的容积．【答案】(1)，(2)5(3)【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，长方体的平面展开图等知识点，（1）根据长两个小正方形的长，宽两个小正方形的宽即可得到答案；（2）根据面积＝长×宽，列出关于x的一元二次方程，解之即可；（3）利用长方体的体积公式计算即可；根据题意找出等量关系，列出方程是解决此题的关键．【详解】（1）根据题意得：长：，宽：；故答案为：，；（2）根据题意得：整理得：解得：（舍去），，∴小正方形边长为x的值为5；（3）∵，∴，，∴根据题意得：（2）中长方体纸盒的容积为：．3．（2024·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）(1)当时，求关于t的函数关系式；(2)求图中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由见解析【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．【详解】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得，，解得，∴关于t的函数关系式为；（2）解：对于球来说，，小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为，由小明在4s时第一次追上球可得，，解得，即图中a的值为；（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为，，，则，，第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米，，第三次踢后，变化规律为，，，则，，第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米，，又开始下一个循环，故第四次踢球所需时间为，经过24米，故第五次踢球所需时间为，经过48米，故第六次踢球所需时间为，经过24米，故第七次踢球所需时间为，经过48米，∵，，∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，故答案为：7【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．易错必刷题十五、成比例线段1．（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键．【详解】解：∵线段成比例，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，故选：．2．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，若E为中点，则．【答案】/0.75【分析】设，由题意得，，根据勾股定理得，即，解得，即可得到答案．【详解】解：设，由题意得，，在中，，则，∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，正确掌握勾股定理及设定未知数求解是解题的关键．3．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字：设，则有，当时，．从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质．利用等比性质完成下题：(1)在和中，，且厘米，求的周长．(2)若且，求的值．【答案】(1)15厘米(2)【分析】本题考查了比例的基本性质．（1）根据题意得到，由，代入计算即可求解；（2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果．【详解】（1）解：，且，，的周长（厘米）．故的周长为15厘米．（2）解：，，，．易错必刷题十六、黄金分割1．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键．根据点C为线段的黄金分割点，设,则，得到，解得，根据，即可得到答案．【详解】解：∵五边形为正五边形∴，,，∴，，∴，∴∴∴∵点C为线段的黄金分割点，设,则∴化简得，，∴，∵∴故选：B．2．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接AD，在AD上截取；在AB上截取，则．【答案】【分析】先求得，再根据所给作图步骤，分别求出出和AB即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，在中，．因为，所以，所以，所以．故答案为：3．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比．(1)求该矩形画框的宽；(2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号）【答案】(1)厘米；(2)元．【分析】()根据宽与长的比值等于黄金分割比列出算式即可求解；()求出矩形画框的面积，进而即可解决问题；本题考查了黄金分割，二次根式的运算，熟知黄金分割的定义是解题的关键.【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为厘米，∴矩形画框的宽为厘米；（2）解：矩形画框的面积为（平方厘米），∴矩形画框的材料成本为元，答：生产一个该画框所需要的材料成本为元．易错必刷题十七、平行线分线段成比例1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故选：A．2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，点分别在上，，则．【答案】【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，正确写出对应线段线是解题的关键．利用平行线分线段成比例可得到，代入可求得，即可得出结果．【详解】解：如图，∵，∴∵，∴∴，故答案为：．3．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．(1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：．证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程）(2)用三角形内角平分线性质定理解答问题：①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长．②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________．【答案】(1)见解析(2)①cm；②【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．（1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解；（2）①根据（1）中的结论即可求解．②根据（1）可得，进而得出，根据是中点,得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点，∵，∴，，，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：①∵是角平分线，∴，∵，，，∴，解得cm；②解：∵是角平分线，∴，∴，∴，∵是中点，∴，∵，∴，∴．故答案为：9．易错必刷题十八、相似图形1．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是（

）A．B．C．五边形的周长是五边形周长的倍D．【答案】B【分析】本题考查相似多边形的性质：如果两个多边形相似，则其对应边成比例，根据相似形对应边的比相等，就可以求出．【详解】解：A、∵五边形五边形，∴，故选项不符合题意；B、∵，∴，故选项符合题意；C、五边形的周长是五边形周长，故选项不符合题间；D、，故选项符合题意；故选：B．2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在师一学校第23届运动会开幕式上，由500名初一学生组成的大型团体操《传承•复兴》让全校师生眼前一亮，该方队面向主席台集合时共25列20排（整个方队看成矩形，且集合时人与人之间的距离忽略不计），其中每个小矩形（例如矩形）代表一名学生，且军列的宽度都等于（即），每排的宽度都等于（即）当方队成体操队形散开时，假设列与列之间的距离都为（即），排与排之间的距离都（），若矩形与矩形相似时，则y关于x的函数关系式为（不考虑x的取值范围）．【答案】【分析】本题考查了相似多边形的性质及矩形的性质，函数关系式，依次表示出的长，再利用矩形与矩形相似，即可得到，从而得出结果．【详解】解：，，，，矩形与矩形相似，，，，故答案为：．3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，且，求的长．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到，设，根据相似多边形的性质可得，列方程求出的值，从而可解答本题．【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，∴．∵四边形是平行四边形，∴．∴．∴．∴．同理：．∴．∵∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形；（2）解：由（1）知，四边形是菱形，又四边形是平行四边形，，设，∵四边形是平行四边形，且，∴，，即，整理得，解得，∴，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出与的数量关系是解答本题的关键易错必刷题十九、相似三角形的判定与性质综合1．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平分，D为中点，，求证：．【答案】证明见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据D为中点，得，证明，根据相似三角形的性质即可证明结论．【详解】证明：∵D为中点，，∵平分，，∵，，∴，．2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，是对角线，于点，交AD于点，，，求DE的长．【答案】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，同角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，由同角的余角相等得，进而证明，利用相似三角形的性质即可得解。【详解】解：四边形是矩形，∴∵，，∴，∴∵∴∴∴∴3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，中，为边上一点，且．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)．【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判断方法是解题的关键．（1）根据两角分别相等的两个三角形相似即可证明；（2）先根据相似三角形性质即可求出的长．【详解】（1）证明：∵，，∴．（2）解：∵，∴，∵，，∴，解得：(负值已舍)．易错必刷题二十、在网格中画与已知三角形相似的三角形1．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)即可判断．【详解】解：中，是正方形的对角线，∴，且，，即，要使，则，观察图形，是正方形的对角线，即，且，，即，∴点P1故选：A．2．（23-24九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D）【答案】见解析【分析】利用相似三角形的判定方法——“两组对边成比例且夹角相等”作图即可．【详解】解：设小正方形的边长为1，则，，，利用格点作，若△DEF与△ACB相似，则，即，解得，因此在DF上取点D使得即可．如图所示，△DEF与△ACB相似．【点睛】本题主要考查画相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）(1)在图①中，在线段上画出点M，使(2)在图②中，在线段上画出点N，使(3)在图③中，在线段上画出点Q，使【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析．【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）取格点C，D，使，且，连接，交于点M，则点M即为所求．（2）取格点E，F，使，且，连接，交于点N，则点N即为所求．（3）利用网格，过点P作的垂线，与的交点即为点Q【详解】（1）解：如图①，取格点C，D，使，且，连接，交于点M，则，，即，则点M即为所求．（2）如图②，取格点E，F，使，且，连接，交于点N，则，，即，则点N即为所求．（3）如图③，取格点G，连接交AB于点Q，则点Q即为所求．易错必刷题二十一、相似三角形——动点问题1．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（

）A． B． C．或3 D．或4【答案】C【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解.【详解】∵∠ACD=∠ABC，∴∠A=∠DCE，∵△DCE和△ABC相似，∴或∵AC=6，AB=4，CD=2，∴或∴CE的长为或3故选：C.【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论.2．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为秒．【答案】秒或4秒【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，设运动时间为秒，分和，两种情况，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【详解】解：设运动时间为秒，当时，如图：

则，，，，即：，解得：，当时，如图：

则，，，，即：，解得：，综上所述，运动时间为秒或4秒，故答案为：秒或4秒．3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒．(1)填空：______；(2)t为何值时，与相似；【答案】(1)(2)秒或秒【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．（1）根据勾股定理求出的值即可；（2）分两种情况进行讨论：当或时，求出结果即可．【详解】（1）解：∵在中，，，，∴．故答案为：．（2）解：由题意可知：，，则，∵，当或时，与相似，当时，，解得，，当时，，解得，，当或2.5秒时，与相似．易错必刷题二十二、相似三角形实际应用1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．

【答案】【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明得到，再代值计算即可得到答案．【详解】解：，∴，，，根据题意得，，，，，答：的大致距离为．2．（23-24九年级上·上海崇明·期中）学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索：他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米．根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度．【答案】米【分析】根据题意可得，可证得，即可求解．【详解】解：根据题意得：，∵，∴，∴，即，解得：米，答：旗杆的高度为米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下：①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离m，小阳的眼睛点C到地面的距离m；②将平面镜从点E沿的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小阳到平面镜的距离m．请根据以上测量过程及数据求出树的高度．【答案】树的高度为．【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明三角形相似．【详解】解：由题意可知，，∴，∴，，∴，，∴，解得，，∴，答：树的高度为．易错必刷题二十三、三角形中位线的实际应用1．（2024·广西·模拟预测）如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为，则A，B两点的距离是（

）．A．12 B．14 C．16 D．24【答案】C【分析】本题考查三角形中位线定理，利用三角形中位线定理解决问题即可．【详解】解：，是的中位线，，，，故选：C．2．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量，两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点，，连接DE．若DE的长为27m，则，两地间的距离为．【答案】54【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：点，分别为，的中点，，故答案为：54．3．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．(2)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：四边形ABCD菱形矩形正方形平行四边形EFGH【答案】(1)见解析(2)矩形，菱形，正方形【分析】（1）连接BD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH和FG为中位线，根据中位线的性质即可求证．（2）由（1），根据矩形，菱形，正方形的判定即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接BD，∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH//BD，EH＝BD，同理FG//BD，FG＝BD，∴EH//FG，且EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）连接AC，BD，如图所示：当四边形ABCD是菱形时，∴AC⊥BD，∵FG//BD，EH//FG，∴EH⊥EF，∴平行四边形EFGH是矩形，当四边形ABCD是矩形时，AC=BD，则EH=EF，∴平行四边形ABCD是菱形，当四边形ABCD是正方形时，AC=BD且AC⊥BD，则EH=EF且EH⊥EF，∴平行四边形EFGH是正方形，故答案为：矩形，菱形，正方形．【点睛】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线的性质，菱形的判定，矩形的判定及正方形的判定，熟练掌握其各判定定理是解题的关键．易错必刷题二十四、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知A-2,0，，则与的周长之比是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据与是位似图形，以及A和D的坐标，求出与的相似比为，即可求出与的周长之比．【详解】∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，∵，，∴与的相似比为，∴与的周长之比是．故选：D．2．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为．【答案】【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似图形的周长比等于相似比解题即可．【详解】解：∵四边形与四边形的位似比为，∴四边形与四边形的周长比为．故答案为：．3．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为．(1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换后得到，请在平面直角坐标系中画出．(2)设与，面积分别为和，试求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题主要考查了位似变换，（1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出面积比即可．【详解】（1）如图所示：即为所求；（2）与是位似图形，位似比为，易错必刷题二十五、用坐标确定位置1．（23-24九年级上·河南信阳·期末）周末，洋洋参加了褐马鸡放归活动．如图是宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据A点的坐标为，B点的坐标为确定出坐标轴的位置，即可求得C点的坐标．【详解】解：由表示嘴部A点的坐标为，表示尾部B点的坐标为，得出坐标系如图所示：∴表示足部C点的坐标为．故选：C．2．（2024·贵州六盘水·一模）如图，小黔与小红在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盘坐标的上，则小红下的白色第三子的棋盘坐标是．【答案】【分析】本题考查的是坐标与图形，根据建立坐标系，再确定小红下的白色第三子的棋盘坐标即可.【详解】解：如图，小红下的白色第三子的棋盘坐标是，故答案为：．3．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，一个小正方形网格的边长表示．A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校．(1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系；(2)B同学家的坐标是；(3)在你所建的平面直角坐标系中，如果C同学家的坐标为，请你在图中描出表示C同学家的点．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．（1）由于同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校，则可确定点位置，然后画出直角坐标系；（2）利用第一象限点的坐标特征写出点坐标；（3）根据坐标的意义描出点．【详解】（1）以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系如图所示．（2）同学家的坐标是，故答案为：；（3）C同学家的坐标为(在平面直角坐标系中如图所示．易错必刷题二十六、求点沿x轴、y轴平移后的坐标1．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了点的坐标．直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标即可．【详解】解：以“帅”位于点为基准点，则“炮”位于点，即为．故选A．2．（23-24九年级上·河南安阳·期中）在直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为．【答案】【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求解即可．【详解】解：点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为，即，故答案为：．3．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．

(1)若把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到，直接写出点的坐标：（______，______），的坐标：（______，______），的坐标：（______，______）；(2)在图中画出平移后的；(3)请求出的面积．【答案】(1)，，，，，(2)见解析(3)7【分析】（1）根据题意，将A，B，C的坐标的横坐标减2，纵坐标加3，即可求解；（2）根据（1）的坐标，画出平移后的；（3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）∵把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，∵，，∴，，；（2）如图所示，即为所求；

（3）的面积．【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题的关键．易错必刷题二十七、坐标与图形变化——轴对称1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可．【详解】解：∵图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，∴，∴，故选：C．2．（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图，已知关于过点且与x轴平行的直线对称，C到的距离为2，长为6，则点A坐标为，点B的坐标为．【答案】【分析】此题考查坐标与图形的变化-对称，认真观察，找着特点是解题的关键．根据题意，可得A、B的连线与垂直，且两点到直线的距离相等，又，从而可以得出A、B两点的纵坐标；又C到的距离为2，从而可以得出A、B两点的横坐标．【详解】解：由题可知：可得A、B的连线与垂直，且两点到直线的距离相等，∵，∴A、B两点的纵坐标分别为和4，又∵C到的距离为2，∴A、B两点的横坐标都为2，∴A、B两点的坐标分别为．故答案为．3．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．(1)画出关于y轴对称的，其中点A，B，C的对应点分别为，，；(2)请直接写出点A、B关于x轴对称点的坐标：（________，________），（________，________）．【答案】(1)见解析(2)1；；4；【分析】本题主要考查了轴对称作图，坐标与图形，解题的关键是作出对应点的位置．（1）先作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，然后再顺次连接即可；（2）根据关于x轴对称的点特点进行解答即可．【详解】（1）解：如图：即为所作的三角形，（2）解：点A、B关于x轴对称点的坐标分别为：，．易错必刷题二十八、直角三角形的性质1．（23-24九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．先求出，再根据含有角的直角三角形性质可得的长．【详解】解：在中，，，，，．故选：A．2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是的中点，若，则的长为．【答案】【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”进而可得答案．【详解】解：∵，是的中点，∴，∵，∴，故答案为：．3．（23-24九年级上·江西南昌·单元测试）如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接．(1)CE与AD的数量关系是；(2)当D在AB的中点，四边形是什么特殊的四边形？请说明理由；(3)若D为AB中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．【答案】(1)相等(2)四边形是菱形，理由见解析(3)当时，四边形是正方形，理由见解析【分析】本题考查了平行四边形、菱形以及正方形的判定，熟记相关判定定理的内容即可．（1）证四边形是平行四边形即可求解；（2）先证四边形是平行四边形，结合，D为AB中点，可得，即可求证；（3）根据题意得，结合D为中点，可得；结合（2）中的结论即可求解；【详解】（1）解：由题意得：，∴∵∴四边形是平行四边形∴故答案为：相等（2）解：四边形是菱形，理由：∵D为AB中点，∴，∵，∴，∵∴四边形是平行四边形，∵，D为AB中点，∴，∴四边形是菱形．（3）解：当时，四边形是正方形，理由：∵，∴，∴，∵D为中点，∴，∴°，∵四边形是菱形，∴菱形是正方形，易错必刷题二十九、求角的正切、正弦、余弦值1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，中，，于点，若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了求角的正弦值，先求出，从而得出，即可得解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故选：B．2．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点E，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是．

【答案】/【分析】先求出，再由弧长公式求出的长，进一步求出该圆锥的底面圆半径．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，又∴∴的长，∴该圆锥的底面圆半径为：，故答案为：【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，a、b、c分别为的对边，且．试求最小角的三角函数值．【答案】，，【分析】本题主要考查了锐角三角函数值，首先表示出各边长，进而求出锐角三角函数值即可．【详解】解：∵a、b、c分别为的对边，且，∴设，，，∴，∴最小，∴，，．易错必刷题三十、三角函数的定义求边长1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时雷达测得点R到发射点L的距离为（

）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米【答案】C【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．根据锐角的余弦的定义即可求解．【详解】解：由题意得：，千米，故选：C．2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，，，则．【答案】【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，根据，结合，设，则，求解，再进一步求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，设，则，∴，∴，解得：，∴，故答案为6．3．（2024·浙江湖州·一模）如图，点在第一象限，轴，垂足为点，，反比例函数的图象经过的中点，与相交于点，．(1)求的值；(2)连接，求的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】此题考查了反比例函数综合题，用到了锐角三角函数、勾股定理等知识，数形结合是解题的关键（1）先利用求出，再利用勾股定理求出，可得到点C的坐标；求出，代入函数解析式即可得答案；（2）求出，直接利用三角形面积公式求出答案即可．【详解】（1）解：∵轴，，∴，∵，点为的中点，∴，由勾股定理得：，∴，∴，，∵B是的中点，∴，将代入，∴；（2）解：当时，，∴，∴，∵．易错必刷题三十一、特殊角三角函数值的混合运算1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值计算，代入特殊角度的三角函数值计算即可，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．【详解】解：原式，故选：．2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）计算：=．【答案】【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．【详解】解：故答案为：．3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题的关键．（1）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可；（2）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．易错必刷题三十二、根据三角函数值判断锐角的取值范围1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可．【详解】解：，，，又∵解：，，，又∵，余弦函数随角增大而减小，∴．故选：B．2．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是．【答案】【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键．【详解】解：由，∴，∵当时，随着的增大而减小，∴，故答案为：3．（2024·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离．（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高；（2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？【答案】（1）2米；（2）符合【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可；（2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可．【详解】解：（1），，答：滑梯高为2米；（2）∵AC=2m,BC=4m，∴，∵正切值随着角的增大函数值增大，，这架滑梯的倾斜角符合安全要求．【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键．易错必刷题三十三、三角函数综合1．（23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB=20，；求：（1）求线段AE的长；（2）求cos∠DAE的值．【答案】（1）12.5；（2）【分析】（1）根据锐角三角函数，可得，再由直角三角形的性质，即可求解；（2）根据直角三角形的面积，可得，再由锐角三角函数，即可求解．【详解】解：（1），，，，，点E是BC的中点，；（2），，∴，∵，，AB=20，∴，．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数，直角三角形的性质是解题的关键．2．（2024·上海金山·二模）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，，垂足为F.（1）求证：；（2）如果，求的余切值.【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）矩形的性质得到，得到，根据定理证明；（2）根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.【详解】解：（1）证明：四边形是矩形，，，在和中，，，；（2），，设，，，，，，，，.【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及余切的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.3．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图,某种路灯灯柱垂直于地面,与灯杆相连.已知直线与直线的夹角是.在地面点处测得点的仰角是,点仰角是,点与点之间的距离为米．求：（1）点到地面的距离；（2）的长度．（精确到米）（参考数据:）【答案】（1）2.8米；（2）AB的长度为0.6米【分析】（1）过点A作交于点F，则，在中，用三角函数即可得；（2）过点A作交于点H，根据，证明四边形AFCH是矩形，则，，设BC=x，则米，根据三角形内角和定理得，即，根据三角函数得DF=2.1米，米，在中，根据三角函数得，则，即可得，则，根据三角函数即可得米．【详解】解：（1）过点A作交于点F，则，在中，（米），即点A到地面的距离为2.8米；（2）过点A作交于点H，在四边形AFCH中，，∴四边形AFCH是矩形，∴，，设BC=x，则米，∵，，∴，∴，∴（米），∴（米），∴米，∵在中，，∴，∴，∴（米），∵，∴（米）．【点睛】本题考查了三角函数，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．易错必刷题三十四、解直角三角形1．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，求的长．【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先求出，进而求出，设，则，列方程求出x值，即可求出结论．【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则．，，，∵，设，则，，，设，则，，∵．∴，解得：，，．2．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，．(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义．（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案；（2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可．【详解】（1）解：∵在中，，，∴，即∴；（2）∵，，∴∴．3．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，对角线，过点作，交延长线于点，．(1)当时，求的长；(2)设，，求关于的函数关系式（不需要写定义域）；(3)当