高一数学（人教A版）学案必修二8-4-2空间点直线平面之间的位置关系

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)[课时目标]1．借助长方体，了解两条直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系．2．能抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，会用符号语言与图形语言表示点、线、面之间的位置关系．1．空间中两直线的位置关系(1)异面直线的定义和画法①定义：不同在__________平面内的两条直线叫做异面直线．②画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图甲、乙．(2)空间两条直线的位置关系有三种eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(共面,直线)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且只有,公共点；,平行直线：在同一平面内，公共点；)),异面直线：不同在平面内，没有,公共点.))2．空间中直线与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行公共点无数个1个0个符号语言a⊂αa∩α＝Aa∥α图形语言|微|点|助|解|若a⊂α，则平面α内的直线与直线a有平行或相交的关系；若直线a与平面α相交，则平面α内的直线与直线a有相交或异面的关系；若a∥α，则平面α内的直线与直线a有平行或异面的关系．3．空间中平面与平面的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点__________有________个公共点(在一条直线上)符号语言__________α∩β＝l图形语言|微|点|助|解|判断平面与平面的位置关系的注意点若α∥β，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线有平行或异面的关系；若α∩β＝l，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行或相交或直线在平面内，则其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线有平行或相交或异面的关系．eq\a\vs4\al(基础落实训练)1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线．()(2)两直线垂直，则这两条直线一定相交．()(3)两直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．()2．直线l与平面α有两个公共点，则()A．l∈α B．l∥αC．l与α相交 D．l⊂α3．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是()A．相交 B．平行C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内4．正方体的六个面中相互平行的平面有()A．2对 B．3对C．4对 D．5对题型(一)直线与直线位置关系的判断[例1](1)如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是()(2)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行、相交或异面听课记录：|思|维|建|模|1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[针对训练]1．(多选)下面是长方体ABCD－A1B1C1D1的几条棱，其中符合条件“与直线A1D1既不相交也不平行”的是()A．AB B．B1C1C．B1B D．CD2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．题型(二)直线与平面位置关系的判断[例2](多选)下列命题中，正确的命题是()A．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行B．如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥bC．如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥αD．如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α听课记录：|思|维|建|模|直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．[针对训练]3．(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题为假命题的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，则a与α有无数个公共点C．若a∥b，b∥α，则a∥αD．若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系．题型(三)平面与平面位置关系的判断[例3]如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能确定听课记录：[变式拓展]本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两个平面的位置关系如何？|思|维|建|模|1．平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上、下底面平行．(2)长方体的六个面中，三组相对面平行．[针对训练]5．(多选)以下四个命题中，正确的命题有()A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行B．在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交6.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什么位置关系？eq\a\vs4\al(课下请完成课时跟踪检测二十九)8．4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课前预知教材1．(1)①任何一个(2)一个没有任何一个3．没有公共点无数α∥β[基础落实训练]1．(1)×(2)×(3)×2．选D根据基本事实2可知，l⊂α.3．选A延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．故选A.4．选B正方体有6个面，有三组对面，这三组对面都相互平行．课堂题点研究[题型(一)][例1]解析：(1)A、B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.(2)可借助长方体来判断．如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD­A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．答案：(1)C(2)D[针对训练]1.选ACD如图所示，由题意知与直线A1D1既不相交也不平行，则直线AB，直线B1B，直线CD均与直线A1D1异面，而直线B1C1与直线A1D1平行，所以B不正确，A、C、D正确．2．(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面[题型(二)][例2]选CD如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题A不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以B不正确；C中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即C正确；D显然正确，故选C、D.[针对训练]3.选AC可借助正方体来判断．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，故A错误；易知B正确；AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，故C错误；因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面，故D正确．4．解：①B1C⊂平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交．②BD1与6个面都相交．[题型(三)][例3]选C逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．[变式拓展]解：如图①②，a⊂α，b⊂β，a，b异面．由