概率分布列期望专题

概率分布列期望专题

一、答题与有奖竞猜问题

例：甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人答复一个问题，答对者为本队赢得一分，

222I

答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为乙队中3人答对的概率分别为且各人答复

3332

正确与否相互之间没有影响。用£表示甲队的总得分。

(I)求随机变量£分布列和数学期望；

UI)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用8表示“甲队总得分大于乙队总得分”

这一事件，求P(AB).

(I)解法一：由题意知，£的可能取值为0,1,2,3,且

所以£的分布列为

£0123

1248

P

279927

£的数学期望为

EE=0X—4-lx—+2x—+3x—=2.

279927

2

解法二：根据题设可知一3(3,§)

因此£的分布列为

(II)解法一：用。表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用。表示“甲得3分乙得0分”这一事件,

所以AB=CU。,且C、D互斥，乂

由互斥事件的概率公式得

解法二：用Ak表示“甲队得A分”这一事件，用所表示“已队得左分”这一事件，D,1,2,3由于事件

A或),4S为互斥事件，故事

P(AB)=P(A3BQUA2BI)=P(A3BO)+P(A2BI).

练习：1某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有4aCO四个问题，规则如下：

①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A8,C,。分别加1分、2分、3分、6分，答错

任一题减2分；

②每答复一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大

于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍缺乏14分时，答题结束，淘

汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍缺乏

14分时，答题结束，淘汰出局；

③每位参加者按问题A,反C,。顺序作答，直至答题结束.

3111

假设甲同学对问题A答复正确的概率依次为巳,一,一,一，且各题答复正确与否相互之间没有影

4234

响.

(1)求甲同学能进入下一轮的概率；

(II)用€表示中同学本轮答题结束时答题的个数，求J的分布列和数学的石久

r：设A,3,C',O%(i=l,2,3,4)表不甲同学第i个问题答复止确，用M(i=l,2,3,4)表不甲同学第i个

问题答复错误，那么M1与乂是对立事件(j=1,2,3,4).由题意得

所以

(I)记“甲同学能进入下一•轮”为事件Q,

那么

(II)由题意，随机变量J的可能取值为：2,3,4.

由于每题答题结果相互独立，所以

因此随机变量J的分布列为

234

P131

882

所以，E^=2x-^3x-+4x-=—.

8828

2投到某杂志的稿件，先向两位初审专家进行评审.假设能通过两位初审专家的评审，

那么予以录用；假设两位初审专家都未予通过，那么不予录用：假设恰能通过•位初审专家的评

审，那么再由第三位专家进行复审，假设能通过复审专家的评审，那么予以录用，否则不予录

用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.

各专家独立评审.

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望

解：(I)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；

B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；

C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；

D表示事件：稿件被录用.

那么D=A+BC,

=P(A)+P(B・C)

=P(A)+P(B)P(C)

=0.40.

(II)X〜8(4,0.4),其分布列为：

期望£¥=4x0.4=1.6.

二、有关保险问题

例：根据以往统计资料，某地车主购置甲种保险的概率为0.5.购置乙种保险但不购置甲种保险的概率

为0.3,设各车主购置保险相互独立。

(【)求该地1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种的概率；；

(II)求该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购置的车主数，求X的期望。

解：(1)设该车主购置乙种保险的概率为p,由题意知：〃x(l—S5)=0・3,解得〃二。6。

设所求概率为PI,那么

故该地1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。

(2)对每位车主甲、乙两种保险都不购置的概率为0一0,5)'(1一。6)二0-2。

所以X的期望是20人。

练习；I购置某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费[元，假设投保人在购置保险的一年度

内出险，那么可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购置了这种保险，且各投保人

是否出险相互独立.保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.999".

(I)求一投保人在一年度内出险的概率〃；

(II)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的本钱为50030元，为保证盈利的期望不小于0,求每

位投保人应交纳的最低保费1单位：元).

解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是〃，记投保的10000人中出险的人数为

那么J〜3(10、p).

[I)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，那么^发生当且仅当4=0,2

分

=1-(1-P)叫

又尸(A)=1—0.999”，

故〃=0.001..........................................................................................................................5分

(II)该险种总收入为10000。元，支出是赔偿金总额与本钱的和.

支出100004+50000,

盈利〃=10000〃一(10000J+50000),

盈利的期望为£>7=10000〃-10000酸-50000,....................................................9分

4-3

由J〜例10,10-3)知，E<J=10000xl0,

=1046/-104xl04xl(r3-5xl04.

(元).

故每位投保人应交纳的最低保费为15元.

2某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年

81

P--

99

故石刍=9()()0x,=1()00.

同理得E&2=9(X)()x±=90(),E^=9000x—«818.18.

综上有七4=七。+七$+七&引000+900+818.18=2718.18〔元：I.

三、有关比赛问题

例：红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,8,C进行围棋比赛，甲对A、乙对8、丙对C各一盘甲胜A、

乙胜B、丙胜。的概率分别为0.6,().5,()5假设各盘比赛结果相互独立.

(I)求红队至少两名队员获胜的概率；

(II)用〈表示红队队员获胜的总盘数，求4的分布列和数学期望

解(1)设甲胜A的事件为力，乙胜B的事件为E,丙胜的C事件为产，

那么尸分别表示甲不胜4、乙不胜8、丙不胜C的事件.

因为P(D)=0.6,P\E)=0.5,P(F)=0.5

由对立事件的概率公式知「(0=0.4,P(E)=0,5fP(F)=0.5,

红队至少两人获胜的事件有："EE应F,DEF;DEF,

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，

因此红队至少两人获胜的概率为

(2)由题意知片可能的取值为0,1,2,3.

又由(1)知DEF,DEF'DEF是两两互斥时间，且各盘比赛的结果相互独立,

因此

由对立事件的概率公式得

所以4的分布列为

0123

因此

P

心=0x0.1+1x0.35+2x0.4+3x0.15=1.6

练习：1甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局

中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立，前2局中，甲、乙各胜1局。

(I)求甲获得这次比赛胜利的概率；

(II)设0表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求0得分布列及数学期望。

解：记A,表小事件：第i局中获胜，i=3,4,5

%表示事件：第j局乙获胜，j=3,4

（I）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局,

从而

由于各局比赛结果相互独立，故

=P（4）P（44）+P（5M（A4）P（A）+P（A）P（B4）P（a）

XXXXX

（IDJ的可能取值为2,3

由于各局比赛结果相互独立，所以

=P（4・A）+P叫•山）

=P（A”P（A）+P（纭）・p（H）

xx

PC=3）=1-PC=2）=

J的分布列为

23

p

=2X0.52+3X

2乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次，依

次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,

各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

⑵J表示开始第4次发球时乙的得分，求4的期望.

【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值的问题.首先要理解

发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论.

解:记4为事件“第i次发球,甲胜”，i=l,2,3,那么尸（A）=°6P（&）=0.6,尸（4）=04.

（I）事件”开始第4次发球时•，甲、乙的比分为1比2”为444+444+444,由互斥事件

有一个发生的概率加法公式得

P（AAA+A4A+A44）=0.6x0.4X0.6+0.4X0.6X0.6+0.4X0.4X0.4=0.352

即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2

(1【)由题意4=0,1,2,3.

PC=0)=p(A4A)=06x0.6x0.4=0.144.

p©=1)=p(A+444+A44)=0.4xo.6x0.4+0.6x0.4x0.4+o.6x0.6x0.6=0408

9

P(J=2)=0.352.

所以EJ=0.408+2x0.352+3x0.096=1.4

【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比拟熟悉的背景，同时建立在该根底上求解进行分

类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比拟亲切,容易入手,

但是在讨论情况的时候,容易丢情况.

四、有关摸球与投球问题

例：袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个，记上n号

的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球上表示所取球的标号.(I)求士的分布列，期

望和方差；(卬假设n=a£+b,Er]=l,DQ=11,试求a,b的值

【分析】第(I)小题根据等可能事件的概率计算公式可求W取0、1、2、3、4时的概

率，从而得分布列；第(口)小题根据离散型随机变量的期望与方差建立方程组可解决.

【解】〔I)之的分布列为：

a01234

11131

p

220205

11131

,-.E^=0x-+lx—+2x—+3x—+4x-=1.5.

11131

D^=(0-1.5)2x-4-(l-1.5)2x—+(2-1.5)2x—+(3-1.5)2x—+(4-1.5)2x-=2.75.

52X2.75=11a=2［a=-2

〔II〕由Dn=a2D&,Er);aEW+b,得［u,］，解得人或「.

1.5a+b=1b=-2b=4

【点评】〔1〕求离散型随机变量的分布列有三个步骤：①明确随机变量X取哪些值；②

结合排列与结合知识.

⑵而解决与分布列、期望与方差及应用等问题，一般利用它们相关的性质就可以求解或通过建立

方程来解决来解决.

练习：1在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3

分，在B处每投进•球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A

处的命中率qi为0.25,在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用J

表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

402345

P0.03PiP2P3P4

(I)求q2的值；

(2)求随机变量J的数学期望E&;

(3)试比拟该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

解：(1)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,那么事件A3相互独立，且

P(A)=0.25,P(A)=0.75,P(B)=q2，尸(5)=1一%.

根据分布列知：4=0时?(入万历=2(不尸(7)尸(初=。75(1-%)2=0.03,所以1一%=0.2,q2=0.2.

(2)当g=2时,Pi=P(ABB+ABB)=P(ABB)+P(ABB)

=P(A)P(B)P(B)+P(A)P(B)P(B)=0.75q2(l-^2)Xq2(\-q2

当&=3时,P2=P(ABB)=P(A)P(B)P(8)=0.25(l-%)2=0.01,

当J=4时,P3=P(ABB)==O.75%2=O.48,

当J=5时,P4=P(ABB+AB)=P(ABB)+P(AB)

所以随机变量J的分布列为

g02345

p0.030.24

随机变量4的数学期望EJ=0x0.03+2x0.24+3x0.0l+4x0.48+5x0.24=3.63

(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(ZBB+BZB+BB)

=P(BBB)+P而B)+P(BB)=2(1—%)%2+夕」=08%；

该同学选择⑴中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

2箱中装有4个白球和5个黑球，且规定:取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无

放回,且每球取到的时机均等)3个球,记随机变量I为取出3球所得分数之和.

(【)求X的分布列；

(II)求X的数学期望期爵.

【解析】此题主要考察分布列，数学期望等知识点.

(I)才的可能取值有：3,4,%6.

”=3)吟得P-4)=管啥

S普哈;尸(X=6)吟吟.

故，所求才的分布列为

X3456

5201015521

p===

4242214214422?

(II)所求才的数学期望£(心为：

6P(X=f)=E14.

i=43

王、有关化验检验问题

例：一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优

质品的件数记为〃.如果〃=3,再从这批产品中任取4件作检验，假设都为优质品，那么这批产品通过检

验；如果〃=4,再从这批产品中任取1件作检验，假设为优质品，那么这批产品通过检验；其他情况下,

这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为:，且各件产品是否为优

质品相互独立.

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费

用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望.

解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件4,第一次取出的4件产品全是优质品

为事件Az,第二次取出的4件产品都是优质品为事件当,第二次取出的1件产品是优质品为事件比，

这批产品通过检险为事件A,.依题意有A=(4IS)U(AI42),且4/力与A2&互斥，所以P(A)=P(4S)+

P.A2B2)

=P(4)P(S|A1)+P(A2)P(B2\A2)

(2)X可能的取值为400,500,800,并且

尸(X=400)=l一得一七=七p(x=500)=七

P(X=800)=；.

所以X的分布列为

X4.00500800

1111

P,16Ie4

E(X)=400XH+500X-j^+800X(=506.25.

练习：5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性

的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验,直到能确定患病动物为止.

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.假设结果呈阳性那么说明患病动物为这3只中的1

只，然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;假设结果呈阴性那么在另外2只中任取1只化验.

(I)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

(11)4表示依方案乙所需化验次数,求4的期望.

解：记Ai、A?分别表示依方案甲需化验1次、2次，

Bi、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次，

A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A?与B?独立。

(I)A=A,+A2B2

P(A,)=F=rP(A2)=*~叱)=然M。

P(A)=P(A|+A2B2)

=P(A))+P(A2-B2)

=P(A|)+P(A2)P(B2)

112

=—+—X—

555

7

-25

一18

所以P(A)=1-P(A尸——

25

(IDg的可能取值为2,3.

C3c23232

4

P(Bi)="yH-=-,P(B2)=-,P(€=2)=P(Bi)=-,P(€=3)=P(B2)=-»

CC；C5555

所以E&=2x?3+3x2-=1—2=2.4(次).

555

六、与函数及统计有关问题

例：某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，T立客人游览这三个景点的概率分别是，，，且客人是否游览哪

个景点互不影响，设&表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

［I)求a的分布及数学期望；

［口〕记"函数=3J+1在区间［2,+8)上单调递增”为事件A,求事件A的概率.

解：〔D分别记"客人游览甲景点"，”客人游览乙景点客人游览丙景点”

为事件Ai,A2,A3.由Ai,A2,A3相互独立,P为事，P为2〕,

PA〕=0.6.

客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取

值为3,2,1,0,所以4的可能取值为1,3.

P［<=3)=P(ArA2-A3)+P〔不仄R

=P(Ai)P0)PA〕+P〔不)P(4)P(%)〕

P=l-0.24="6.

J13

所以4的分布列为

P-

£^=1x0.76+3x0.24=1.48.

19

(nj解法一因为了(幻="一；？2+1_彳1，

所以函数fW=x2-3夕+1在区间^,十8)上单调递增，

要使在［2,内)上单调递增，当且仅当ggW2,即4W2

4

从而p(A)=P(4<-)=尸e=1)=0.76.

3

解法二：J的可能取值为1,3.

当J=1时，函数“X)=V-3x+1在区间［2,转)上单调递增，

当J=3时，函数=F-9x+1在区间⑵”)上不凿调递增.0

所以P(A)=PC=l)=0.76.

然习：1某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用

分层抽样方法(层内采用不放叵简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考孩。

(I)求从甲、乙两组各抽取的人数；

(II)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(III)记J表示抽取的3名工人中男工人数，求4的分布列及数学期望。

解析：(1)这一问较简单，关健是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性

别无关。

(II)在第一问的根底上，这一问处理起来也并不困难C

r]8

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率尸=上一@=£"

2

VC10125

UII)J的可能取值为0，1,2,3

.=<P(9)=幽C+1.G=空,

。("0)=冬4=2

a以75G：caa75

C2C11031

PC=3)=WU=w，P(^=2)=l-P(^=0)-P(^=l)-P^=3)=—

Cz|QCq/J

解析：(I)由(0.006x3+0.01+Q054+x)xl0=l,解得*-0.018.

(II)分数在［80,90)、［90,100］的人数分别是50x0.018x10=9人、50x0.006x10=31的取值为0、

1、2.

。伯=。)=等=居=4，尸q=1)=等=||=卷，P(g=2)=警=5=*，所以J的数

C126611Cl2no22C)2on22

69

学期望是鹰=0XA+1X‘2X_i__J2

22-222

3电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.

下面是根据调查结果绘制的观众H均收看该体育节H时间的频率分布直方图；

将口均收看该体育节目时同不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(I)根据条件完成下面的2x2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别

有关?

(II)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大景电视观众中，采用随机抽

样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为尤假设每次抽取的

结果是相互独立的,求才的分布列，期望E(X)和方差D(X).

2+W+2

【答案及解析】

(D由频率公布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2X2列联表如下：

由2X2列联表中数据代入公式计算,得：

因为3.03(X3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.

(II)由频率公布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率，即从观众r抽取一名

“体育迷”的概率为由题意，

4

X~8(3,—)

4，从而X的分布列为：

【点评】此题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列，期望

E(X)和