IIR数字滤波器C语言

HR数字滤波器C语言

分类：数字信号处理2013-09-1614:042146人阅读评论(2)收藏举报

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11巴特沃斯滤波器的次数

12巴特沃斯滤波器的传递函数

13巴特沃斯滤波器的实现C语言

双1次z变换

21双I次z变换的原理

22双I次z变换的实现C语言

IIR滤波器的间接设计代码C语言

间接设计实现的HR滤波器的性能

31设计指标

32程序执行结果

1.模拟滤波器的设计

1.1巴特沃斯滤波器的次数

根据给定的参数设计模拟漉波器，然后进行变数变换，求取数字滤波器的方法，称为

滤波器的间接设计。做为数字滤波器的设计基础的模拟滤波器，称之为原型滤波器。这里，

我们首先介绍的足最简单最基础的原型滤波微，巴特沃斯低通滤波器。由于IIR滤波器不具

有线性相位特性，因此不必考虑相位特性，直接考虑其振幅特性。

也gl=I1Q=-8---F8

5=jQ.

在这里，N是滤波器的次数，Cc是截止频率。从上式的振幅特性可以看出，这个是单

调递减的函数，其振幅特性是不存在纹波的。设计的时候，一般需要先计算跟所需要设计参

数相符合的次数N。首先，就需要先由阻带频率，计算出阻带衰减

4=—201。氏。瓦(JQJ

将巴特沃斯低通滤波器的振幅特性，直接带入上式，则有

.45=-201og10

1+(-1)哈产

最后，可以解得次数N为

当然，这里的N只能为正数，因此，若结果为小数，则舍弃小数，向上取整。

1.2巴特沃斯滤波器的传递函数

巴特沃斯低通滤波器的传递函数，可由其振幅特性的分母多项式求得。其分母多项

1+(“

根据S解开，可以得到极点。这里，为了方便处理，我们分为两种情况去解这个方程。当N

为偶数的时候，

3.

3万+1=0,k=0,2,3…,2N-1

这里，使用了欧拉公式。同样佗，当

N为奇数的时候，

1—=0

/、2N

—=，履

IQ,

同样的，这里也使用了欧拉公式。归纳以上，极点的解为

(2k+l'}

Q,expj-------7i,N:evennumber,k=0,l,2,...52N-l

<2N)

(k\

Q,expj-Jr.N:oddnumber*=0.1.2…・•2N-1

IN/

上式所求得的极点，是在s平面内，在半径为Cc的圆上等间距的点，其数量为2N个。为

了使得其HR滤波器稳定，那么，只能选取极点在S平面左半平面的点。选定了稳定的极点

之后，其模拟滤波器的传递函数就可由下式求得。

%G)=n—

Re。］<0S~Pk

1.3巴特沃斯滤波器的实现(C语言)

首先，是次数的计算。次数的计算，我们可以由下式求得。

_1log10(10^-1)

其对应的C语言程序为

[cpp]viewplaincopy

N=Ceil(0.5*(loglO(pow(10,Stopband_attenuation/10)-1)/

log10(Stopband/Cotoff)));

然后是极点的选择，这里由于涉及到复数的操作，我们就声明一个复数结构体就可

以了。最重要的是，极点的计算含有自然指数函数，这点对于计算机来讲，不是太方便，所

以，我们将其替换为三角函数，

Ck+(1/2)八.左+(1/2)、TK7c「

Q,cos-----------;r+/C,sni-----------兀、N:evennumber,4=0.1.2,

cNN'

Irjrkr

Q.cos—+sin—,N:oddnumber^=0,L2…2N-1

'N'N?

这样的话，实部与虚部就还可以分开来计算。其代码实现为

[cppjviewplaincopy

typedefstruct

(

doubleReal_part;

doubleImag_Part;

}COMPLEX;

COMPLEXpolesfN];

for(k=0;k<=((2*N)-1);k++)

(

if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N))<0)

{

poles[count].Rcal_part=-Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));

poles[count].Imag_Part=-Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));

count++;

if(count==N)break;

计算出稳定的极点之后，就可以进行传递函数的计算了。传递的函数的计算，就像下

式一样

H°G)=n-

S

Re0]<0-Pk

这里，为了得到模拟滤波器的系数，需要将分母乘开。很显然，这里的极点不-一定是整数,

或者来说，这里的乘开需要做复数运算。其复数的乘法代码如下，

[cpp]viewplaincopy

intComplex_Multiple(COMPLEXa,COMPLEXb,

double*Res_Real,double*Res_Imag)

(

*(Res_Real)=(a.Real_part)*(b.Real_part)-(a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);

*(Res_Imag)=(a.Imag_Part)*(b.Real_part)+(a.Real_part)*(b.Imag_Part);

return(int)l;

有了乘法代码之后，我们现在简单的情况下，看看其如何计算其滤波器系数。我们做如下假

设

N=2，P]=4+%2，。2=b\+a2

这个时候，其传递函数为

44XZ

H「G)=-------------------!-------------------

(s-(4+Ja2))($-(4+jb2))

将其乘开，其大致的关系就像下图所示一样。

ReImReIm

a,a、、

•*b:b■

1010

计算的关系一目了然，这样的话，实现就简单多了。高阶的情况下也一样，重复:这种计算就

可以了。其代码为

[cpp]viewplaincopy

Res[O].Real_part=poles[0].Real_part;

Res[O].Imag_Part=poles[OJ.Imag_Part;

Resll].Real_part=I;

Res[l].Imag_Part=0;

for(count_l=0;count_l<N-l;count_l++)

(

for(counl=0;count<=count_l+2;count++)

{

if(0==count)

|

Complex_Multiple(Res[count],poles[count_l+l],

&(Res_Savefcount].Real_part),

&(Res_Save[count].lmag_Pan));

)

elseif((count_l+2)==count)

Res_Save[count].Real_part+=Res[count-l].Real_part;

Res_Savc[countJ.Iniag_Part+=Res[count-1].Iniag_Part;

else

(

Complex_Multiple(Res[count],poles[count_l+l],

&(Res_Save[count].Real_part),

&(Res_Save[count].Imag_Part));

1Res_Savelcount].Real_part+=Reslcount-1J.Rcal_part;

Res_Save[countl.Iniag_Part+=Resfcount-1l.Imag_Part;

*(b+N)=*(a+N);

到此，我们就可以得到一个模拟滤波器巴特沃斯低通滤波器了。

2.双1次z变换

2.1双1次z变换的原理

我们为了将模拟滤波器转换为数字滤波器的，可以用的方法很多。这里着重说说双1

次z变换。我们希望通过双1次z变换，建立一个s平面到z平面的映射关系，将模拟漉波

那转换为数字滤波器。

和之前的例子•样，我们假设有如下模拟滤波器的传递函数。

b

H(s)=

(S+Q)

将其做拉普拉斯逆变换，可得到其时间域内的连续微分方程式，

dv(t)/、7/、

---+=

dt

其中，x⑴表示输入，y⑴表示输出。然后我们需要将其离散化，假设其采样周期是T,用差

分方程去近似的替代微分方程，可以得到下面结果

—卜(〃)一+y\y(n)+>'(77-l)]=-[x(n)+x(?7-1)]

然后使用z变换，再将其化简。可得到如下结果

y(z)b

H(z)=H3”(z)

X(z)21-z-1

f1+z-1

从而，我们可以得到了s平面到z平面的映射关系，即

S=/(N)=匕

T1+Z

由于所有的高阶系统都可以视为一阶系统的并联，所以，这个映射关系在高阶系统中，也是

成立的。

然后，将关系式

z=e沁ands=b+jQ

带入上式，可得

21—i

5-----------：­

T1+eJO

_21-C0S69-jsina>

Tl+cosa>+ysin69

_2l-(cos2G+sin%)-j2sina>

T24-2COS69

=0+y—tan—=5+JQ

T2

到这里，我们可以就可以得到Q与①的对应关系了。

Q=-tan-

T2

这里的c与⑴的对应关系很重要。我们最终的目的设计的是数字谑波器，所以，设

计时候给的参数必定是数字滤波器的指标。而我们通过间接设计设计IIR滤波器时候，首先

是要设计模拟滤波器，再通过变换，得到数字滤波器。那么，我们首先需要做的，就是将数

字滤波器的指标，转换为模拟滤波器的指标，基于这个指标去设计模拟滤波器。另外，这里

的采样时间T的取值很随意，为了方便计算，一般取Is就可以。

2.2双1次z变换的实现(C语言)

我们设计好的巴特沃斯低通滤波器的传递函数如下所示。

/⑸=―-------------------------------

CIQS+4]S+…+4一5+

我们将其进行双1次z变换，我们可以得到如下式子

H(z)=4(s)|3i-：

=______________________________________(1+Z-T

a0!!!(1一2-丫+点；(IT严(l+z-〉+…+ay.(1—z]产(1+z-,+…+a/l+;

可以看出，我们还是需要洛式子乘开，进行合并同类项，这个跟之前说的算法相差不大。其

代码为。

[cpp]viewplaincopy

for(Count=();Count<=N;Count++)

{

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

{

Res[Count_Z]=0;

Res_Save[Count_Z)=0;

)

Res_Save[0]=1;

for(Count_l=0;Count_l<N-Count;Count_1++)

{

for(Count_2=0;Count_2<=Count_l+l;Counl_2++)

{

if(Count_2==0)Res[Count_2]+=Res_Save[Count_2];

elseif((Count_2==(Count_14-1))&&(Count_1!=0))

ReslCount_2]+=-Res_Save[Count_2-I];

elseRes[Count_2]+=Res_Save[Count_2]-Res_Save[Count_2-1

]；

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

{

Res_Save[Count_Z]=Res[Count_Z];

Res(Count_Z]=0;

)

)

for(Count_1=(N-Count);Count_I<N;Count_l++)

{

for(Count_2=0;Count_2<=Count_l+1;Count_2++)

(

if(Count_2==0)Res[Count_2]+=Res_Save[Count_2];

elseif((Counl_2==(Counl_1+1))&&(Count_1!=0))

Res[Count_2]+=Res_Save[Count_2-1];

else

Res[Count_21+=Res_Save[Count_21+Res_Save[Counl_2-11；

)

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

{

Res_Save[Count_Z]=Res[Count_Z];

Res[Count_Z]=0;

)

)

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

{

*(az+Count_Z)+=pow(2,N-Count)*(*(as+Count))*

Res_Save[Count_Z|;

*(bz+Count_Z)+=(*(bs+Count))*Res_Save[Count_Z];

)

到此，我们就已经实现了一个数字滤波器。

3.IIR滤波器的间接设计代码(C语言)

[cpp]viewplaincopy

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#includevmaHoc.h、

#includc<string.h>

#definepi((double*.1415926)

structDESIGN_SPECIFICATION

(

doubleCotoff;

doubleStopband;

doubleStopband_attenualion;

)；

typedefstruct

|

doubleReal_part;

doubleIniag_Part;

}COMPLEX;

intCeil(doubleinput)

(

if(input!=(int)input)return((int)input)+1;

elsereturn((in()input);

intComplex_Multiple(COMPLEXa,COMPLEXb

double*Res_Real,double*Res_Imag)

(

*(Res_Real)=(a.Real_part)*(b.Real_part)-(a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);

*(Res_Imag)=(a.Imag_Part)*(b.Real_part)+(a.Real_part)*(b.Imag_Part);

return(int)l;

in(But(ord(doubleCotoff,

doubleStopband,

doubleStopband_a(tenuation)

(

intN;

printf("Wc=%lf[rad/sec]\nu,Cotoff);

printf("Ws=%lf[rad/sec]\n",Slopband);

piintf("As=%lf[dB]\n",Stopband_attenuation);

printfC-----------------------------------------------\n”)：

N=Ceil(0.5*(log1()(pow(10,Stopband_attenuation/10)-I)/

log10(Stopband/Cotoff)));

return(int)N;

intButter(intN,doubleCotoff,

double*a,

double*b)

(

doubledk=0;

intk=0;

intcount=0,count_l=0;

COMPLEXpoles[N];

COMPLEXReslN+l],Res_SavelN+lJ;

if((N%2)==0)dk=0.5;

elsedk=0;

for(k=0;k<=((2*N)-1);k++)

(

if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N))<0)

{

poles[count].Real_part=-Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));

poles[countl.Imag_Part=-Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));

count++;

if(count==N)break;

printf("Pk=\n")；

fbr(counl=O;count<N;count++)

(

printf("(%lf)+(%lfi)\nH,-poles[count].Real_part

,-poles[count].Imag_Part);

)

printfC------------------------------------------------------------\n");

Res|O].Real_part=poles[0].Real_part;

Res[O].Imag_Part=poles[0].Imag_Part;

Res[l].Real_part=1;

Res[1].Imag_Part=0;

for(count_l=0;count_l<N-l;count_l++)

(

for(count=0:count<=count_l+2;count++)

{

if(0==count)

(

Complex_Multiple(Res[count],poles[count_l+1],

&(Res_Save[countJ.Real_part),

&(Res_Savefcount].Imag_Part));

//printf("Rcs_Save:(%lf)+(%lfi)\n",Res_Save[O].Real_part,Res_Save[O].Imag_Part)

elseif((count_l+2)==count)

|

Res_Save[count].Real_part+=Res[count-ll.Real_part;

Rcs_Save[count].1mag_Part+=Res[count-l].Imag_Part;

}

else

(

Complex_Multiple(Res[count],poles[count_1+1],

&(Res_Save[count].Real_part),

&(Res_Save[count].Imag_Part));

//printf("Res:(%lf)+(%lfi)\n",Res[count-1].Real_par(,Res[counl-I|.Ima

g_Part);

//prinlf("Res_Save:(%lf)+(%lfi)\n",Res_Save[count].Real_part,Res_Save[count].I

mag_Part);

Res_Save[count].Real_part+=Resfcount-1].Real_part;

Rcs_Savc[countJ.1inag_Part+=Res[count-1].lmag_Part;

//printf("Res_Save:(%lf)+(%lfi)\n",Res_Save[count].Real_part,Res_Save[count].I

mag_Part);

)

//prinlfC'There\nn);

)

for(count=0:count<=N:count++)

{

Res[count].Real_part=Res_Save[count].Real_part;

Res[count].Imag_Part=Res_Save[count].1mag_Part;

*(a+N-count)=Reslcount].Rcal_part;

}

//prinlfC'There!!\n");

}

*(b+N)=*(a+N);

//.................................display-.............................................//

printf("bs=[");

fbr(count=0;count<=N;count++)

I

printf("%lf",*(b+count));

}

printf("!\n");

printf("as=[");

fbr(count=0;count<=N;count++)

I

printf("%lf",*(a+count));

)

printf(n1\n");

printfC'------------------------------------------------------------\n");

return(ini)1;

1

intBilincar(intN,

double*as,double*bs,

double*az,double*bz)

(

intCount=0,Count_l=0,Count_2=0,Count_Z=0;

doubleReslN+1J;

doubleRes_Save[N+ll;

for(Count_Z=0;Counl_Z<=N;Count_Z++)

{

*(az+Count_Z)=0;

*(bz+Count_Z)=0;

for(Count=0;Count<=N;Count++)

{

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

RcslCount_Z|=0;

Res_Save[Count_Z)=0;

)

Res_Savef0]=1;

for(Count_l=0;Counl_l<N-Count;Count_l++)

{

for(Count_2=0;Count_2<=Count_1+1;Count_2++)

{

if(Count_2==0)

(

Res[Count_2J+=Res_Save[Count_2];

//printf("Res[%d]%lf\n",Count_2,Res[Count_2]);

)

elseif((Count_2==(Count_1+1))&&(Count_1!=0))

{

Res[Count_2]+=-Res_Save[Count_2-1];

//printf('Res[%d]%lf\n",Count_2,Res[Count_2]);

else

Rcs[Count_2]+=Res_Savc[Count_2]-Res_Savc[Count_2-11;

//printf("Res[%d]%lf\n",Count_2,Res[Count_2]);

)

//printf("Res:");

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

|

Res_Save[Count_Zl=Res[Count_Zl;

Rcs[Count_Z]=0;

//printf(nr%d]%lf",Count_Z,Res_Save[Count_Z]);

)

//printfC*\n");

for(Count_1=(N-Count);Count_l<N;Count_l++)

(

for(Count_2=0;Count_2<=Count_1+1:Count_2++)

{

if(Count_2==0)

(

Res[Count_21+=Res_Save[Count_2];

//printf(HRes[%dJ%lf\n",Count_2,Res[Count_2J);

)

elseif((Counl_2==(Coun(_l+l))&&(Count_l!=0))

{

Res[Count_2J+=Res_Save[Count_2-I];

//printf('Res[%d]%lf\n",Count_2,Res[Count_2]);

)

else

{

Res[Count_2J+=Res_Save[Count_2]+Res_Save[Count_2-1];

//printf("Res[%d]%lf\n",Couni_2,Res[Count_2]);

//printf("Res:");

for(Count_Z=O;Count_Z<=N;Count_Z++)

(

Res_Save[Count_Z]=Res[Count_Z];

Res[Count_Z]=0;

//printf("[%dj%lf",Count_Z,Res_Save[Count_Z]);

)

//printfC1'\n");

//printf("Res:");

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

{

*(az+Count_Z)+=pow(2,N-Count)*(*(as+Count))*Res_SavelCount_ZJ;

*(bz+Count_Z)+=(*(bs+Count))*Res_Save[Count_Z];

//printf(0%lf",*(bz+Count_Z));

)

//printf("\n");

I

for(Count_Z=N;Count_Z>=0;Count_Z—)

(

*(bz+Count_Z)=(*(bz+Count_Z))/(*(az+0));

*(az+Count_Z)=(*(az+Count_Z))/(*(az+0));

//---------------------------display--------------------------------------//

printf("bz=[");

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

(

printf("%lf\*(bz+Count_Z));

)

printf("]\n");

printfC'az=[");

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

(

printf("%lf",*(az+Count_Z));

}

printf(H1\n");

printf(".........................................................................................................\n");

return(int)1;

intmain(void)

intcount;

structDESIGN_SPECIFICATIONIIR_Filter;

HR.Filter.Cotoff=(double)(pi/2);//[red]

IIR_FiIter.Stopband=(double)((pi*3)/4);//[red]

11R_Filter.Stopband_attenuation=30;//[dB]

intN;

IIR_Filter.Cotoff=2*tan((IIR_Filtcr.Cotoff)/2);//[red/sec]

IIR_Filcer.Stopband=2*lan((IIR_Filter.Stopband)/2);//[red/sec]

N=Buttord(IIR_Filter.Cotoff,

11R_FiIter.Stopband,

IIR_Filtcr.Stopband_attcnuation);

printfC'N:%d\n",N);

printfC1...............................................................................\n");

doubleas[N+l],bs[N+l];

But(er(N,

IIR_Filter.Cotoff,

as,

bs);

doubleaz[N+1],bz[N+l];

Bilinear(N,

as.bs,

az,bz);

printf("Finish\n");

relum(int)O;

3.间接设计实现的IIR滤波器的性能

3.1设计指标

a.截止频率从q=g[rad]

b.阻带起始频率生=；i[rad]

c.阻带衰减4=30[dB]

3.2程序执行结果

使用上述程序，gcc编译通过，执行结果如下。

画kter