第11章 整式的乘除期末复习（知识清单）（原卷版）-华东师大版(2024)八上

第11章整式的乘除一、幂的运算1.同底数幂相乘：底数不变，指数相加。2.幂的乘方：底数不变，指数相乘。3.积的乘方：等于各因数乘方的积。4.同底数幂相除：底数不变，指数相减。二、整式的乘法1.单项式乘以单项式：把他们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2.单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。3.多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。三、整式的除法1.单项式相除：把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。2.多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。四、乘法公式1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。2.完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²。两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。五、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法主要有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、添拆项法等。其中，公式法即利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。一、整式乘法易错点1.单项式乘法时，容易在计算积的系数时忽略符号，或漏掉只在一个单项式里出现的字母。例如，在计算(2a³b)²·(-3a²b³c)时，可能会忽略负号或漏掉字母c。2.单项式与多项式相乘时，容易出现去括号时忽略符号、漏乘不相同的字母、漏项或不合并同类项的错误。例如，在计算x(x²-xy+y²)-y(x²+xy+y²)时，可能会在去括号或合并同类项时出错。3.多项式与多项式相乘时，容易在去括号时漏乘某项或忽略符号。二、整式除法易错点1.在整式除法中，余数问题常常让人头疼，需要仔细检查计算过程，避免出错。2.单项式除以单项式时，容易在计算系数和同底数幂的除法时出错，或忽略只在被除式里出现的字母及其指数。3.多项式除以单项式时，需要确保每一项都正确除以单项式，并将所得的商相加，避免漏项或计算错误。三、因式分解易错点在进行因式分解时，公因式的提取要彻底，否则会导致分解不彻底或结果错误。同时，要注意检查分解后的式子是否满足原式的要求。综上所述，整式的乘除和因式分解是数学中的基础内容，但也是容易出错的部分。在学习过程中，需要仔细理解运算规则，多进行练习和总结，以提高计算的准确性和效率。四、特殊公式应用易错点1.平方差公式与完全平方公式的混淆：在整式的乘除中，平方差公式(a-b)²=a²-2ab+b²和完全平方公式(a+b)(a-b)=a²-b²经常被混淆。在应用这些公式时，需要准确判断题目中给出的式子是否满足公式的条件，并注意公式的正确形式。2.乘法公式的逆用：有时题目需要利用乘法公式的逆用来进行因式分解或化简，但学生往往难以识别这种应用情境，导致解题受阻。因此，需要加强对乘法公式逆用的理解和练习。五、解题策略与习惯易错点1.缺乏检查习惯：在整式的乘除运算中，由于步骤较多，容易出现计算错误或符号错误。因此，养成良好的检查习惯至关重要。在完成运算后，应仔细检查每一步的计算过程和结果，确保无误。2.忽视题目条件：有时题目会给出一些特殊的条件或限制，但学生在解题过程中往往忽视这些条件，导致解题方向偏离或结果错误。因此，在解题前需要仔细阅读题目，明确题目要求和条件。3.缺乏解题策略：面对复杂的整式乘除问题，学生往往缺乏有效的解题策略，导致解题效率低下或无法得出正确答案。因此，需要学习和掌握一些常用的解题策略，如代入法、特殊值法、公式法等，以提高解题能力。题型01同底数幂的乘法1.下面计算正确的是（）A． B． C． D．2.若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（）A． B．C． D．3.若，，则．4.我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题：（1）若，则；（2）若，则；5.如果，那么我们规定．如：因为，所以．(1)【理解】根据上述规定，填空：___________，___________；(2)【说理】记．试说明：；(3)【应用】若，直接写出的值．题型02幂的乘方1.下列计算正确的是（

）A． B． C． D．2.计算的结果是（

）A． B． C． D．3.已知，则的值是．4.我们定义：三角形，四边形；若，则．5.在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题：(1)若，求的值；(2)若，求的值．题型03积的乘方1.下列计算正确的是（

）A． B．C． D．2.计算的结果是（）A． B． C． D．3.计算：．4.已知，，则的值为．5.阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较和的大小．解：，且，，即．小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．材料二：比较和的大小．解：，且，，即．小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．【方法运用】(1)比较、、的大小；(2)比较、、的大小；(3)已知，，，，比较、的大小；(4)比较与的大小．题型04同底数幂的除法1.下列运算正确的是（

）A． B． C． D．2.已知，，则的值为（

）A． B． C．4 D．63.已知，那么的值为．4.已知，则的值为．5.已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)字母，，之间的数量关系为_____________．题型05单项式与单项式相乘1.计算的结果是（）A． B． C． D．2.已知单项式与的积为，则m，n的值为（

）A．， B．，C．， D．，3.计算：．4.若，则的值为．5.计算：(1)；(2)；(3)；(4)题型06单项式与多项式相乘1.计算：（

）A． B． C． D．2.计算的结果正确的是（

）A． B． C． D．3.计算：．4.计算的结果是．5.在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形．(1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简）(2)若，求图中盲区的总面积．题型07多项式与多项式相乘1.已知：，，化简的结果是（

）A． B．8 C．6 D．2.已知，则的值为（

）．A．25 B．24 C．16 D．103.如果的乘积中不含的一次项，则的值为．4.我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和．请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是．5.在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：．(1)求出m，n的值；(2)求的值．题型08两数和乘以这两数的差1.下列各式中能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．2.如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式是（

）A． B．C． D．3.若，，则．4.如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为．5.思考与探究如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．(1)在图2中的阴影部分的面积S，可表示为（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S：可表示为（写成两数平方差的形式）；(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；A．B．C．(3)请利用所得等式解决下面的问题：计算的值．题型09两数和（差）的平方1.若是一个完全平方式，则a的值为（

）A．或 B． C． D．或2.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（

）A．28 B．21 C．19 D．153.，，则．4.已知，则代数式的值为．5.阅读材料：若x满足，求的值．解：设，，则，，，解决问题：(1)若x满足．则________；(2)若x满足，求的值；(3)如图，在长方形中，，，点E、F是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40平方单位，求图中阴影部分的面积和．题型10单项式除以单项式1.下列运算正确的是（

）A． B．C． D．2.小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如，则“█”所表示的式子是（

）A． B． C． D．3.计算：．4.某科技馆的“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如图的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是．5.计算与化简：(1)；(2)．题型11多项式除以单项式1.若多项式除以单项式的值为多项式M，则多项式M是（

）A． B． C． D．2.已知，那么代数式值是（

）．A．18 B．17 C．16 D．153.计算：．4.计算：．5.化简求值：，其中．题型12因式分解1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．2.已知可分解因式为，则的值是（）A．1 B．6 C．7 D．83.分解因式：