《三角形全等的判定-HL》教案

《三角形全等的判定——HL》教案教学目标教学目标：1．探索并理解“HL”判定方法．2．会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等．3.经历猜想、作图、归纳的几何探究过程，发展逻辑推理能力和几何表达能力.教学重点：理解并运用“HL”判定方法．教学难点：“HL”判定方法的使用条件和注意事项.教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟情境引入，引发思考问题：如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？（测量其中的一边和一角）（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？（测量未被遮挡的两边）思考：斜边和一条直角边分别相等的两直角三角形全等吗？5分钟条件探索，作图归纳探究：任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？作法：（1）画∠MC′N=90°；（2）在射线C′M上取B′C′=BC；（3）以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；（4）连接A′B′．现象：两个直角三角形能重合．说明：这两个直角三角形全等．HL判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．几何语言：在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∵AB=A∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）15分钟知识应用如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求证：BC=AD．证：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠C=∠D=90°在Rt△ABC与Rt△BAD中，∵AB=BA∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）∴BC=AD变式.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．（1）AD=BC理由：HL（2）AC=BD理由：HL（3）∠DBA=∠CAB理由：AAS（4）∠DAB=∠CBA理由：AAS例2.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？解：D，E与路段AB的距离相等.理由：∵C是路段AB的中点，∴AC=BC

又∵DA⊥AB，EB⊥AB∴∠A=∠B=90°在Rt△ACD与Rt△BCE中，∵DC=EC∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）∴DA=EB（全等三角形的对应边相等）例3.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF．求证：（1）AE=DF（2）CD//AB证：∵CE=BF

∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE∵AE⊥BC，DF⊥BC

∴∠DFC=∠AEB=90°

在Rt△AEB与Rt△DFC中，∵AB=DC∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL）∴AE=DF，∠C=∠B∴CD//AB例4.如图，已知AB=AC，AE=AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1=∠2.证：∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴∠E=∠F=90°在Rt△AEC与Rt△AFB中，∵AC=AB∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）∴∠EAC=∠FAB

∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC，即∠1=∠2．变式.在例4的基础上，设EC与AB交于点M，BF与AC交于点N，那么EM和FN相等吗？请说明理由.解：EM=FN理由：在Rt△AEM与Rt△AFN中∵∴Rt△AEM≌Rt△AFN（ASA）∴EM=FN2分钟课堂小结1.“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学的四种判定方法有什么不同？斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.①此判定方法只针对两个直角三角形，而之前所学的判定适用于任意三角形.②此判定方法在直角三角形的前提下，只需满足两条边（斜边与一直角边）相等即可；之前的判定方法都需满足三个条件.2.判定两个直角三角形全等有哪些方法？SSS，SAS，ASA，AAS，HL注意：由于已有直角条件，所以我们多使用后4个判定方法.课后作业如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高.求证：（1）BD=CD；（2）∠BAD=∠CAD用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．知能演练提升一、能力提升1.下列说法不正确的是()A.一个锐角和其对边对应相等的两个直角三角形全等B.两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等C.两边及其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等D.斜边对应相等的两个直角三角形全等2.已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件不能判定△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF3.如图,已知AB=AC,AD=AE,AF⊥BC于点F,则图中全等三角形共有()A.1对 B.2对 C.3对 D.4对4.如图,M是BC上一点,过点M作MD⊥AB于点D,且MC=MD.如果AC=8cm,AB=10cm,那么BD=cm.

5.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.已知∠ABC=32°,则∠DFE的度数是.

6.如图,AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE,求证:AB∥DE.7.如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,且BD=CD,DE,DF分别垂直于AB,AC,垂足为E,F.求证:BE=CF.8.如图,在△ABC中,AC=BC,直线l经过顶点C,过A,B两点分别作l的垂线AE,BF,垂足为E,F,且AE=CF.求证:∠ACB=90°. 二、创新应用★9.(1)如图①,点A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC.若AB=CD,试证明BD平分EF;(2)若将图①变为图②,其余条件不变,则上述结论是否仍然成立?请说明理由.①②

知能演练·提升一、能力提升1.D根据三角形全等的条件去验证.选项D中只有斜边对应相等,不符合直角三角形全等的条件.2.B3.D△ABD≌△ACE,△ADF≌△AEF,△ABF≌△ACF,△ABE≌△ACD.4.2在Rt△AMC和Rt△AMD中,AM∴Rt△AMC≌Rt△AMD.∴AC=AD=8cm.又AB=10cm,∴BD=2cm.5.58°在Rt△ABC和Rt△DEF中,AC∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠DFE=∠ACB=90°-32°=58°.6.证明∵C是BE的中点,∴BC=CE.∵AD⊥BE,∴∠ACB=∠DCE=90°.在Rt△ACB和Rt△DCE中,AB∴Rt△ACB≌Rt△DCE(HL).∴∠B=∠E.∴AB∥DE.7.证明在△AED和△AFD中,∠∴△AED≌△AFD.∴DE=DF.在Rt△BDE和Rt△CDF中,BD∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴BE=CF.8.证明在Rt△ACE和Rt△CBF中,AC∴Rt△ACE≌Rt△CBF(HL),∴∠EAC=∠BCF.∵∠EAC+∠ACE=90°,∴∠ACE+∠BCF=90°,∴∠ACB=180°-90°=90°.二、创新应用9.分析先证明两个直角三角形全等,再由全等三角形的对应边相等和对应角相等的性质,推出EG与FG所在的三角形全等.(1)证明∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠BFA=90°.∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中,AB∴Rt