《垂直于弦的直径(第一课时)》教案

《垂直于弦的直径（第一课时）》教案教学目标教学目标：1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并初步会用它解决有关的证明与计算问题； 2.培养观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.              教学重点：垂径定理及应用.教学难点：垂径定理的证明及应用.教学过程时间教学环节主要师生活动动手探究1.提出问题：如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？2.动手操作：多次对折圆形纸片.3.得出结论：在折叠过程中引导学生观察对折后的两部分是否能重合，能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.如何证明圆是轴对称图形？4、圆的轴对称性的证明证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点，过点A作AA＇⊥CD，交⊙O于点A＇，垂足为M，连接OA,OA＇.在OAA＇中，∵OA=OA＇，∴OAA＇是等腰三角形.又AA＇⊥CD，∴AM=MA＇即CD是AA＇的垂直平分线.这就是说，对于圆上的任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A＇,因此⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.这种证明方法是证明一个图形是轴对称图形的常用方法.⌒⌒⌒⌒⌒探究新知提出问题：如果我们在⊙O中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？动手操作：学生通过动手实验不难得出只要作出垂直于弦AB的直径，沿着这条直径所在的直线对折即可.该图形是轴对称图形，对称轴是垂直弦的直径所在的直线.观察猜想：设直径CD与弦AB垂直于点E（如图）,在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中还有哪些相等的线段和相等的弧？AE=BE,猜想：如果有一条直径垂直于弦，那么它就能平分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.4.验证猜想：利用圆的对称性证明可以得到点A和点B是对称点，把圆沿着直径CD所在直线折叠时，点A和点B重合，.因此，AE=BE.由此验证了猜想的正确性，这一重要结论称为垂径定理.5.归纳定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.符号语言：注意：定理中的两个条件缺一不可①过圆心，②垂直于弦.结论是③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧.6.巩固定理：下列图形中，AB是⊙O的弦，它们是否适用垂径定理找到相等的线段或相等的弧？.新知应用例1如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.分析：因为要求半径，所以还要连结OA.OE⊥AB,利用勾股定理可得⊙O的半径.解题过程如下：例2如图，在⊙O中，直径OC⊥AB，垂足为E，CE=2cm，求⊙O的半径.例2如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.思路1：连接OA，OB，OC，OD．证明△OAC≌△OBD（证明△OAD≌△OBC）．思路2：连接OA，OB，OC，OD．过点O作OE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质．思路3：过点O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理．证明：过点O作OE⊥AB于点E.∵OE⊥AB，∴AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，∴AC＝BD．思考1：在应用垂径定理的过程中，常用的辅助线是什么？归纳1.在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。实际上，只需从圆心做一条与弦垂直的线段即可。思考2：如果我们设圆的半径为，圆心到弦的距离为，弦长为，你能找到它们三者之间的关系式吗？归纳2.这样把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径，圆心到弦的距离，弦长之间的关系式.课堂小结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.布置作业1.如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则∠AOB＝度，点O到AB的距离为.2.在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16,以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长．3.如图，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E.求证：四边形ADOE是正方形.知能演练提升一、能力提升1.如图,AB是☉O的弦,半径OA=2,∠AOB=120°,则弦AB的长为()A.22 B.23 C.5 D.322.如图,☉O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交☉O于B,C点,则BC等于()A.63 B.62 C.33 D.323.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(注:尺、寸是我国古代计量单位,1米=3尺,1尺=10寸).问这根圆形木材的直径是寸.

4.已知AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足为M,连接OA.若△AOM中有一个角是30°,OM=23,则弦AB的长为.

★5.小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,它的截面图如图所示,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,则该脸盆的半径为cm.6.如图,在☉O中,OD平分弦AB,OE平分弦AC,求证:AM=AN.7.如图,将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D,E,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm.求直尺的宽.二、创新应用★8.如图,铁路MN和公路PQ在点O处交会,∠QON=30°.在点A处有一栋居民楼,AO=200m,如果火车行驶时,周围200m以内会受噪音影响,那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时,居民楼会受到影响.如果火车行驶的速度是72km/h,那么居民楼受噪音影响的时间约为多少秒?(参考数据:3≈1.732,结果精确到0.1s)知能演练·提升一、能力提升1.B2.A3.264.12或45.25如图,设圆心为O,连接OB,OC,则OC⊥AB,设垂足为点D,圆的半径为r.由垂径定理,得BD=20,OD=r-10,根据勾股定理,得(r-10)2+202=r2,解得r=25.6.证明∵OD平分弦AB,OE平分弦AC,∴OD⊥AB,OE⊥AC.∴∠D+∠DMB=90°,∠E+∠ENC=90°.∵OD=OE,∴∠D=∠E.∴∠DMB=∠ENC,即∠AMN=∠ANM.∴AM=AN.7.解如图,过点O作OM⊥DE,垂足为M,连接OD.则DM=12DE∵DE=8cm,∴DM=4cm.在Rt△ODM中,∵OD=OC=5cm,∴OM=OD2-DM∴直尺的宽度为3cm.二、创新应用8.分析要求居民楼受噪音影响的时间,首先要求出受噪音影响的路段.以A为圆心,200m为半径的圆形区域内受噪音的影响,☉A与MN的交点之间的线段即为受影响的路段,利用垂径定理与勾股定理即可求出此线段的长度.解如图,过点A作AD⊥MN,垂足为D,∠AOD=30°