重庆市九校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

第1页/共1页重庆市九校联盟高2027届（高二上）期中联考数学学科试卷考试时间：120分钟总分：150分命审学校：合川育才中学、双桥中学预测难度系数0.59一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用中点坐标公式可得答案.【详解】因为点、，则线段的中点坐标为，即.故选：B.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将直线的一般方程化为斜截式方程，可得直线的斜率，从而求得直线的倾斜角.【详解】由，得.所以直线的斜率为．设该直线的倾斜角为，．因为，所以．因为，所以.故选：A．3.若平面的法向量为，则下列各向量与垂直的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量垂直坐标运算逐项判断即可.【详解】对于A，，不合题意；对于B，，符合题意；对于C，，不合题意；对于D，，不合题意.故选：B.4.若点在圆的内部，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可.【详解】因为点在圆内部，所以，解得.故选：C.5.在机器人车间里，有一台负责搬运零件的机械臂，其运动结构可抽象为：底座是一个矩形平台，机械臂的主杆垂直于平台所在平面（即平面），现要将一零件从点搬运到点，已知，若，，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式.【详解】由题意可知，即，则，所以，因为四边形为矩形，所以，故.故选：D.6.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】选择恰当的基底，求得向量与夹角的余弦值，其绝对值即为与所成角的余弦值.【详解】直三棱柱中，平面.又，所以两两垂直...所以，...所以与所成角的余弦值是.故选：B7.已知圆，是圆上的一条动弦，且，设中点为，则到直线距离的最大值为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出点的轨迹圆的方程，求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径，即为点到直线距离的最大值.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为是圆上的一条动弦，且，且中点为，则，所以，故点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，圆心到直线的距离为，故到直线距离的最大值.故选：C.8.如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，点在上底面正方形（含边界）内运动，满足，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积确定点轨迹即可.【详解】如图，以点坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设，，所以，，由，得，整理得，所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，此圆在正方形内部，所以点的轨迹长度为.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知向量，，则下列结论正确的有（）A. B.若，则C. D.向量在向量上的投影向量为【答案】ABD【解析】【分析】借助模长公式可得A；借助向量平行的充要条件计算可得B；借助向量坐标运算可得C；借助投影向量公式计算可得D.【详解】对于A：由模长公式得，，A正确；对于B：由题意得，因为，则存在实数，使得，即，，B正确；对于C：由题知，C错误；对于D：向量在向量上投影向量为，D正确.故选：ABD10.已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（）A.若点在直线上，则直线与圆相交 B.若点在圆外，则直线与圆相离C.若点在圆内，则直线与圆相离 D.若点在圆上，则直线与圆相切【答案】CD【解析】【分析】由点在直线上，得.由圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，判断A；由点在圆外，得，求圆心到直线的距离判断B；由点在圆内，得，求圆心到直线的距离判断C.由点在圆上，得，求圆心到直线的距离判断D.【详解】对于A，由点在直线上，得，即.此时由圆心到直线的距离，所以直线与圆相切,所以A错误；对于B，由点在圆外，得，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.所以B错误；对于C，点在圆内，得，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.所以C正确；对于D，由点在圆上，得，求圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.所以D正确.故选：CD.11.正方体中，下列结论正确的是（）A.直线与直线所成角为 B.二面角的大小为C.直线与平面所成角为 D.平面平面【答案】AB【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义可判断A；由二面角的定义，找到二面角的平面角，判断B；由线面角的定义作出并求得直线与平面所成角，判断C；设正方体的棱长为a，棱的中点，连接，求得平面与平面所成的角，判断D.【详解】对于A，连接，因为，所以四边形为平行四边形，所以为直线与直线所成的角，连接，则，所以是正三角形，所以，所以A正确；对于B，由正方体的性质知，平面，因为平面，所以；因为，平面，所以是二面角的平面角，易知，所以二面角的大小为，所以B正确；对于C，由正方体的性质知，平面，所以是直线与平面所成的角，易知，所以直线与平面所成角为，所以C错误；对于D，设正方体的棱长为a，易知与均为边长为的正三角形，如图，取棱的中点，连接，则，则为平面与平面所成角的平面角，且，又，所以，所以，所以D错误.故选：AB.三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分12.点到直线的距离为_____．【答案】【解析】【分析】利用点到直线距离公式直接求解即可.【详解】点到直线的距离.故答案为：.13.直线：恒过定点_____．【答案】【解析】【分析】将直线方程变形为：，解，可得所过定点.【详解】由，得.由，.所以直线：恒过定点.故答案为：14.设点、，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】求出直线关于对称的直线的方程，根据直线与圆有公共点，可得出关于的不等式，解之即可.【详解】点关于直线的对称点为，且点在直线上，，所以直线的方程为，即直线的方程为，由题意可知，若直线关于对称的直线为直线，圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，整理可得，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题（本大题共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在一次数学练习中，甲、乙两人同时独立做同一道较难的数学题，已知甲、乙能做对的概率分别是0.4和0.5．（1）求两人都做对此数学题的概率；（2）求恰有一人做对此数学题的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可；（2）根据概率的加法与乘法公式求解即可.【小问1详解】设事件“甲做对”，事件“乙做对”，则“两人都做对”为事件..【小问2详解】“恰有一人做对”为事件，.16.求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程：（1）倾斜角为的直线；（2）与直线平行的直线；（3）与直线垂直的直线．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求得直线l1与l2的交点，根据直线的点斜式方程求得直线的方程，并转化为一般式方程；（2）根据平行求出直线l4的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程；（3）根据垂直求出直线l5的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程.【小问1详解】联立直线方程得解得：，∴交点∵直线的倾斜角为，∴∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：.【小问2详解】∵直线与直线平行，∴∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：.【小问3详解】∵直线与直线垂直，∴，∴∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：.17.已知空间三点，，．（1）求向量与的夹角；（2）若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出向量与的坐标，根据数量积求向量与的夹角的余弦值，进而求得向量与的夹角；（2）根据与夹角为锐角，可得且与不共线，解不等式即得的取值范围．【小问1详解】由已知得：，，则，∵，∴向量与的夹角为．【小问2详解】，∵与夹角为锐角，∴且与不共线.由，可得，解得①当与共线时，存在实数，使得.即，解得，∵与不共线，∴②，由①②得.18.已知圆经过点和，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）设直线经过点，且与圆相切，求直线的一般式方程；（3）为圆上任意一点，在（1）的条件下，求的最小值．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）求出的垂直平分线方程，利用圆的性质可得圆心在的垂直平分线上，求得圆心坐标和半径，得解；（2）分直线斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式求解；（3）由题表示圆上的点到的距离的平方，根据圆的几何性质可以转化为求出圆心到点的距离减去半径即可，平方后得最小值.【小问1详解】由题，的中点为，的斜率，所以的垂直平分线方程为，又圆心在直线上，联立，解得，所以圆心坐标为，半径为，∴圆的标准方程为.【小问2详解】①当直线斜率不存在时，，即经检验当的方程为时，验证可知与圆相切；②当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为即时，圆心到直线的距离为，解得，所以的方程为，即.所以直线的一般式方程为或.【小问3详解】由（1）知圆心为，半径为2，表示圆上的点到的距离的平方.圆心到的距离，圆的半径，因为，所以在圆内部，圆上点到的最小距离为，因此最小值为.19.如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题：（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明直线的方向向量与该法向量垂直，证明线面平行；（2）由线面角的向量求法求得直线与平面所成角的余弦值；（3）设存在点，使得平面，根据线面垂直的向量证法求得参数的值，从而判断不存在点，