高中数学（文）课时作业第三章三角函数解三角形22

课时作业22正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A＋B)＝eq\f(1,3)，a＝3，c＝4，则sinA＝()A.eq\f(2,3)B.eqB.\f(1,4)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,6)解析：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(3,sinA)＝eq\f(4,sinC)，又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝eq\f(1,3)，∴sinA＝eq\f(1,4)，故选B.答案：B2．(2018·济南模拟)在△ABC中，AC＝eq\r(13)，BC＝1，B＝60°，则△ABC的面积为()A.eq\r(3)B．2C．2eq\r(3)D．3解析：本题考查余弦定理、三角形的面积公式．在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即(eq\r(13))2＝AB2＋12－2×1×ABcos60°，解得AB＝4，所以△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×4×1×sin60°＝eq\r(3)，故选A.正确利用余弦定理求解三角形的边长是解题的关键．答案：A3．(2018·重庆适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝eq\r(3)，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),4)B.eqB.\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2)D.eqD.\f(3,2)解析：依题意得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，C是三角形内角，即C＝60°，因此△ABC的面积等于eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4)，选B.答案：B4．(2018·张掖市第一次诊断考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝eq\f(1,2)asinC，则sinB为()A.eq\f(\r(7),4)B.eqB.\f(3,4)C.eq\f(\r(7),3)D.eqD.\f(1,3)解析：由bsinB－asinA＝eq\f(1,2)asinC，且c＝2a，得b＝eq\r(2)a，∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4)，∴sinB＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2)＝eq\f(\r(7),4).答案：A5．(2018·太原五中检测)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sinA＝eq\f(2\r(2),3)，a＝2，S△ABC＝eq\r(2)，则b的值为()A.eq\r(3)B.eqB.\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)解析：因为S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2)，所以bc＝3①.因为△ABC是锐角三角形，所以cosA＝eq\f(1,3)，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，即4＝b2＋c2－2×3×eq\f(1,3)，所以b2＋c2＝6②.联立①②，解得b＝c＝eq\r(3)，故选A.答案：A二、填空题6．(2017·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.解析：方法一：由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴cosB＝eq\f(1,2).∴B＝eq\f(π,3).方法二：∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝eq\f(1,2).又0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).方法三：由余弦定理得2b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，即b·eq\f(a2＋c2－b2,ac)＝b，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝eq\f(1,2)，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)7．(2018·四川成都市第一次诊断检测)已知△ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(6)，△ABC的面积为eq\f(\r(3),2).若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝eq\f(π,4)，则CD＝________.解析：因为S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sin∠BCA，即eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(6)×sin∠BCA，所以sin∠BCA＝eq\f(1,2).因为∠BAC>∠BDC＝eq\f(π,4)，所以∠BCA＝eq\f(π,6)，所以cos∠BCA＝eq\f(\r(3),2).在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝2＋6－2×eq\r(2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝2，所以AB＝eq\r(2)，所以∠ABC＝eq\f(π,6)，在△BCD中，eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠ABC)，即eq\f(\r(6),\f(\r(2),2))＝eq\f(CD,\f(1,2))，解得CD＝eq\r(3).答案：eq\r(3)8．(2018·深圳调研)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即△ABC的面积S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))2)))，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若b＝2，且tanC＝eq\f(\r(3)sinB,1－\r(3)cosB)，则△ABC的面积S的最大值为________．解析：本题考查数学文化、三角恒等变换、正弦定理、三角形的面积公式、二次函数的图象与性质．由tanC＝eq\f(\r(3)sinB,1－\r(3)cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，可得sinC＝eq\r(3)(sinBcosC＋cosBsinC)＝eq\r(3)sin(B＋C)＝eq\r(3)sinA，结合正弦定理可得c＝eq\r(3)a，而S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))2)))＝eq\f(1,2)eq\r(3a4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a2－4,2)))2)＝eq\f(1,2)eq\r(－a2－42＋12)≤eq\r(3)，当且仅当a＝2，c＝2eq\r(3)时，等号成立，故△ABC的面积S的最大值为eq\r(3).答案：eq\r(3)三、解答题9．(2018·山东师大附中一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解析：(1)∵bsinA＝eq\r(3)acosB，由正弦定理得sinBsinA＝eq\r(3)sinAcosB.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB＝eq\r(3)，B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB即9＝a2＋4a2－2a·2acoseq\f(π,3)，解得a＝eq\r(3)，∴c＝2a＝2eq\r(3).10．(2017·新课标全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解析：(1)由题设得eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)，即eq\f(1,2)csinB＝eq\f(a,3sinA).由正弦定理得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA).故sinBsinC＝eq\f(2,3).(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,2).又B＋C∈(0，π)所以B＋C＝eq\f(2π,3)，故A＝eq\f(π,3).由题意得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝eq\r(33).故△ABC的周长为3＋eq\r(33).[能力挑战]11．(2018·东北四市高考模拟)已知点P(eq\r(3)，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，函数f(x)＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→)).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，△ABC的面积为eq\f(3\r(3),4)，求△ABC的周长．解析：(1)由题易知，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1)，eq\o(QP,\s\up6(→))＝(eq\r(3)－cosx,1－sinx)，所以f(x)＝eq\r(3)(eq\r(3)－cosx)＋1－sinx＝4－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为f(A)＝4，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a