《阅读与思考：黄金分割数》教案

《阅读与思考：黄金分割数》教案教学目标教学目标：1.了解黄金分割数的意义.2.了解黄金分割数的应用.教学重点：了解黄金分割数的意义.教学难点：了解黄金分割数的意义.教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟活动1问题引入同学们好，下面这些图片中，有建筑物，有植物，有画像也有雕塑，它们都给人一种美和和谐的感受，你知道其中的奥秘吗？原来它们都和一个神秘的数字有关系，这节课老师就和你们一起来探索吧！10分钟活动2概念探索在本章引言中有一个关于人体雕塑的问题，要使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，这个高度比应是多少？首先，我们将条件标注在图上：AACCBB我们将雕像抽象为线段，肚脐的位置标志为点C，这个问题就转化为了纯数学符号的描述形式，我们把实际图形去掉，得到：根据题目条件，C把AB分为AC和BC两段，其中AC是较小的一段，现要使.接下来要引入未知量将这个等式转化为方程来求解，由于我们要计算的是比值，简单起见，我们可以设AB=1,CB=x,则，代入，得到,整理得.解方程，得.根据问题的实际意义，取，这个值就是问题中所求的高度比.有同学也许会问，把线段的长度设为1是不是太特殊了，是不是失去了一般性呢？那我们不妨试试看，如果我们设线段AB=a，CB=x,则AC=a−x，这样代入得到结合实际意义，解得，同样可以得到高度比为我们也可以从中发现，当所求为比值时，设总量为单位1能够将问题简化同时不失一般性，这也是我们处理数学问题的常用方法.人们把这个数叫做黄金分割数.如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数.这个分割点叫做黄金分割点，称1:0.618为黄金分割比.一些美术家认为，如果人的上、下身长之比接近黄金分割数，那么可以增加美感.据说，一些名画和雕塑中的人体都符合这个比例.比如，著名的女神维纳斯的雕像就符合这个比例.5分钟活动3确定线段黄金分割点的作图同学们，请思考这个问题：每一条线段都存在黄金分割点吗？我们如何通过作图确定这个点的位置？回忆求黄金分割数的过程，如果线段AB的长度为a，我们只需要作出就可以确定点C的位置了，可是CB长是无理数，怎么构造出来呢？首先我们先尝试将表示线段CB的代数式变形，得到：，我们首先想办法构造，一步步来，看到，我们回忆一下在学习勾股定理那一章的时候，我们是如何在数轴上找到无理数对应的点？对了，是利用直角三角形的勾股定理来构造，如果一个直角三角形的两条直角边为1和2，那么根据勾股定理可得斜边长为而我们要作出的是，只需作出两直角边为的直角三角形，就可以得到斜边长为也就是我们先做一条线段AB,再作BD⊥AB且BD=12AB,连接AD，这样就得到了一个两直角边分别为的直角三角形，由勾股定理可得斜边长为.再截取DE=BD，此时AE=最后截取BC=AE，此时，可得线段AB的黄金分割点C.同学们发现了吗？如果最后截取AC=AE，,可以得到线段AB的另一个黄金分割点也就是说，点C和点C’都是线段AB的黄金分割点，即一条线段都存在两个黄金分割点。8分钟活动四黄金分割数的应用长期以来，很多人认为黄金分割数是一个特别的数，它除了能够在雕塑和绘画中增加美感之外，还有什么应用呢？我们来看国旗上的正五角星，就是黄金分割数美的体现，其中，通过这个等式，你能否发现，N点是线段BM、BE、AP、AC的黄金分割点，你还能找出图中其他的黄金分割点吗？当然M、P、Q、R点也是4条线段的黄金分割点，这样我们就给正五角星的庄严雄健之美找到了数学的依据啦！在建筑范畴中，巴台农神庙是具有黄金分割比例代表意义的建筑，它被赞颂为世界艺术史上最完美的古典建筑之一，神庙采用圆柱式结构，侧墙东西宽31米，山墙顶离地19米，即东西立面高与宽之比为19:31，接近黄金分割数，让人觉得神庙非常雄伟和优雅.1919米3131米人们也将短边与长边之比为黄金分割数的矩形称为黄金矩形.如果把这个矩形抽象为矩形ABCD以AB为边在矩形内部作正方形ABFE，你能证明矩形EFCD仍为黄金矩形吗？通过计算我们可以发现继续这样分割下去，我们就可以得到黄金螺旋像不像鹦鹉螺壳，我们不禁感叹大自然的神奇与伟大，无处不蕴含着数学之美！同时在生产、生活实际及科学实验中，伟大的数学家华罗庚也曾致力于推广“0.618优选法”，应用黄金分割的原理为国家节省了大量的人力和资源.1分钟活动五课堂小结综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点(2)直线l与☉P相切.理由如下:如图,连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以PD⊥l.故直线l与☉P相切.15.(1)证明如图,连接OA,∵∠AEC=30°,∴∠ABC=30°.∵AB=AD,∴∠D=∠ABC=30°.∴∠BAD=120°.∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABC=30°.∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°.∴OA⊥AD.∵点A在☉O上,∴直线AD是☉O的切线.(2)解∵∠AEC=30°,∴∠AOC=60°.∵BC⊥AE于点M,∴AE=2AM,∠OMA=90°.在Rt△AOM中,OM=2,AM=23,∴AE=2AM=43.16.解(1)在Rt△ABF中,∠A=30°,则BF=12AB=23,于是AF=(43在Rt△BOF中,OB2=OF2+BF2=(AF-OA)2+BF2,又OB=OA,∴OA2=(6-OA)2+(23)2.∴OA=4.∵∠BAO=30°,∴∠BOF=2∠BAO=60°.又OB=OD,OC⊥BD,