《实际问题与二次函数(第二课时)》教案

《实际问题与二次函数（第二课时）》教案教学目标学习目标：能够分析和表示实际问题中，变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大（小）值．学习重点：探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法．教学过程时间教学环节主要师生活动1min复习回顾复习二次函数解决实际问题的方法1．由于抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，当时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值.2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大

值或最小值.8min引入新知问题1市场调查反映：若某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件.如何定价才能使利润最大？题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？售价，销量和利润是变量，售价是自变量，销量和利润随之发生了变化。当每件涨1元时，售价是多少？每星期销量是多少？每件的利润是多少？总利润呢？当每件涨1元时，售价是61元，每星期销量是290件，每件的利润是21元，总利润是元.最多能涨多少钱呢？，所以最多能涨30元当每件涨x元时，售价是多少？每星期销量是多少？每件的利润是多少？总利润y呢？当每件涨x元时，售价是元，每星期销量是件，每件的利润是元，总利润.这是一个什么函数？自变量取值范围是什么？这个函数有最大值吗？化简可得，是二次函数，自变量x满足0≤x≤30。在这个问题中，满足0≤x≤30，所以当时，。售价是65元时，利润最高是6250元．通过上节课的学习，我们同样可以发现，如图和x轴的两个交点为（-20,0）和（30,0），所以当时，为最大值。那么会不会出现计算出的x不在自变量取值范围内的情况呢？我们可以改变进价，若进价为20元，当每件涨x元时，售价是元，每星期销量是件，每件的利润是元，总利润.解析式会变为：，自变量x满足0≤x≤30。在这个问题中，不满足0≤x≤30，所以不在顶点处达到最大值。抛物线开口向下，由图像可知，离对称轴越近函数值越大。或所以当时，利润达到最大值为.或者和x轴的两个交点为（-40,0）和（30,0），不满足0≤x≤30，不在顶点处达到最大值。8min探究新知刚才我们一起讨论了涨价情况下的最大利润，那么在降价情况下，最大利润是多少？我们一起来讨论一下。市场调查反映：若某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件；如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？当每件降1元时，售价是多少？每星期销量是多少？每件的利润是多少？总利润呢？当每件降1元时，售价59元，每星期销量是320件，每件的利润是19元，总利润是元.最多能降多少钱呢？进价是每件40元，所以最多能降20元当每件降x元时，售价是多少？每星期销量是多少？每件的利润是多少？总利润y呢？当每件降x元时，售价是元，每星期销量是件，每件的利润是元，总利润.这是一个什么函数？自变量取值范围是什么？这个函数有最大值吗？化简可得，是二次函数，自变量x满足0≤x≤20。在这个问题中，满足0≤x≤20，所以当时，。售价是57.5元时，利润最高是6125元．我们同样可以发现，如图和x轴的两个交点为（-15,0）和（20,0），所以当时，为最大值。那么同样的会不会出现x不在自变量取值范围内的情况呢？我们可仍然以改变进价，同学们，通过刚才的学习，你能自己设计一个进价，使得x不在自变量取值范围内吗？我们可以观察解析式来设计。图像和x轴的两个交点为（-15,0）和（20,0），若进价为50元，解析式会变为：和x轴的两个交点为（-15,0）和（10,0），不满足0≤x≤10，不在顶点处达到最大值。或者化简得到，不满足0≤x≤10，不在顶点处达到最大值。抛物线开口向下，由图像可知，离对称轴越近函数值越大。或所以当时，利润达到最大值为元.4min应用新知课堂练习某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?解：(1)由题意得y＝(80＋x)(384－4x)＝－4x2＋64x＋30720．0≤x≤96(2)∵y＝－4x2＋64x＋30720＝－4(x－8)2＋30976，∴当x＝8时，y有最大值，为30976．即增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976件．1min课堂小结（1）如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？（2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？1min布置作业1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？2．某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时，宾馆利润最大？知能演练提升一、能力提升1.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中每月获得的利润y和月份n之间的函数解析式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是()A.1月、2月、3月 B.2月、3月、4月C.1月、2月、12月 D.1月、11月、12月2.如图,在正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动.设运动时间为t(单位:s),△OEF的面积为S(单位:cm2),则S与t的函数关系可用图象表示为()3.某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y,则果园里增种棵橘子树,橘子总个数最多.

4.某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为.

5.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用周长为30m的篱笆围成.已知墙长为18m(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm.(1)若苗圃园的面积为72m2,求x.(2)若平行于墙的一边长不小于8m,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.(3)当这个苗圃园的面积不小于100m2时,直接写出x的取值范围.二、创新应用6.某商家正在热销一种商品,其成本为30元/件,在销售过程中发现随着售价增加,销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量y(单位:件)与售价x(单位:元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70,且x为整数).(1)直接写出y与x的函数解析式;(2)当售价为多少时,商家所获利润最大,最大利润是多少?

知能演练·提升一、能力提升1.C∵y=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12),∴当y=0时,n=2或n=12.又该函数的图象开口向下,∴1月,y<0;2月、12月,y=0.∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月.故选C.2.B设△OEF中EF边上的高为h,则易知h=12EF于是S△OEF=12h·EF=14EF2=14(EC2+FC2)=14[(8-t)2+t2]=12t2-4t+16(0故选B.3.104.0<a<6根据题意,设每天缴纳电商平台推广费用后的利润为W元,则每件获得的利润为(110-40-a-t)=(70-a-t)元,而件数为(20+4t),因此W=(70-t-a)(4t+20)=-4t2+(260-4a)t+1400-20a,其图象的对称轴为直线t=260-4a8,因为W随t的增大而增大,所以260所以a<6,故答案为0<a<6.5.解(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)m.依题意可列方程x(30-2x)=72,即x2-15x+36=0.解得x1=3,x2=12.当x=3时,30-2x=30-6=24>18,不符合题意,舍去.故x=12.(2)依题意,得8≤30-2x≤18,解得6≤x≤11.面积S=x(30-2x)=-2x-1522+225①当x=152时,S有最大值,S最大=2252(m②当x=11时,S有最小值,S最小=11×(30-22)=88(m2).(3)令x(30-2x)=100,得x2-15x+50=0.解得x1=5,x2=10.又30-2x≤18,x≥6,故x的取值范围是6≤x≤10.二、创新应用6.解(1)设线段AB的解析式为y=kx+b(k≠0,40≤x≤60),将点(40,300),(60,100)代入上式,得300=40解得k故函数的解析式为y=-10x+700(40≤x≤60).设线段BC的解析式为y=mx+n(m≠0,60<x≤70),将点(60,100),(70,150)代入上式,得60解得m故函数的解析式为y=5x-200(60<x≤70),y与x的函数解析式为y=-(2)设获得的利润为w元,①当40≤x≤60时,w