加减消元法课件湘教版数学七年级上册

湘教版（2024）数学7年级上册第3章

一次方程（组）3.6.2加减消元法问题1：消元法的基本思路？问题2：说一说代入消元法的主要步骤.二元一元代入消元：(4)回带再把求出的未知数的值代入前面的代数式(3)求解求出该未知数的值(2)代入把这个代数式代入另一个方程中(1)转化把其中一个未知数用含有另一个未知数的

代数式表示(5)写解(6)检验#3.6.2加减消元法（初中七年级数学）##一、教学过程###（一）情境导入（5分钟）1.回顾旧知：展示方程组\(\begin{cases}x+y=10①\\x-y=2②\end{cases}\)，提问：“用代入消元法如何求解？”引导学生用①式表示\(x=10-y\)代入②式，或表示\(y=10-x\)代入②式求解。2.启发思考：观察方程组中两个方程的未知数系数，发现\(y\)的系数分别为1和-1，相加后为0；\(x\)的系数均为1，相减后为0。追问：“若将两个方程直接相加或相减，能否消去一个未知数？”3.尝试运算：将①+②得\(2x=12\)，解得\(x=6\)；将①-②得\(2y=8\)，解得\(y=4\)，验证结果与代入法一致。4.引出课题：这种“通过将方程组中两个方程相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解”的方法，叫做加减消元法，简称加减法。本节课将系统学习加减消元法的原理、步骤和应用。###（二）新知探究（15分钟）1.加减消元法的核心原理：-依据：等式的基本性质2（等式两边同时加、减同一个等式，等式仍成立）。-核心思想：当方程组中某一个未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程相加或相减，可消去该未知数，实现“二元→一元”的转化。-关键条件：某一未知数的系数“相等”（用减法消元）或“互为相反数”（用加法消元）。2.加减消元法的基本步骤（以方程组\(\begin{cases}3x+2y=13①\\5x-2y=11②\end{cases}\)为例）：-第一步：观——观察未知数系数，确定消去的未知数。

方程①中\(y\)的系数为2，方程②中\(y\)的系数为-2，互为相反数，可通过“相加”消去\(y\)。-第二步：加（减）——将两个方程相加（或相减），消去一个未知数。

①+②得：\((3x+2y)+(5x-2y)=13+11\)，化简得\(8x=24\)（\(y\)被消去，转化为一元一次方程）。-第三步：解——解一元一次方程，求出一个未知数的值。

由\(8x=24\)，解得\(x=3\)。-第四步：回代——将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值。

将\(x=3\)代入①式：\(3×3+2y=13\)，即\(9+2y=13\)，解得\(y=2\)。-第五步：验——检验并写出解。

检验：将\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\)代入原方程组，①左边\(3×3+2×2=13\)（等于右边），②左边\(5×3-2×2=11\)（等于右边），因此是方程组的解。

规范表示：\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\)。3.进阶情况：未知数系数既不相等也不互为相反数（以方程组\(\begin{cases}2x+3y=16①\\x+4y=13②\end{cases}\)为例）：-关键步骤：先利用等式基本性质2，将某一未知数的系数转化为相等或互为相反数。-操作：选择系数较小的未知数（如\(x\)），方程②两边同时乘2，得\(2x+8y=26\)③（此时\(x\)的系数与①式相等）。-消元：①-③得：\((2x+3y)-(2x+8y)=16-26\)，化简得\(-5y=-10\)，解得\(y=2\)。-回代：将\(y=2\)代入②式，得\(x+4×2=13\)，解得\(x=5\)，检验后写出解\(\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}\)。-小结：系数不匹配时，需找系数的最小公倍数，将方程变形后再消元。###（三）例题讲解（12分钟）1.例题1：系数互为相反数（加法消元）-题目：用加减法解方程组\(\begin{cases}4x+3y=5①\\2x-3y=7②\end{cases}\)-解答：

①+②得：\(6x=12\)，解得\(x=2\)；

将\(x=2\)代入①：\(4×2+3y=5\)，即\(8+3y=5\)，解得\(y=-1\)；

检验：代入原方程组，左右两边均相等；

结论：\(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\)。-小结：某未知数系数互为相反数时，直接相加消元，步骤简洁。2.例题2：系数相等（减法消元）-题目：用加减法解方程组\(\begin{cases}3x+4y=19①\\3x-2y=5②\end{cases}\)-解答：

①-②得：\(6y=14\)，解得\(y=\frac{7}{3}\)；

将\(y=\frac{7}{3}\)代入②：\(3x-2×\frac{7}{3}=5\)，即\(3x=5+\frac{14}{3}=\frac{29}{3}\)，解得\(x=\frac{29}{9}\)；

检验：代入原方程组，左右两边均相等；

结论：\(\begin{cases}x=\frac{29}{9}\\y=\frac{7}{3}\end{cases}\)。-小结：某未知数系数相等时，用减法消元，注意去括号时符号变化。3.例题3：系数需变形（找最小公倍数）-题目：用加减法解方程组\(\begin{cases}5x+2y=25①\\3x+4y=15②\end{cases}\)-解答：

分析：\(y\)的系数为2和4，最小公倍数是4，将①式乘2得\(10x+4y=50\)③；

③-②得：\(7x=35\)，解得\(x=5\)；

将\(x=5\)代入①：\(5×5+2y=25\)，解得\(y=0\)；

检验：代入原方程组，左右两边均相等；

结论：\(\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}\)。-小结：选择系数最小公倍数较小的未知数变形，可减少计算量；变形时方程两边每一项都要乘同一个数，不能漏乘。###（四）课堂练习（8分钟）1.基础题：-（1）用加减法解方程组\(\begin{cases}x+2y=5①\\3x-2y=3②\end{cases}\)（答案：①+②得\(4x=8\)，\(x=2\)，代入①得\(y=\frac{3}{2}\)，解为\(\begin{cases}x=2\\y=\frac{3}{2}\end{cases}\)）；-（2）用加减法解方程组\(\begin{cases}2x+y=4①\\2x-3y=12②\end{cases}\)（答案：①-②得\(4y=-8\)，\(y=-2\)，代入①得\(x=3\)，解为\(\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}\)）。2.中档题：-用加减法解方程组\(\begin{cases}3x+5y=19①\\4x-3y=6②\end{cases}\)（答案：①×3得\(9x+15y=57\)③，②×5得\(20x-15y=30\)④，③+④得\(29x=87\)，\(x=3\)，代入①得\(y=2\)，解为\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\)）。3.拓展题：-已知方程组\(\begin{cases}ax+by=3\\bx+ay=7\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)，用加减法求\(a+b\)和\(a-b\)的值（答案：代入得\(\begin{cases}2a+b=3①\\2b+a=7②\end{cases}\)，①+②得\(3(a+b)=10\)，\(a+b=\frac{10}{3}\)；①-②得\(a-b=-4\)）。###（五）课堂小结（2分钟）1.核心方法：加减消元法的五步流程——观（看系数）、变（需变形时）、加（减）、解、回代验；2.关键技巧：-系数互为相反数→相加消元；系数相等→相减消元；-系数不匹配→找最小公倍数，变形后再消元；-变形时方程两边每一项都要乘同一个数，避免漏乘。3.思想方法：延续“消元转化”思想，将二元问题转化为一元问题，体现数学的化归思想；4.方法对比：代入法适合有系数为1或-1的方程，加减法适合系数成倍数或易变形的方程，可根据方程组特点灵活选择。用加减消元法解二元一次方程组1下面二元一次方程组中未知数y的系数有什么特点?这对解方程组有什么启发?7x＋3y＝1，2x－3y＝8.#3.6.1代入消元法（初中七年级数学）##一、教学过程###（一）情境导入（5分钟）1.回顾旧知：展示二元一次方程组\(\begin{cases}x+y=30\\2x+5y=99\end{cases}\)（源于上节课人民币问题），提问：“我们已经知道这是二元一次方程组，如何求出它的解？”引导学生回忆上节课用一元一次方程的解法，设\(x\)为2元人民币张数，\(y=30-x\)，代入第二个方程求解。2.提炼思路：“将其中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，就能把二元方程转化为一元方程”，这种方法就是本节课要学习的“代入消元法”。3.引出课题：明确代入消元法的核心是“消元”——消去一个未知数，将二元一次方程组转化为已学的一元一次方程求解。###（二）新知探究（15分钟）1.代入消元法的定义：-给出定义：通过将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程，进而求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。-核心思想：“消元转化”——二元→一元，将未知问题转化为已知问题。2.代入消元法的步骤（以方程组\(\begin{cases}x+y=30①\\2x+5y=99②\end{cases}\)为例）：-第一步：变——用含一个未知数的式子表示另一个未知数。

选择系数简单的方程（如方程①），解出其中一个未知数（通常选系数为1或-1的）。由①得：\(x=30-y\)③（将\(y\)移到右边，用含\(y\)的式子表示\(x\)）。-第二步：代——代入另一个方程消元。

将③代入②（注意：不能代入原方程①，否则无法消元），替换掉②中的\(x\)，得到一元一次方程：\(2(30-y)+5y=99\)。-第三步：解——解一元一次方程。

去括号：\(60-2y+5y=99\)；合并同类项：\(3y=39\)；化系数为1：\(y=13\)。-第四步：回代——求出另一个未知数的值。

将\(y=13\)代入③（或①），得\(x=30-13=17\)。-第五步：验——检验并写出解。

检验：将\(\begin{cases}x=17\\y=13\end{cases}\)代入原方程组，①左边\(17+13=30\)（等于右边），②左边\(2×17+5×13=34+65=99\)（等于右边），因此是方程组的解。

规范表示：方程组的解记为\(\begin{cases}x=17\\y=13\end{cases}\)。3.步骤口诀总结：“一变二代三求解，回代检验写答案”，帮助学生记忆。###（三）例题讲解（12分钟）1.例题1：用代入法解方程组\(\begin{cases}y=2x-3①\\3x+2y=8②\end{cases}\)-分析：方程①已直接用含\(x\)的式子表示\(y\)，可直接代入②。-解答：

①

代入②：\(3x+2(2x-3)=8\)；

去括号：\(3x+4x-6=8\)；

合并同类项：\(7x=14\)；

解得：\(x=2\)；

回代：将\(x=2\)代入①，得\(y=2×2-3=1\)；

检验：代入原方程组，左右两边均相等；

结论：方程组的解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)。-小结：当方程组中有一个方程直接给出未知数的表达式时，可直接代入，步骤更简洁。2.例题2：用代入法解方程组\(\begin{cases}2x+y=5①\\3x-4y=2②\end{cases}\)-分析：方程①中\(y\)的系数为1，优先解出\(y\)。-解答：

由①得：\(y=5-2x\)③；

③代入②：\(3x-4(5-2x)=2\)；

去括号：\(3x-20+8x=2\)；

合并同类项：\(11x=22\)；

解得：\(x=2\)；

回代：将\(x=2\)代入③，得\(y=5-2×2=1\)；

检验：代入原方程组，左右两边均相等；

结论：方程组的解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)。-小结：选择系数绝对值较小（如1或-1）的未知数进行表示，可减少计算量。3.例题3：用代入法解方程组\(\begin{cases}3x+4y=19①\\x-y=4②\end{cases}\)-分析：方程②中\(x\)和\(y\)的系数均为1，可解出\(x=y+4\)或\(y=x-4\)。-解答：

由②得：\(x=y+4\)③；

③代入①：\(3(y+4)+4y=19\)；

去括号：\(3y+12+4y=19\)；

合并同类项：\(7y=7\)；

解得：\(y=1\)；

回代：将\(y=1\)代入③，得\(x=1+4=5\)；

检验：代入原方程组，①左边\(3×5+4×1=19\)，②左边\(5-1=4\)，均等于右边；

结论：方程组的解为\(\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}\)。-小结：解未知数时，注意移项要变号，代入后去括号要准确，避免漏乘。###（四）课堂练习（8分钟）1.基础题：-（1）用代入法解方程组\(\begin{cases}x=3y-2①\\2x+y=18②\end{cases}\)（答案：将①代入②得\(2(3y-2)+y=18\)，解得\(y=2\)，\(x=4\)，解为\(\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}\)）；-（2）用代入法解方程组\(\begin{cases}3x+y=7①\\2x-y=3②\end{cases}\)（答案：由①得\(y=7-3x\)，代入②得\(2x-(7-3x)=3\)，解得\(x=2\)，\(y=1\)，解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)）。2.中档题：-用代入法解方程组\(\begin{cases}2x-3y=1①\\x+2y=4②\end{cases}\)（答案：由②得\(x=4-2y\)，代入①得\(2(4-2y)-3y=1\)，解得\(y=1\)，\(x=2\)，解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)）。3.拓展题：-已知方程组\(\begin{cases}ax+by=7\\bx+ay=8\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)，求\(a\)和\(b\)的值（答案：代入得\(\begin{cases}2a+b=7\\2b+a=8\end{cases}\)，由第一个方程得\(b=7-2a\)，代入第二个方程解得\(a=2\)，\(b=3\)）。###（五）课堂小结（2分钟）1.核心方法：代入消元法的五步流程——变（表示未知数）、代（代入消元）、解（解一元方程）、回代（求另一个未知数）、验（检验写解）；2.关键技巧：选择系数简单（如1、-1）的方程和未知数进行表示，减少计算量；代入时要代入另一个方程，避免循环；3.核心思想：消元转化，将二元一次方程组转化为一元一次方程，体现“化未知为已知”的数学思想；4.后续衔接：下节课将学习另一种消元方法——加减消元法，进一步丰富解二元一次方程组的工具。7x＋3y＝1，2x－3y＝8.合作探究+3y和–3y

互为相反数，

①+②试试！按照这个思路，你能消去一个未知数吗？①②①左边＋

②左边

＝

①右边＋②右边7x+3y+2x－3y＝99x＝9(7x＋3y)

＋

(2x－3y)

＝

1＋

8合作探究解方程：解：由

①+②得把

x用1代入方程①，得7×1+3y=1，解得

y=－2.9x=9，两边都除以9，得

x=1.7x＋3y＝1，2x－3y＝8.①②因此，是原二元一次方程组的解.

x=1，y=－2例1解二元一次方程组：2x＋3y＝－1，2x－5y＝7.①②解：由

①－②得把

y

用

－1代入方程①，得3x＋3×(－1)＝－1，解得

x＝1.8y＝－8，两边都除以8，得

y＝－1.因此，是原二元一次方程组的解.

x＝1，y＝－1典例精析1.同一未知数的系数互为相反数时，把两个方程的两边分别

.相加2.同一未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别

.相减方法总结3x+5y=21，①2x–5y=-11.②1.解方程：解：由

①+②得将

x=2代入①得6+5y=21，解得

y=3.所以原方程组的解是

x=2，

y=3.5x=10，两边都除以5，得

x=2.练一练x+3y=8,①5x+3y=16.②2.请用加减法解二元一次方程组：解：由②－①

得4x

=8，

解得

y=2.所以原方程组的解为x=2，y=2.将

x用2代入①得2+3y=8，

两边都除以4，得

x=2.议一议例2解二元一次方程组：2x＋3y＝－11，6x－5y＝9.2x+3y＝-11,6x-5y＝9.6x+9y＝-33，6x-5y＝9.如何消去某个未知数，使其转化为一个一元一方程14y＝-42①②①×3③-②③②2x+3y＝-11,6x-5y＝9.10x+15y＝-55,18x-15y＝27.28x＝-28①②③④①×5②×3③+④消x消y例2解二元一次方程组：2x＋3y＝－