高一数学（人教A版）教案必修二第十章概率

第十章概率10.1.1有限样本空间与随机事件（教学方式：基本概念课——逐点理清式教学）[课时目标]

1.理解随机试验、样本点与样本空间,会写试验的样本空间.2.了解随机事件的有关概念,掌握随机事件的表示方法及含义.逐点清(一)有限样本空间[多维理解]1.随机试验的概念(1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.(2)随机试验的特点:①试验可以在相同条件下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本点及样本空间项目定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}|微|点|助|解|写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法(1)列举法:适用于样本点个数不多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏.(2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.(3)树状图法:适用于较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.[微点练明]1.为了丰富高一学生们的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,则样本点有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:选C样本点有(数学,计算机),(数学,航空模型),(计算机,航空模型).共3个.2.从数字1,2,3中任取两个数字,则该试验的样本空间Ω=.

解析:从数字1,2,3中任取两个数字,共有3个结果:(1,2),(1,3),(2,3),所以Ω={(1,2),(1,3),(2,3)}.答案:{(1,2),(1,3),(2,3)}3.指出下列试验的样本空间:(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球;(2)从1,3,6,10中任取两个数(不重复),它们的和.解:(1)样本空间Ω={(红球,白球),(红球,黑球),(白球,黑球)}.(2)由题意得1+3=4,1+6=7,1+10=11,3+6=9,3+10=13,6+10=16,所以试验的样本空间Ω={4,7,11,9,13,16}.4.若第3题(2)中“它们的和”变为分别作为平面内点的横、纵坐标,指出试验的样本空间.解:所有的试验结果为(1,3),(1,6),(1,10),(3,1),(3,6),(3,10),(6,1),(6,3),(6,10),(10,1),(10,3),(10,6),因此样本空间Ω={(1,3),(1,6),(1,10),(3,1),(3,6),(3,10),(6,1),(6,3),(6,10),(10,1),(10,3),(10,6)}.逐点清(二)随机事件、必然事件与不可能事件[多维理解]随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件,随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件不可能事件空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生.我们称⌀为不可能事件|微|点|助|解|判断一个事件是哪类事件要看两点一看条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的;二看结果是否发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.[微点练明]1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)“已知一个盒中装有4个白球和5个黑球,从中任意取1个球,该球是白球或黑球”,此事件是必然事件.()(2)“某人射击一次,中靶”是随机事件.()(3)任取一个整数,被2整除是随机事件.()答案:(1)√(2)√(3)√2.下列事件是必然事件的是()A.从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到标有数字4的标签B.函数y=logax(a>0且a≠1)为增函数C.平行于同一条直线的两条直线平行D.随机选取一个实数x,得2x<0解析:选CA是随机事件,5张标签都可能被取到;B是随机事件,当a>1时,函数y=logax为增函数,当0<a<1时,函数y=logax为减函数;C是必然事件;D是不可能事件,根据指数函数y=2x的图象可得,对任意实数x,2x>0.3.(多选)下列事件中,是随机事件的是()A.下一个路口碰到红灯B.在标准大气压下,水在4℃时结冰C.从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签D.若x∈R,则|x|不小于0解析:选AC对于A,下一个路口碰到红灯是随机事件;对于B,在标准大气压下水在0℃时结冰,则水在4℃时结冰是不可能事件;对于C,从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签是随机事件;对于D,若x∈R,则|x|不小于0是必然事件.则题给事件中,是随机事件的是A、C.4.在1,2,3,…,10这十个数字中,任取三个不同的数字,那么“这三个数字的和大于5”这一事件是()A.必然事件 B.不可能事件C.随机事件 D.以上选项均有可能解析:选A从1,2,3,…,10这十个数字中任取三个不同的数字,那么这三个数字和的最小值为1+2+3=6,∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生.∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.故选A.逐点清(三)用集合表示随机事件[典例]试验E:在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,观察球的标号.(1)写出试验的样本空间;(2)用样本点表示下列事件:①事件A表示“从甲盒子中取出3号球”;②事件B表示“取出的两个球上的标号为相邻整数”;③事件C表示“取出的两个球上的标号之和能被3整除”.解:(1)分别用x1,x2表示从甲、乙两个盒子中取出的球的标号,则x1,x2∈{1,2,3,4},那么试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.(2)①因为事件A表示的随机事件“从甲盒子中取出3号球”等价于x1=3,所以事件A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.②因为事件B表示的随机事件“取出的两个球上的标号为相邻整数”等价于x1,x2为相邻整数,所以事件B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.③因为2≤x1+x2≤8,所以事件C表示的随机事件“取出的两个球上的标号之和能被3整除”等价于x1+x2=3或6,所以事件C={(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)}.|思|维|建|模|事件与样本空间的两种题型与求解策略(1)随机事件的表示:先列出所有的样本点,再确定要求的随机事件包含哪些样本点,把这些样本点作为元素表示成集合即可.(2)说明随机事件的含义:要先理解事件中样本点的意义,观察它们的规律,进而确定随机事件的含义[针对训练]柜子里有3双不同的鞋,随机抽取2只,用A1,A2,B1,B2,C1,C2分别表示3双不同的鞋,其中下标为奇数表示左脚,下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.(1)M={A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2};(2)N={A1B1,B1C1,A1C1};(3)P={A1B2,A1C2,A2B1,A2C1,B1C2,B2C1}.解:(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只,取出的2只鞋不成双”.(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中,随机抽取2只,取出的2只鞋都是左脚的”.(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中,随机抽取2只,取到的鞋一只是左脚的,一只是右脚的,且不成双”.[课时跟踪检测](满分80分,选填小题每题5分)1.下列事件中的随机事件为()A.若a,b,c都是实数,则a(bc)=(ab)cB.没有水和空气,人也可以生存下去C.抛掷一枚硬币,反面向上D.在标准大气压下,温度达到60℃时水沸腾解析:选CA中的等式是实数乘法的结合律,对任意实数a,b,c是恒成立的,故A是必然事件;在没有空气和水的条件下,人是绝对不能生存下去的,故B是不可能事件;抛掷一枚硬币时,在没得到结果之前,并不知道会是正面向上还是反面向上,故C是随机事件;在标准大气压的条件下,只有温度达到100℃,水才会沸腾,当温度是60℃时,水是绝对不会沸腾的,故D是不可能事件.2.试验E:“任取一个两位数,观察个位数字与十位数字的和的情况”,则该试验的样本空间为()A.{10,11,…,99} B.{1,2,…,18}C.{0,1,…,18} D.{1,2,…,10}答案:B3.依次投掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是()A.第一枚是3点,第二枚是1点B.第一枚是3点,第二枚是1点或第一枚是1点,第二枚是3点或两枚都是2点C.两枚都是4点D.两枚都是2点解析:选B依次投掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点,第二枚是1点或第一枚是1点,第二枚是3点或两枚都是2点.故选B.4.在欧几里得几何中,下列事件中,不可能事件是()A.三角形的内角和为180°B.三角形中大角对大边,小角对小边C.三角形中任两边之和大于第三边D.锐角三角形中两内角和小于90°解析:选D∵三角形的内角和为180°,∴其为必然事件,故A错误;∵三角形中大角对大边,小角对小边,∴其为必然事件,故B错误;∵三角形中任两边之和大于第三边,∴其为必然事件,故C错误;∵锐角三角形中两内角和大于90°,∴“锐角三角形中两内角和小于90°”为不可能事件,故D正确.5.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,观察选出的2人,设事件M为“甲被选中”,则事件M含有的样本点个数为()A.2 B.4C.6 D.8解析:选B设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊,则M={甲乙,甲丙,甲丁,甲戊},所以M含有4个样本点.6.一袋中装有10个红球,8个白球,7个黑球,现在把球随机地一个一个摸出来,为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球,则k的最小值为()A.10 B.15 C.16 D.17解析:选C摸完黑球和白球共需15次,则第16次一定能摸出红球.7.将一枚质地均匀的骰子投两次,得到的点数依次记为a,b,设事件M为“方程ax2+bx+1=0有实数解”,则事件M中含有样本点的个数为()A.6 B.17C.19 D.21解析:选C将一枚质地均匀的骰子投两次,得到的点数依次记为a和b,∵方程ax2+bx+1=0(a>0)有实数解,∴Δ=b24a≥0,则M={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共含19个样本点.8.随机事件“连续掷一颗骰子直到出现5点停止,观察掷的次数”的样本空间是()A.5 B.1到6的正整数C.6 D.一切正整数解析:选D连续掷一颗骰子直到出现5点停止,观察投掷的次数,由于事件发生是随机的,投掷的次数可能无限大,样本空间是一切正整数.9.总数为10万张的彩票,中奖率是11000,则下列说法中正确的是()A.买1张一定不中奖 B.买1000张一定中奖C.买9100张一定中奖 D.买9100张不一定中奖解析:选D由题意知共有×11000=100张彩票能中奖.若买中100张彩票中的一张,则也能中奖,A错误;若买的1000张彩票均为无法中奖的彩票,则不中奖,B错误;若买的9100张彩票均为无法中奖的彩票,则不中奖,C错误,D正确10.袋中装有形状与质地相同的4个球,其中黑色球2个,记为B1,B2,白色球2个,记为W1,W2,从袋中任意取2个球,请写出该随机试验一个不等可能的样本空间Ω=.

解析:从袋中任取2个球,共有如下情况B1B2,B1W1,B1W2,B2W1,B2W2,W1W2.其中一个不等可能的样本空间为Ω={B1B2,B1W1,B2W1},此样本空间中两个黑球的情况有1个,一黑一白的情况有2个,是不等可能的样本空间.答案:{B1B2,B1W1,B2W1}(答案不唯一)11.从2,3,8,9中任取两个不同数字,分别记为a,b,用(a,b)表示该试验的样本点,则事件“logab为整数”可表示为.

答案:{(2,8),(3,9)}12.在10名学生中,男生有x人.现从10名学生中任选6人去参加某项活动,有下列事件:①至少有一名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x的值为.

解析:由题意,知10名学生中,男生人数少于5,但不少于3,所以x=3或x=4.答案:3或413.(10分)设集合M={1,2,3,4},a∈M,b∈M,(a,b)表示一个样本点.(1)“a+b=5”这一事件包含哪几个样本点?“a<3且b>1”呢?(2)“ab=4”这一事件包含哪几个样本点?“a=b”呢?解:这个随机试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2)(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.(1)“a+b=5”这一事件包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1);“a<3且b>1”这一事件包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).(2)“ab=4”这一事件包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1);“a=b”这一事件包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).14.(10分)将一枚骰子先后抛掷两次,试验的样本点用(x,y)表示,其中x表示第一次抛掷出现的点数,y表示第二次抛掷出现的点数.(1)求样本空间中的样本点个数;(2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”.解:(1)法一:(列举法)试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36个样本点.法二:(树状图法)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示,如图所示.由图可知,共36个样本点.法三:(坐标系法)如图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和,样本点与所描述的点一一对应.由图可知,样本点个数为36.(2)“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.10.1.2事件的关系和运算（教学方式：基本概念课——逐点理清式教学）[课时目标]

1.理解事件的关系和运算.2.通过事件之间的运算,理解互斥事件和对立事件的概念.逐点清(一)事件的关系[多维理解]项目定义符号图示包含关系一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系特别地,如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等A=B[微点练明]1.同时掷两枚硬币,“向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件B,则有()A.A=B B.A⊇BC.A⊆B D.A与B之间没有关系解析:选C由同时抛掷两枚硬币,知试验的样本空间为Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A⊆B.2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,与事件“至少有1个白球”相等的事件是()A.全是红球B.至少有1个红球C.至多有1个红球D.1个红球,1个白球解析:选C从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,若至少有1个白球,则其包含的样本点是:1个白球1个红球,2个白球;至多有1个红球包含的样本点也是:1个白球1个红球,2个白球.3.在掷骰子试验中,可以得到以下事件:A:{出现1点};B:{出现2点};C:{出现3点};D:{出现4点};E:{出现5点};F:{出现6点};G:{出现的点数不大于1};H:{出现的点数小于5};I:{出现奇数点};J:{出现偶数点}.请判断下列事件的关系:(1)BH;(2)DJ;(3)EI;(4)AG.

解析:因为出现的点数小于5包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B⊆H;同理D⊆J,E⊆I;易知事件A与事件G相等,即A=G.答案:(1)⊆(2)⊆(3)⊆(4)=逐点清(二)事件的运算[多维理解]项目定义符号图示并事件(或和事件)一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)交事件(或积事件)一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)[微点练明]1.打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示()A.全部击中 B.至少击中1发C.都未击中 D.击中3发解析:选BA=A1∪A2∪A3表示击中1发或2发或3发,即至少击中1发.2.(多选)某篮球运动员进行投篮训练,连续投篮两次,设事件A表示随机事件“两次都投中”,事件B表示随机事件“两次都未投中”,事件C表示随机事件“恰有一次投中”,事件D表示随机事件“至少有一次投中”,则下列关系正确的是()A.A⊆D B.B∩D=⌀C.A∪B=B∪D D.A∪C=D解析:选ABD事件D表示“至少有一次投中”,即表示“两次都投中或恰有一次投中”,事件A表示“两次都投中”,故A⊆D,故A正确;事件B和事件D是对立事件,故B∩D=⌀,故B正确;事件A∪B表示“两次都投中或两次都未投中”,而事件B∪D表示“两次都未投中、两次都投中或恰有一次投中”,故C错误;事件A∪C表示“两次都投中或恰有一次投中”,故A∪C=D,故D正确.3.盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.求:(1)事件D与A,B是怎样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?(3)设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与B,E分别是什么运算关系?C与F的交事件是什么事件?解:(1)事件D包含的样本点为(1个红球2个白球),(2个红球1个白球),故D=A∪B.(2)事件C包含的样本点为(1个红球2个白球),(2个红球1个白球),(3个红球),故C∩A=A.(3)事件C包含的样本点为(1个红球2个白球),(2个红球1个白球),(3个红球),故B⊆C,E⊆C.而事件F包含的样本点为(1个白球2个红球),(2个白球1个红球),(3个白球),所以C∩F={3个球中有1个红球2个白球或2个红球1个白球}=D.逐点清(三)互斥事件与对立事件[多维理解]1.互斥事件定义一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示A∩B=⌀图形表示2.对立事件定义一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为A含义A与B有且仅有一个发生符号表示A∩B=⌀,A∪B=Ω图形表示[微点练明]1.(多选)从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品,设A={3件产品全不是次品},B={3件产品全是次品},C={3件产品有次品,但不全是次品},则下列结论正确的是()A.A与C互斥 B.B与C互斥C.任何两个都互斥 D.A与B对立解析:选ABC由题意可知,C={3件产品有次品,但不全是次品},包含“1件次品2件正品”“2件次品1件正品”两个样本点,A={3件产品全不是次品}={3件产品全是正品},B={3件产品全是次品},由此知,A与C互斥,B与C互斥,A与B互斥,故A、B、C正确;由于样本空间中还包含“1件次品2件正品”“2件次品1件正品”两个样本点,故A与B不对立,故D错误.2.某人射击一次,设事件A为“击中环数小于4”,事件B为“击中环数大于4”,事件C为“击中环数不小于4”,事件D为“击中环数大于0且小于4”,则正确的关系是()A.A与B互为对立 B.B与C互斥C.C与D互为对立 D.B与D互斥解析:选DA与B互斥但不对立,故A错误;B和C能同时发生,不是互斥事件,故B错误;C与D是互斥事件,故C错误;B与D为互斥事件,故D正确.3.如图,甲、乙两个元件串联构成一段电路,事件M=“甲元件故障”,N=“乙元件故障”,则表示该段电路没有故障的事件为()A.M∪N B.M∩NC.M∪N D.M∩N解析:选D因为甲、乙两个元件串联,线路没有故障,即甲、乙都没有故障,所以事件M和N同时发生,即M∩N事件发生.4.“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生,从中任选2名同学参加数学公式推导比赛,下列各对事件互斥而不对立的是()A.至少有1名男生与全是男生B.至少有1名男生与全是女生C.恰有1名男生与恰有2名男生D.至少有1名男生与至少有1名女生解析:选C事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,故A错误;事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,与事件全是女生是互斥、对立事件,故B错误;事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生,与事件恰有2名男生是互斥事件,但不是对立事件,故C正确;事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况,两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生,故D错误.[课时跟踪检测](满分100分,选填小题每题5分)1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,若事件A“所取的3个球中至多有1个白球”,则与事件A互斥的事件是()A.所取的3个球中至少有一个白球B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C.所取的3个球都是黑球D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球解析:选B从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”,事件A的互斥事件是所取的3个球中多于1个白球,∵白球共有2个,∴事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球.故选B.2.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则()A.A⊆BB.A=BC.A+B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3解析:选C由题意,可知A={1,2},B={2,3},则AB={2},A+B={1,2,3},∴A+B表示向上的点数为1或2或3.3.设A,B为两事件,则(A∪B)(A∪B)表示()A.必然事件 B.不可能事件C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生解析:选C∵A∪B表示事件A,B至少有1个发生,A∪B表示事件A,B至少有一个不发生,∴(A∪B)(A∪B)表示A与B恰有一个发生.4.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,若“这2个数的和大于4”为事件A,“这2个数的和为偶数”为事件B,则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为()A.1,6 B.4,2C.5,1 D.6,1解析:选C从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中事件A包含的样本点有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,事件B包含的样本点有(1,3),(2,4),共2个.所以事件A∪B包含的样本点有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5个,事件A∩B包含的样本点只有一个(2,4).5.(多选)某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列事件是互斥事件的是()A.“恰有一名男生”和“全是男生”B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C.“至少有一名男生”和“全是男生”D.“至少有一名男生”和“全是女生”解析:选ADA是互斥事件,恰有一名男生的实质是选出的两人中有一名男生和一名女生,它与全是男生不可能同时发生;B不是互斥事件,当选出的两人是一男一女时,“至少有一名男生”和“至少有一名女生”同时发生;C不是互斥事件;D是互斥事件.6.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为()A.一个是5点,另一个是6点B.一个是5点,另一个是4点C.至少有一个是5点或6点D.至多有一个是5点或6点解析:选C同时抛掷甲、乙两枚骰子,可能出现的结果共有36个,“都不是5点且不是6点”包含16个,其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.7.在某大学的学生中任选一名学生,若事件A表示被选学生是男生,事件B表示该生是大三学生,事件C表示该生是运动员,则事件ABC的含义是.

解析:A表示男生,AB表示大三男生,ABC表示大三男生且该生不是运动员.答案:该生是大三男生,但不是运动员8.同时掷两枚骰子,两枚骰子的点数之和是2,3,4,…,11,12中的一个.记事件A为“点数之和是2,4,7,12”,事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”,事件C为“点数之和大于8”,则事件“点数之和为2或4”可记为.

解析:∵事件A={2,4,7,12},事件B={2,4,6,8,10,12},∴A∩B={2,4,12}.又C={9,10,11,12},∴A∩B∩C={2,4}.答案:A∩B∩C9.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数,事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字,则事件A∩B用样本点表示为.

解析:从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数,所有的样本点为10,12,13,14,15,20,21,23,24,25,30,31,32,34,35,40,41,42,43,45,50,51,52,53,54,共25个,则事件A={10,12,14,20,24,30,32,34,40,42,50,52,54},事件B={10,20,30,40,50,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54},故事件A∩B用样本点表示为{10,20,30,40,50,32,42,52,54}.答案:{10,20,30,40,50,32,42,52,54}10.如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”,用B,C,D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”,则A=.(用B,C,D间的运算关系式表示)

解析:要使电灯变亮,则开关Ⅰ必须闭合,且开关Ⅱ和Ⅲ至少有一个闭合,即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”,用符号表示为B∩(C∪D)或B(C+D);也可分类讨论,即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合,即事件BC发生或事件BD发生,用符号表示为(BC)∪(BD)或(BC)+(BD).答案:(BC)∪(BD)(或(BC)+(BD)或B∩(C∪D)或B(C+D))11.(15分)连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系?解:由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.(1)C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.(2)E=B∪C.12.(17分)某班要进行一次辩论比赛,现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组,每组3人.考虑甲组的人员组成情况,记事件Ak=“甲组有k名女生”.(1)事件A1含有多少个样本点?(2)若事件B=“甲组至少有一名女生”,则事件B与事件Ak有怎样的运算关系?(3)判断事件A2与事件A2∪A0是什么关系解:(1)用1,2,3,4表示4名男生,用a,b表示2名女生,因为事件A1=“甲组有1名女生”,所以A1={(1,2,a),(1,2,b),(1,3,a),(1,3,b),(1,4,a),(1,4,b),(2,3,a),(2,3,b),(2,4,a),(2,4,b),(3,4,a),(3,4,b)},共含12个样本点.(2)事件B=“甲组至少有一名女生”,其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生,所以B=A1∪A2.(3)因为A2与A0∪A1是对立事件,所以A2=A0∪A1,所以A2∪A0=A0∪A1,所以事件A2与事件A2∪A13.(18分)一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2),2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;(2)写出事件R与G,M与N之间的关系;(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.解:(1)用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,所以试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},事件R={(1,2),(2,1)},事件G={(3,4),(4,3)},事件M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},事件N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)}.(2)由(1)知,R∩G=⌀,而R∪GΩ,所以事件R,G互斥,不对立.M∩N=⌀,M∪N=Ω,所以事件M,N互为对立事件.(3)由(1)知,R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件.10.1.3古典概型第1课时古典概型（教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学）[课时目标]

1.理解古典概型的概念及特征,能判断随机试验是不是古典概型.2.掌握利用古典概型概率公式,并能利用公式解决简单的概率计算问题.1.事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.2.古典概型的定义试验的样本点及样本空间具有如下共同特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.3.古典概型的概率计算公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=kn=n(A)n(Ω).其中,n(A)和n(|微|点|助|解|(1)概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.(2)若试验不是古典概型,则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率.(3)计算古典概型概率的关键是求样本点总数n和所求事件包含的样本点个数m.(4)由于观察的角度不同,样本点的个数可能也不同,因此样本点总个数和事件A包含的样本点个数的计算必须站在同一角度上,否则会引起混淆并导致错误.基础落实训练1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)任何一个事件都是一个样本点.()(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等.()(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.()(4)用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点,此点小于2”的概率.()答案:(1)×(2)√(3)√(4)×2.下列试验中,属于古典概型的是()A.种下一粒种子,观察它是否发芽B.从规格直径为250mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径dC.抛掷一枚硬币,观察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶答案:C3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为()A.12 B.1C.23 D.解析:选C从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙),共3种情况,其中甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=23题型(一)古典概型的判断[例1](多选)下列是古典概型的有()A.从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小B.同时掷两颗质地均匀的骰子,点数和为7的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率解析:选ABD古典概型的特征:①试验中所有可能发生的样本点只有有限个;②每个样本点发生的可能性相等.显然A、B、D符合古典概型的特征,所以A、B、D是古典概型;C选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.|思|维|建|模|判断一个试验是古典概型的依据及步骤(1)判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性,二者缺一不可.(2)判断一个试验是古典概型的步骤①明确试验及其结果.②判断所有结果(样本点)是否有限.③判断有限个结果是否等可能出现,这需要有日常生活的经验.另外,题目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的语言.[针对训练]1.下列问题中是古典概型的是()A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率B.掷一枚质地不均匀的骰子,求掷出1点的概率C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率解析:选DA、B两项中的样本点的出现不是等可能的;C项中样本点的个数是无限多个;D项中样本点的出现是等可能的,且是有限个.故选D.题型(二)简单的古典概型的概率计算[例2]袋中有6个大小质地完全相同的球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:(1)A:取出的两球都是白球;(2)B:取出的两球一个是白球,另一个是红球.解:设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点.(1)因为A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},所以n(A)=6,从而P(A)=n(A)n((2)因为B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},所以n(B)=8,从而P(B)=n(B)|思|维|建|模|求解古典概型的概率“四步”法[针对训练]2.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16 B.1C.12 D.解析:选D记高一年级2名学生分别为a1,a2,高二年级2名学生分别为b1,b2,则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的样本点有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),共6个,其中这2名学生来自不同年级的样本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),共4个,所以这2名学生来自不同年级的概率P=46=23,故选3.某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听,求检测出不合格产品的概率.解:合格的4听分别记作:1,2,3,4,不合格的2听分别记作:a,b,只要检测的2听有1听不合格的,就表示检测出了不合格产品.依次不放回的取2听饮料共有如下30个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,1),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,4),(3,a),(3,b),(4,1),(4,2),(4,3),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a).其中含有不合格产品的情况有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a),共18种;所以检测出不合格产品的概率为P=1830=0.6题型(三)较复杂的古典概型的概率计算[例3]先后抛掷两枚质地均匀的骰子.(1)求点数之和为7的概率;(2)求掷出两个4点的概率;(3)求点数之和能被3整除的概率.解:如图所示,从图中容易看出样本点与所描点一一对应,共36个,且每个样本点出现的可能性相等.(1)记“点数之和为7”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有6个,分别为(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6),故P(A)=636=1(2)记“掷出两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的样本点只有1个,即(4,4),故P(B)=136(3)记“点数之和能被3整除”为事件C,则事件C包含的样本点共12个,分别为(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6),故P(C)=1236=1|思|维|建|模|在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,更方便.

[针对训练]4.有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上.现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率.解:将A,B,C,D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来.由图可知,所有的等可能样本点共有24个.(1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件M包含1个样本点,所以P(M)=124(2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”,则事件N包含9个样本点,所以P(N)=924=3(3)设事件S为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”,则事件S包含8个样本点,所以P(S)=824=1[课时跟踪检测](满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)A级——达标评价1.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是故事书的概率为()A.15 B.3C.35 D.解析:选B样本点总数为10,“抽出一本是故事书”包含3个样本点,所以其概率为3102.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.13 B.1C.23 D.解析:选C试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相同,数字之和为奇数的有4个样本点,所以所求概率为233.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.12 B.1C.35 D.解析:选A如图:样本点的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的样本点个数是10个,故所求概率P=1020=12.故选4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.110 B.1C.310 D.解析:选A从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},共10个样本点,其中勾股数为(3,4,5),所以概率为1105.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m,n,则点P(m,n)在直线x+y=8上的概率是()A.112 B.1C.536 D.解析:选C若连续抛两次骰子得到的点数分别是m,n,则点P(m,n)有6×6=36种可能,其中满足m+n=8,m,n∈{1,2,3,4,5,6}的数对有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5种可能,所以点P(m,n)在直线x+y=8上的概率是536.故选C6.某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课,则体育课不排在第一节的概率为.

解析:我们不考虑语文、数学、历史排在第几节,只考虑体育的排法,体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节,共4个样本点,因此体育课不排在第一节的概率为34答案:37.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率为.

解析:从1,2,3,4中一次随机地取两个数,此试验的样本空间共有以下6种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).其中一个数是另一个数的两倍的共有(1,2),(2,4)两种.故所求概率为26=1答案:18.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等),则2名都是女同学的概率为.

解析:用A,B,C分别表示三名男同学,用a,b,c分别表示三名女同学,则从6名同学中选出2人的所有选法为AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc,共15种.其中2名都是女同学的选法为ab,ac,bc,共3种.故所求的概率为315=1答案:19.(12分)如图,数轴上O为原点,点A对应实数6,现从1,2,3,4,5中随机取出两个数,分别对应数轴上的点B,C(点B对应的实数小于点C对应的实数).(1)记事件E为“线段OB的长小于等于2”,写出事件E的所有样本点;(2)记事件F为“线段OB,BC,CA能围成一个三角形”,求事件F发生的概率.解:(1)事件E的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5).(2)样本空间为{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},其中事件F包含的样本点只有(2,4),所以事件F发生的概率P(F)=11010.(15分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球一个,标号为1的小球一个,标号为2的小球n个,已知从袋子中随机抽取一个小球,取到标号是2的小球的概率是12(1)求n的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b,记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率.解:(1)依题意,袋子中共有n+2个小球,于是得nn+2=12,解得n=2,所以n(2)由(1)记标号为2的两个小球为21,22,从袋子中不放回地随机抽取两个小球的所有结果有(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(21,0),(22,0),(1,21),(1,22),(21,1),(22,1),(21,22),(22,21),共有12个,它们等可能,事件A含有的结果有(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4个结果,则P(A)=412=13,所以事件A的概率是B级——重点培优11.(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()A.14 B.C.12 D.解析:选B画出树状图:甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,所以所求概率为824=112.掷一个骰子,观察朝上的面的点数,设事件A=“点数为偶数”,事件B=“点数为3的倍数”,则()A.P(A)=12 B.P(B)=C.A与B是互斥事件 D.A与B互为对立事件解析:选A掷骰子有点数为1,2,3,4,5,6六种结果,即Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},B={3,6},由古典概型的概率公式可得P(A)=36=12,P(B)=26=13,故A正确,B错误;又A∪B={2,3,4,6}≠Ω,A∩B={6},即事件A,B既不互斥也不对立.故C、D错误13.如图所示,现有一只迷失方向的小青蛙在3处,它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处,跳动一次只能进入3处;若它在3处,则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处),则它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是()A.316 B.1C.16 D.解析:选A由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点为(3→1→3→1),(3→1→3→2),(3→1→3→4),(3→1→3→5),(3→2→3→2),(3→2→3→1),(3→2→3→4),(3→2→3→5),(3→4→3→4),(3→4→3→1),(3→4→3→2),(3→4→3→5),(3→5→3→5),(3→5→3→1),(3→5→3→2),(3→5→3→4),共16个,满足题意的样本点为(3→1→3→5),(3→2→3→5),(3→4→3→5),共3个.由古典概型的概率计算公式可得,小青蛙在第三次跳动后,首次进入5处的概率是31614.(15分)某县有特级教师6人,分别来自甲、乙、丙、丁四个学校,其中甲校教师记为A1,A2,乙校教师记为B1,B2,丙校教师记为C,丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成下届教师职称评审团,要求甲、乙、丙、丁四个学校中,每校至多选出1名.(1)请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点;(2)求教师A1被选中的概率;(3)求评审团中没有乙校教师代表的概率.解:(1)从6名教师代表中选出3名教师组成评审团,组成人员的全部样本点分别为(A1,B1,C),(A1,B1,D),(A1,B2,C),(A1,B2,D),(A1,C,D),(A2,B1,C),(A2,B1,D),(A2,B2,C),(A2,B2,D),(A2,C,D),(B1,C,D),(B2,C,D).(2)在组成人员的全部样本点中,A1被选中的样本点有(A1,B1,C),(A1,B1,D),(A1,B2,C),(A1,B2,D),(A1,C,D),共5个,所以教师A1被选中的概率为P=512(3)评审团中没有乙校教师代表的样本点有(A1,C,D),(A2,C,D),共2个,所以评审团中没有乙校教师代表的概率为P=212=1第2课时古典概型的综合问题（教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学）题型(一)“放回”与“不放回”问题[例1]班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1,2,3),黄球2个(编号为4,5),有如下两种方案可供选择:方案一:一次性抽取2个球,若颜色相同,则获得奖品;方案二:依次无放回地抽取2个球,若颜色相同,则获得奖品;方案三:依次有放回地抽取2个球,若编号的数字之和大于5,则获得奖品.(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点;(2)哪种方案获得奖品的可能性更大?并说明理由.解:(1)记1,2,3号红球分别为A1,A2,A3,4,5号黄球分别为B1,B2,按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10个;按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A1),(A3,A2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,A1),(B1,A2),(B1,A3),(B1,B2),(B2,A1),(B2,A2),(B2,A3),(B2,B1),共20个.(2)方案一中,设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”,则事件A包含(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),共4个样本点,故P(A)=410=2方案二中,设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”,则事件B包含(A1,A2),(A1,A3),(A2,A1),(A2,A3),(A3,A1),(A3,A2),(B1,B2),(B2,B1),共8个样本点,故P(B)=820=2方案三中,设两次抽查取的球所标的数字分别为x,y,则所有可能发生的事件对应的二元有序数组(x,y)表示如下表,共25个样本点,(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)在方案三中,设事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”,则事件C包含(1,5),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共15个样本点,故P(C)=1525=3因为P(A)=P(B)<P(C),所以选择方案三获得奖品的可能性更大.|思|维|建|模|解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看做是有顺序的,也可以看做是无顺序的,其最后结果是一致的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误.(2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的[针对训练]1.从两个白球(记为B1和B2)和两个黑球(记为G1和G2)这四个球中依次选取两个小球.(1)分别写出“有放回、不放回”方式选取的样本空间;(2)求“有放回”方式选取一个白球和一个黑球的概率.解:(1)有放回选取的样本空间:{(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}.不放回选取的样本空间:{(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}.(2)根据(1)中所求,有放回选取的可能性有16种,其中满足要求的可能性有如下8种(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G2,B1),(G2,B2).又有放回的选取的每种情况都是等概率的,故根据古典概率的概率计算公式可得,满足题意的概率为816=1题型(二)古典概型的实际应用问题[例2]某超市计划购进1000kg苹果,采购员从供应商提供的苹果中随机抽取了10箱(每箱20kg)统计每箱的烂果个数并绘制得到如下表格:项目第1箱第2箱第3箱第4箱第5箱第6箱第7箱第8箱第9箱第10箱烂果个数0001000011假设在一箱苹果中没有烂果,则该箱的价格为120元,若出现一个烂果,则该箱的价格为110元.(1)以样本估计总体,试问采购员购进1000kg苹果需要多少元?(2)若采购员检查完前3箱(即第1~3箱)苹果后,从剩下的7箱中任选2箱,这2箱都没有烂果,就按照每箱120元的价格购进1000kg苹果,求采购员按照这个价格采购苹果的概率.解:(1)由题表可知,这10箱苹果中,没有烂果的有7箱,出现一个烂果的有3箱,所以这10箱苹果的价格为120×7+110×3=1170元.故采购员购进1000kg苹果需要1170×100020×10=5850元(2)设第i(i=4,5,6,7,8,9,10)箱分别记为A,B,C,D,E,F,G(其中A,F,G这3箱各有一个烂果),从7箱中任选2箱,所有的情况为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G),共21种,其中没有A,F,G的有6种情况,故采购员按照这个价格采购苹果的概率为621=2|思|维|建|模|解决与古典概型交汇的问题时,应明确相关事件,列举样本点,然后利用古典概型的概率计算公式求解[针对训练]2.某著名小吃店高峰时段面临用餐排队问题,店主打算扩充店面,为了确定扩充的面积大小,店主随机抽查了过去若干天内高峰时段的用餐人数,所得数据统计如图所示.(1)求高峰时段用餐人数的平均数x以及方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)现用分层随机抽样的方法从高峰时段用餐人数在[30,40]的天数中随机抽取5天,再从这5天中随机抽取3天,求至少有2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的概率.解:(1)由频率分布直方图得x=22.5×0.1+27.5×0.4+32.5×0.3+37.5×0.2=30.5,∴s2=(22.530.5)2×0.1+(27.530.5)2×0.4+(32.530.5)2×0.3+(37.530.5)2×0.2=6.4+3.6+1.2+9.8=21.(2)∵用餐人数在[30,35)对应的频率为0.3,在[35,40]对应的频率为0.2,∴5天中,用餐人数在[30,35)的天数为3天,可记为a,b,c,在[35,40]的天数为2天,可记为A,B,则任取3天,所有的情况有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(b,A,B),(c,A,B),共10种,其中至少2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的情况有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B),共7种,故至少有2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的概率为710题型(三)古典概型与其他知识相结合[例3](1)已知向量a=(x+1,1),b=(8,x2+15),在集合{0,1,2,3,4,5,6}中随机取值作为x,则a⊥b的概率为()A.17 B.C.37 D.(2)从sinπ12,sinπ3,cos29π12,sin11π12,cos-π6这五个式子中任取两个A.13 B.C.35 D.解析:(1)当a⊥b时,a·b=8(x+1)+x2+15=x28x+7=0,解得x=1或x=7.所以集合{0,1,2,3,4,5,6}中随机取值作为x,则a⊥b的概率为17(2)因为sin11π12=sinπ-π12=sinπ12,cos29π12=cos5×π2-π12=sinπ12,所以sinπ12记sinπ12,sinπ3,cos29π12,sin11π12,cos-π6这五个式子依次为a,b,c,d,e,则从五个式子中任取两个的样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,其中这两个式子的值不相等的样本点有(a,b),(a,e),(b,c),(b,d),(c,e),(d,记A=“这两个式子的值不相等”,所以P(A)=610=3答案:(1)A(2)C|思|维|建|模|对于涉及方程、函数的概率问题,解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.解决此类问题只需表示出方程(组)的解,利用函数知识找出满足条件的情况,从而确定样本点的个数,再利用古典概型的概率计算[针对训练]3.已知A={1,2,3},B={x∈R|x2ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是()A.29 B.C.89 D.解析:选C因为a∈A,b∈A,所以可用列表法得到样本点的总个数为9(如表所示).ab

1231(1,1)(1,2)(1,3)2(2,1)(2,2)(2,3)3(3,1)(3,2)(3,3)因为A∩B=B,所以B可能为⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}.当B=⌀时,a24b<0,满足条件的a,b为a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3;当B={1}时,满足条件的a,b为a=2,b=1;当B={2},{3}时,没有满足条件的a,b;当B={1,2}时,满足条件的a,b为a=3,b=2;当B={2,3},{1,3}时,没有满足条件的a,b.综上,符合条件的结果有8种.故所求概率为894.在区间(1,5)与(1,5)内各随机取1个整数,设两数之和为M,则log2M>2成立的概率为()A.35 B.C.815 D.解析:选A设从区间(1,5),(1,5)中随机取出的整数分别为x,y,则样本空间为Ω={(0,2),(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(0,4),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4)},共15种情况,不等式log2M>2等价于M>4,设事件A表示log2M>2,则A={(3,2),(4,2),(2,3),(3,3),(4,3),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4)},共9种情况,所以P(A)=915=3[课时跟踪检测](满分80分,选填小题每题5分)1.小林打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习,则小林没有选择冰壶的概率为()A.14 B.1C.12 D.解析:选C记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为A,B,C,D,则从这四个项目中任意选两项的情况有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,其中没有选择冰壶的有BC,BD,CD,共3种,所以所求概率为36=12.从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a,从集合{3,4,6}中随机地取一个数b,则向量m=(b,a)与向量n=(1,2)垂直的概率为()A.112 B.C.14 D.解析:选D依题意,向量m=(b,a)的不同结果有(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(6,0),(6,1),(6,2),(6,3),共12个,由m·n=b+2a=0,得b=2a,则m⊥n的事件有(4,2),(6,3),共2个,所以向量m=(b,a)与向量n=(1,2)垂直的概率为P=212=13.已知a∈{0,1,2},b∈{1,1,3,5},则函数f(x)=ax22bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率是()A.512 B.C.14 D.解析:选A∵a∈{0,1,2},b∈{1,1,3,5},∴共含有12个样本点.函数f(x)=ax22bx在区间(1,+∞)上单调递增,①当a=0时,f(x)=2bx,符合条件的只有(0,1),即a=0,b=1;②当a≠0时,需要满足ba≤1,符合条件的有(1,1),(1,1),(2,1),(2,1),共4种.∴函数f(x)=ax22bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率是P=54.某商场对某一商品搞活动,已知该商品每个的进价为3元,售价为8元,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售,该商场统计了近10天这种商品的销售量,如图所示.从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率为()A.19 B.C.15 D.解析:选B日销售量不少于20个时,日利润不少于96元,其中日销售量为20个时,日利润为96元;日销售量为21个时,日利润为97元.从题中条形统计图可以看出,日销售量为20个的有3天,日销售量为21个的有2天.设日销售量为20个的3天分别记为a,b,c,日销售量为21个的2天分别记为A,B,从这5天中任选2天,可能的情况有(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B),共10种,其中选出的2天的日销售量都为21个的情况只有(A,B)1种,所以所求概率为P=1105.若a∈A且a1∉A,a+1∉A,则称a为集合A的孤立元素.若集合M={1,2,3,4,5,6},集合N为集合M的三元子集,则集合N中的元素都是孤立元素的概率为()A.320 B.1C.15 D.解析:选C集合M={1,2,3,4,5,6}的三元子集有{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},{1,3,4},{1,3,5},{1,3,6},{1,4,5},{1,4,6},{1,5,6},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,4,5},{2,4,6},{2,5,6},{3,4,5},{3,4,6},{3,5,6},{4,5,6},共20个.满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为{1,3,5},{1,3,6},{1,4,6},{2,4,6},一共4种.由古典概率模型公式,可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P=420=16.(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是()A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是1B.每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本点总数为16C.每次抽取1件,不放回地抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是1D.每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本点总数为16解析:选ACD记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=36=12,故A正确;每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=