期末真题必刷压轴60题（21个考点专练）（原卷版及全解全析）

期末真题必刷压轴60题（21个考点专练）一、命题条件的判断与探求1．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（

）A． B．或 C． D．3．（21-22高一上·江苏无锡·期末）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件二、根据命题的条件求参数4.（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，且.(1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.三、根据集合的运算求参数5．（23-24高一上·北京·期末）已知全集，集合，，(1)分别求；(2)若，求的取值范围；(3)若，求的取值范围．四、求函数值（和）6．（23-24高一上·河南·期末）已知是定义在上的偶函数，且，则（

）A． B． C．4 D．97．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（

）A．4047 B．4048 C．4049 D．4050五、根据函数的单调性求参数值8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是．六、函数单调性与方程9．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是.七、函数奇偶性、单调性应用11．（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）下列说法正确的是（

）A．若函数定义域为，则函数f2x+1的定义域为B．若定义域为R的函数值域为，则函数f2x+1的值域为C．函数与的图象关于直线对称D．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则x∈0,+∞时，函数解析式为12．（多选）（23-24高一上·河南·期末）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（

）A． B．C． D．13．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合．14．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围.15．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数是定义在区间上的函数(1)判断函数的奇偶性；(2)用定义证明函数在区间上是增函数；(3)解不等式.16．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)判断的单调性，并用单调性的定义证明；(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．八、不等式恒成立求参数17．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．18．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是．九、应用奇偶性、单调性研究抽象函数性质19．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且.有下列四个结论：①②为偶函数③④在区间上单调递减其中所有正确结论的序号为（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④20．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（

）．A．B．的一个周期是C．在上的值域为D．的图象关于直线轴对称21．（多选）（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数B．C．D．十、应用单调性、奇偶性解抽象函数不等式22．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．23．（23-24高一上·吉林长春·期末）若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为.24．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为.25．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．(1)证明：函数是奇函数；(2)证明：在上是增函数；(3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．十一、幂函数综合问题26．（23-24高一上·河南开封·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数．(1)求和的值；(2)若实数满足，求的最小值.27．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增.(1)求m的值，并写出的解析式；(2)解关于x的不等式，其中.(3)已知，，且.求.十二、指数函数、对数函数综合问题28．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数，，.(1)解不等式；(2)设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.29．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数．(1)求不等式的解集；(2)求函数的值域；(3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．30．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数.(1)解关于x的不等式；(2)若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围；(3)设函数，.当时，求的最大值.十三、应用单调性、奇偶性比较抽象函数值大小31．（22-23高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．32．（22-23高一上·河北保定·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在上单调递增，，则的大小关系为．（用“”连接）十四、函数的实际应用33．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足(为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示10152025305060706050已知第10天的日销售收入为元.(1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值.十五、函数零点问题34．（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．在区间上单调递增 B．是偶函数C．的最小值为 D．方程有解35．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（

）A．3 B．4 C．5 D．636．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是37.（23-24高一上·天津·期末）已知函数是奇函数，且一个零点为1.(1)求，的值及解析式；(2)已知函数在单调递减，在满足，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点.38．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数．(1)求数k的值；(2)设，证明：函数在上是减函数；(3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围．十六、样本的数字特征39．（23-24高一下·安徽安庆·期末）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（

）A．数据的平均数为13B．数据的方差为12C．D．十七、频率分布（表）直方图及其应用40．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内.现将个样本数据按，40,50，，，，分成组，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到）；(2)学校决定表彰成绩排名前的学生，学生甲的成绩是，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由.41．（23-24高一下·江苏苏州·期末）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．42．（23-24高一下·云南昆明·期末）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表（如图所示）和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表：组别分组频数频率第1组80.16第2组第3组200.40第4组0.08第5组2合计频率分布直方图：(1)写出的值；(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰同学，仅留的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(3)某老师在此次考试成绩中抽取10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的100和80这两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.43．（23-24高一下·安徽六安·期末）2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.(1)试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数.(2)六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.44．（23-24高一下·吉林长春·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．(1)应抽取小吃类商家多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．十八、事件、事件关系的辨析45．（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（

）A．A与B，A与，与B，与都相互独立B．与是对立事件C．D．46．（23-24高一下·湖南株洲·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（

）A．当时， B．当时，事件与事件不独立C．当时， D．当时，事件与事件不独立47．（多选）（23-24高一下·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（

）A．若事件两两互斥，则成立.B．若事件两两独立，则成立.C．若事件相互独立，则与也相互独立.D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立.十九、概率的计算48．（多选）（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（

）A．的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点B．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率C．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为D．若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为49．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分．假设评定为等级为A，B，C的概率分别是，，．(1)若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率；(2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率．50．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.(1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；(2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.51．（23-24高一下·江苏常州·期末）甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.(1)求两人在两轮比赛中都答对的概率；(2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；(3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.52．（23-24高一下·河北·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）．(1)已知．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围．53．（23-24高一下·安徽·期末）某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答对每道题目得10分，答错或不答得0分．甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响．已知第一题至少一人答对的概率为．(1)求的值；(2)求甲、乙得分之和为30分的概率．54．（23-24高一下·湖南郴州·期末）随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，，(1)已知概率，（i）求的值．（ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率．(2)若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值．二十、统计与概率综合应用55．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：

(1)确定的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）；(2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家，记专项贷款金额在内应抽取的中小微企业数为.①求的值；②从这家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率.56．（23-24高一下·湖南株洲·期末）某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：(1)求图中的值；(2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；(3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差.57．（23-24高一上·北京·期末）海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．(1)将所抽取的100个新养殖法网箱中产量低于40和不低于65的网箱收集到一起，再从中随机抽取2箱，恰有一箱产量不低于65的概率．(2)用频率估计概率，从运用新､旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱中至少有一箱产量不低于55的概率；(3)求频率分布直方图中的值．假定新､旧网箱养殖方法网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）58．（23-24高一下·河北唐山·期末）某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分（95分及以上为.“消防之星”），共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组40,50，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数；(2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率；(3)若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差.附：59．（23-24高一下·北京通州·期末）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k门科目的概率为，当取得最大值时，写出k的值．（结论不要求证明）二十一、基本不等式综合应用60．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，且，则（

）A． B． C． D．

期末真题必刷压轴60题（21个考点专练）一、命题条件的判断与探求1．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】判断命题的必要不充分条件、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式【分析】利用指数函数、对数函数的单调性得出条件和结论得等价命题，再利用充要条件的判断方法判断即得.【详解】因在R上单调递增，在上单调递减,故等价于,等价于，显然由可推得，而由推不出，故“”是“”的必要不充分条件.故选:B.2．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（

）A． B．或 C． D．【答案】D【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、判断命题的必要不充分条件【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可.【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件.故选:D.3．（21-22高一上·江苏无锡·期末）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可.【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；若幂函数在上是减函数，则，解得或，故必要性不成立，因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件.故选：B二、根据命题的条件求参数4.（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，且.(1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围；（2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围.【详解】（1）因为，所以命题是真命题，可知，因为，，，,故的取值范围是.（2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，，，解得，故的取值范围是.三、根据集合的运算求参数5．（23-24高一上·北京·期末）已知全集，集合，，(1)分别求；(2)若，求的取值范围；(3)若，求的取值范围．【答案】(1)，或(2)(3)【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算【分析】（1）先利用一元二次不等式和绝对值不等式解得集合，根据集合的运算的定义求出结果；（2）对集合分类讨论参数的取值范围；（3）若，对集合分类讨论参数的取值范围；【详解】（1）集合或，或（2），①当时，，②当时，则，解得，综上所述，的取值范围为；（3）若，①当时，，②当时，或，或，综上所述，若，则的取值范围为，所以若，则的取值范围．四、求函数值（和）6．（23-24高一上·河南·期末）已知是定义在上的偶函数，且，则（

）A． B． C．4 D．9【答案】D【知识点】函数奇偶性的应用、判断证明抽象函数的周期性、由函数的周期性求函数值【分析】利用函数的奇偶性，对已知式进行两次赋值，推得，求出函数的周期，再求出f1的值，最后利用函数的周期性即可求得.【详解】因是R上的偶函数，且，用替换，得用替换，可得，即函数的一个周期为4，在中，令，得，因，代入整理，解得或，因，故，于是，，则故选：D.7．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（

）A．4047 B．4048 C．4049 D．4050【答案】C【知识点】求函数值、函数对称性的应用、指数函数的判定与求值【分析】由已知，得，则，即可求得结果.【详解】因为函数，所以，所以，所以.故选：C.五、根据函数的单调性求参数值8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是．【答案】【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性【分析】对进行分类讨论，得出若要满足题意，当且仅当且在上有定义，由此即可转换为恒成立问题求解.【详解】若，则在上不单调递减，故不符合题意；若，则在上单调递增，即使在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递增，从而在上不单调递减，故不符合题意；若，则在上单调递减，若在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递减，从而在上单调递减，所以若要满足题意，当且仅当且在上有定义，若，恒成立，即，恒成立，当时，的取值范围是，

所以当且仅当且时，满足题意.故答案为：.六、函数单调性与方程9．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据函数零点的个数求参数范围【分析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围．【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且，由，得，则，根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以的取值范围是．故选：B．10．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是.【答案】,【知识点】分段函数的性质及应用、分段函数的值域或最值【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数的值域为，分和两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小值，即可得到不等式，解得即可．【详解】因为函数在定义域上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为，当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，，时，，则只需，解得；当时，在，上单调递增，当时，，时，，则只需要，解得，又，所以．综上可得，即实数的取值范围是,．故答案为：,．七、函数奇偶性、单调性应用11．（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）下列说法正确的是（

）A．若函数定义域为，则函数f2x+1的定义域为B．若定义域为R的函数值域为，则函数f2x+1的值域为C．函数与的图象关于直线对称D．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则x∈0,+∞时，函数解析式为【答案】AC【知识点】抽象函数的值域、反函数的性质应用、由奇偶性求函数解析式、抽象函数的定义域【分析】根据函数定义域和值域的定义及求法即可判断AB的正误；根据互为反函数的两函数的图象关于对称即可判断C的正误；根据奇函数的定义即可判断D的正误．【详解】A，函数定义域为,，则满足，解得，即的定义域为,，A正确；对于B，定义域为的函数的值域为,，则的值域也是,，B错误；对于C,与互为反函数，图象关于对称，C正确；对于D，当时，，且为奇函数，设，，D错误．故选：AC．12．（多选）（23-24高一上·河南·期末）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、对数的运算性质的应用、对数型复合函数的单调性【分析】依题意，是在上单调递增的奇函数，分别讨论选项中各函数的单调性和奇偶性即可.【详解】对任意，都有，则在上单调递增；所以是在上单调递增的奇函数.对于A，函数定义域为，，不是奇函数，A错误；对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数，，所以是在上单调递增的奇函数，B正确；对于C，，易知在上单调递减，C错误；对于D，函数定义域为R，函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，所以在上单调递增，，是奇函数，D正确.故选：BD.13．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合．【答案】【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式【分析】根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集.【详解】依题意，函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，所以在上单调递减，由于，所以，，，解得，所以满足的的集合为.14．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)奇函数(2)【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性求参数值【分析】（1）分和两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解；（2）设,然后由为上的增函数，则成立求解.【详解】（1）当时，函数的定义域为，对，，所以函数为奇函数；当时，的定义域为，对，，此时，此时，函数是奇函数；（2）设，则，，因为，所以，，若为上的增函数，则成立，则成立，所以成立，解得，所以实数的取值范围是.15．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数是定义在区间上的函数(1)判断函数的奇偶性；(2)用定义证明函数在区间上是增函数；(3)解不等式.【答案】(1)奇函数(2)证明见详解(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明；（2）根据函数单调性的定义分析证明；（3）根据函数单调性结合函数定义域分析求解.【详解】（1）因为函数的定义域为，且，所以函数为奇函数.（2）任取，令，则，因为，则，可得，即，所以函数在区间上是增函数.（3）因为，且函数在区间上是增函数，则，解得，所以不等式的解集为.16．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)判断的单调性，并用单调性的定义证明；(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、基本不等式求和的最小值、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数【分析】（1）根据奇函数定义即可求得;（2）利用单调性定义按步骤进行证明即可；（3）利用函数奇偶性和单调性将问题转化为不等式在时恒成立问题，再由基本不等式即可得出实数的取值范围．【详解】（1）因为定义域为的函数是奇函数，所以，即，所以，经检验符合题意，故；（2）在上单调递增，证明如下：因为，任取，所以，则，所以，所以在上单调递增；（3）由（2）得在上单调递增，又时，恒成立，所以，所以，则在时恒成立，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，所以，故的范围为．八、不等式恒成立求参数17．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】函数不等式恒成立问题、由指数函数的单调性解不等式【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知的取值范围.【详解】因为，所以，，即，当时，有最小值，，故选：A18．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是．【答案】【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题【分析】由在区间上单调递增，可得，再由对任意的恒成立，转化为，利用函数的单调性求出的最小值，从而可出的取值范围.【详解】的对称轴为，因为在区间上单调递增，所以，得，因为对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，令（），因为和在上递增，所以在上递增，所以，所以，得，综上，，即a的取值范围是.故答案为：九、应用奇偶性、单调性研究抽象函数性质19．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且.有下列四个结论：①②为偶函数③④在区间上单调递减其中所有正确结论的序号为（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】B【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、根据图像判断函数单调性【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】令，则，则，故①错误；令，则，所以为偶函数，故②正确；令，则，即，则，故，则，故，故③正确；由为偶函数，可知的图像关于对称，由，可知的图像关于对称，故在区间0,4上不单调，故④错误；故选：B20．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（

）．A．B．的一个周期是C．在上的值域为D．的图象关于直线轴对称【答案】ABC【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、抽象函数的值域【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质、结合赋值法逐项分析判断即可.【详解】对于A，由为上的奇函数，得，，A正确；对于B，由，得，则的一个周期是，B正确；对于C，显然函数的定义域为，，即是奇函数，当时，的值域为，则当时，的值域为，即函数在上的值域为，当时，，，因此，C正确；对于D，由，得，没有条件求得成立，D错误.故选：ABC21．（多选）（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数B．C．D．【答案】ACD【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性、由函数的周期性求函数值【分析】对A、B、C分别利用赋值法可逐项判断，对D利用赋值法可求出是周期函数，再根据周期函数可判断.【详解】因为，对B，令，得，因为，所以，故B错误；对A，令，则，由B知，则，所以，且定义域为，故是偶函数，故A正确；对C，令，则，所以，令，则，故C正确；对D，有，则，所以函数周期，则，所以，故D正确．故选：ACD．十、应用单调性、奇偶性解抽象函数不等式22．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、由函数奇偶性解不等式【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解.【详解】由得，的图象关于直线对称，令，则是偶函数，又当时，恒有，故在上单调递减，所以在上单调递减，则，即得解得或.故选：C.23．（23-24高一上·吉林长春·期末）若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为.【答案】【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断【分析】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解.【详解】因为对任意的，，且，都有，不妨设，则，可得，则，构造函数，则，，所以函数在上为单调递减函数，又因为为奇函数，所以，所以函数为上的偶函数，所以函数在为单调递增函数，当时，即时，有，由，可得，所以，解得，此时无解；当时，即时，由，可得，所以，解得或，综上可得，不等式的解集为.故答案为：.24．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为.【答案】【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】通过构造函数法结合已知条件得出函数的单调性，再根据函数的奇偶性，求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意，的定义域是，是偶函数，所以，所以是偶函数，由于对，，，则，所以在上单调递增，则在上单调递减.对于，且，若，可得，即，可得；若,可得，即，可得；所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】关键点点睛：关键点是熟练掌握函数单调性的定义及其变型，任取定义域内的两个数，且，通过计算的符合来判断的单调性，也可以利用的符号来判断的单调性.25．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．(1)证明：函数是奇函数；(2)证明：在上是增函数；(3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【知识点】函数奇偶性的定义与判断、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明；（2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证；（3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可.【详解】（1）令，得，，，令，，，所以函数是奇函数；（2）设任意且，由题意，，又由（1）是奇函数，得，，，已知当时，，从而有，故，即，在上单调递增，根据奇函数的性质可知在上也单调递增，故在上是增函数；（3）对任意恒成立，即，由（2）得，在上是增函数，所以当时，，又（1）可知，函数是奇函数，则，即.所以对任意恒成立，设，，要使恒成立，则，即，解得或，所以实数的取值范围是．十一、幂函数综合问题26．（23-24高一上·河南开封·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数．(1)求和的值；(2)若实数满足，求的最小值.【答案】(1)或1，(2)2【知识点】根据函数是幂函数求参数值、基本不等式“1”的妙用求最值、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数【分析】（1）根据幂函数的概念和性质求解；（2）由（1）得，变形可得，然后利用基本不等式中1的妙用求出最小值．【详解】（1）幂函数，则，解得或1，又幂函数在上是减函数，故，解得，因为，故或，当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意；当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意，综上所述：或1，；（2）∵实数满足，∴，则，∴.当且仅当且，即时等号成立.所以的最小值是2.27．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增.(1)求m的值，并写出的解析式；(2)解关于x的不等式，其中.(3)已知，，且.求.【答案】(1)，(2)答案见解析(3)【知识点】求幂函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式【分析】（1）根据幂函数的概念及性质即可求解；（2）根据函数的奇偶性和单调性即可求解；（3）根据奇函数的性质，结合指对运算可得，构造函数，根据函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为为幂函数，且在0,+∞上单调递增，则，解得，所以；（2）函数为奇函数且在0,+∞上单调递增，则在R上递增，由，则，故，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为；（3）且，则，即，则考察函数，由于函数均在1,+∞单调递增，且值为正，故在在1,+∞单调递增，故，则，，则.【点睛】关键点点睛：根据指对运算由得，利用函数的单调性得.十二、指数函数、对数函数综合问题28．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数，，.(1)解不等式；(2)设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、判断指数型复合函数的单调性、根据集合的包含关系求参数、由对数函数的单调性解不等式【分析】（1）利用赋值法可得，再结合对数型函数的单调性，可解不等式；（2）由（1）可得集合，设在上的值域为，易知，进而列不等式，解不等式组可得解.【详解】（1）由已知，则，解得，所以，且，即，所以，即，即，解得，综上所述不等式的解集为；（2）由（1）得，又，设函数在的值域为，又若对任意，存在，使得，则，设，，则，又函数在上单调递增，即，此时函数即为，，对称轴为，当，即时，在上单调递增，即，即，又，所以，解得；当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为，即，由，可得，解得，不满足，所以不成立；当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为，即，由，可得，解得，不满足，所以不成立；当，即时，在上单调递减，即，由，可得，不等式无解，所以不成立；综上所述，即.29．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数．(1)求不等式的解集；(2)求函数的值域；(3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【知识点】求对数函数在区间上的值域、函数不等式恒成立问题、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式【分析】（1）解指数不等式，得到解集；（2）变形得到，结合，求出的值域；（3）转化为，求出，故，得到答案.【详解】（1）由，得整理得解得，的解集为（2），，，即的值域为．（3）不等式对任意实数恒成立．，令，，，设，，当时，取得最小值，即，，即，，即，解得，实数的取值范围为．30．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数.(1)解关于x的不等式；(2)若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围；(3)设函数，.当时，求的最大值.【答案】(1)(2)(3)【知识点】由基本不等式证明不等关系、由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性、对数不等式【分析】（1）由求解；（2）由题意得的相关函数为，根据题意得到时，恒成立求解；（3）易得，设，利用复合函数的单调性求解.【详解】（1）依题意得，则，所以，所以原不等式的解集为（2）由题意得，所以，所以的“伴随”函数为.依题意，对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，即当时，恒成立①由，对任意的总成立，结合题设条件有，在此条件下，①等价于当时，恒成立，即，即.设，要使当时，ℎx<0恒成立只需，即成立，解得，即，且，即a的取值范围是.（3）由（2）可得当时，在区间0,2上，，即设，则，令，则所以，因为（当且仅当时，等号成立），可得，当时，等号成立，满足，则t的最大值为，所以的最大值是十三、应用单调性、奇偶性比较抽象函数值大小31．（22-23高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】函数奇偶性的应用、奇偶函数对称性的应用、比较函数值的大小关系【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.【详解】∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调减函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图像关于直线对称，∴，又函数在上为单调减函数，∴，即，∴，故选：C.32．（22-23高一上·河北保定·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在上单调递增，，则的大小关系为．（用“”连接）【答案】.【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】先根据条件得出的对称轴，利用指数函数、对数函数的性质结合的单调性比较大小即可.【详解】由题意可知的图象关于轴对称，则在上单调递减，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，即，所以，而，故，则.故答案为：十四、函数的实际应用33．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足(为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示10152025305060706050已知第10天的日销售收入为元.(1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值.【答案】(1)，；(2)当时，取得最小值元.【知识点】分段函数模型的应用、分式型函数模型的应用、利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值【分析】（1）利用表格提供数据求得，由此求得.（2）先求得的解析式，然后根据基本不等式和函数的单调性求得的最小值.【详解】（1）由表格数据知，，，解得，所以，.（2）由（1）知，，由，解得，因此，，当时，，当且仅当，即时等号成立，当时，函数在上单调递减，，而，所以当时，取得最小值元.十五、函数零点问题34．（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．在区间上单调递增 B．是偶函数C．的最小值为 D．方程有解【答案】ABD【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、零点存在性定理的应用【分析】由函数的基本性质可判断ABC，由零点存在性定理可判断D.【详解】因为，所以，所以为偶函数，B正确；当时，，令，则，(也可利用复合函数的单调性说明的单调性)故与均为增函数，所以在区间上单调递增，A正确；由偶函数对称性可知，在区间上单调递减，所以，C错误；令，所以，由零点存在性定理可知方程有解，D正确.故选：ABD35．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【知识点】求函数零点或方程根的个数、求零点的和、函数对称性的应用【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和.【详解】由题知是奇函数,则有：,

fx关于对称，且,x>1时，,恒过，且关于对称，方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和，根据对称性及解析式画出图象如下：由图像可知有5个交点，其中一个交点横坐标为1,另外四个，两两分别关于对称，故五个交点横坐标和为,即所有根之和5.故选：C.36．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是【答案】【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.【详解】由，可得：，又因为是定义在R上的偶函数，则，且函数图象关于轴对称，所以，即的周期为4，作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，可得出在上的图象：令，若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点，所以，即，解得.故答案为：37.（23-24高一上·天津·期末）已知函数是奇函数，且一个零点为1.(1)求，的值及解析式；(2)已知函数在单调递减，在满足，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点.【答案】(1)，，(2)(3)0，4.【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性求参数值、由奇偶性求函数解析式【分析】（1）根据零点和奇函数的定义，联立方程组，解得的值，得到解析式，验证的奇偶性，即可得解；（2）依题意利用偶函数和单调性可得满足的条件，进而可求解的取值范围；（3）求出的解析式，依题意求出，进而可得ℎx的其他零点.【详解】（1）因为函数的一个零点是1，所以，是奇函数，所以，所以，，解得，，定义域为.，都有，所以，是奇函数，满足题意，故，，（2）函数满足，所以是偶函数且在单调递减因为不等式恒成立所以，所以（3），因为函数ℎx的一个零点为2，所以，解得.所以，令，得或，解得.所以函数的其余零点为0，4.38．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数．(1)求数k的值；(2)设，证明：函数在上是减函数；(3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析；(3)在上单调递增，【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、由奇偶性求参数【分析】（1）根据函数奇偶性定义可求得；（2）根据函数单调性定义化简计算可得结论；（3）利用复合函数单调性可判断在上单调递增，再根据零点存在定理解不等式可得实数m的取值范围．【详解】（1）由函数为奇函数可得，即，所以，可得，解得；又当时，无意义，舍去；经检验，时，为奇函数，满足题意；可得（2）由（1）可知，取，且，则，显然，所以，可得，因此函数在上是减函数.（3）由（2）可得函数在上是减函数，根据复合函数单调性可知在上单调递增，又因为为单调递增，所以函数在上的单调递增；若在上只有一个零点，可得，即，解得；可得实数m的取值范围为．十六、样本的数字特征39．（23-24高一下·安徽安庆·期末）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（

）A．数据的平均数为13B．数据的方差为12C．D．【答案】ACD【知识点】平均数的和差倍分性质、各数据同时乘除同一数对方差的影响【分析】由题意可得，，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由即可得C；结合方差与平均数计算即可得D.【详解】依题意，，，对A：，故A正确:对B：依题意，，所以数据的方差为：，故B错误；对C：，故C正确;对D：由，解得，故D正确.故选：ACD.十七、频率分布（表）直方图及其应用40．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内.现将个样本数据按，40,50，，，，分成组，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到）；(2)学校决定表彰成绩排名前的学生，学生甲的成绩是，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由.【答案】(1)样本数据的平均值为，中位数为；(2)学生甲不能得到表彰，理由见解析.【知识点】由频率分布直方图估计中位数、总体百分位数的估计、由频率分布直方图估计平均数【分析】（1）用每组数据中点值乘以该组数据的频率相加求和可得平均值，先估算中位数的范围，再列方程求中位数；（2）估算排名在的成绩，和比较，得到结论.【详解】（1）样本数据的平均值为因为从左至右的前组数据的频率为，从左至右的前组数据的频率为，所以样本数据的中位数位于区间内，设中位数为，则，所以，（2）成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则被表彰的最低成绩为，所以估计学生甲不能得到表彰.41．（23-24高一下·江苏苏州·期末）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．【答案】(1)平均数为69.5，第25百分位数为63(2)(3)【知识点】总体百分位数的估计、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差【分析】（1）首先算出，然后根据平均数、百分位数的计算公式计算即可；（2）由列举法求解古典概型概率即可；（3）由分层抽样方差公式计算即可.【详解】（1）由题意可知：，解得，可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数为，因为，设第25百分位数为，则，则，解得，故第25百分位数为63．（2）10人中，第四组为8人.第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10，则样本空间共45个样本点，记两名面试者成绩都在第五组为事件A，则事件，故；（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．42．（23-24高一下·云南昆明·期末）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表（如图所示）和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表：组别分组频数频率第1组80.16第2组第3组200.40第4组0.08第5组2合计频率分布直方图：(1)写出的值；(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰同学，仅留的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(3)某老师在此次考试成绩中抽取10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的100和80这两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.【答案】(1)(2)(3)，【知识点】补全频率分布表、补全频率分布直方图、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计【分析】（1）根据频率和频数的关系以及直方图中小矩形的面积代表频率，进行计算即可；（2）利用频率分布直方图计算第90百分位数即可；（3）根据平均数和方差的计算公式求解即可.【详解】（1）由题意可知抽取的学生人数为：，则第四组人数为：，所以，，，.（2）成绩落在内的频率为：，落在内的频率为：，设第90百分位数为，则，解得，故晋级分数线划为82.5合理.（3）因为，所以.标准差，所以，则，剔除其中的100和80两个分数，设剩余8个数为，设平均数与标准差分别为，则剩余8个分数的平均数为，方差为，故标准差为.43．（23-24高一下·安徽六安·期末）2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.(1)试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数.(2)六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.【答案】(1)平均值为，第百分位数为；(2)总样本的平均数为，方差为.【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、补全频率分布直方图、总体百分位数的估计【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出，进而即可求出平均数；先确定60%分位数的位置，再由频率分布直方图求求值；（2）求出总样本平均数，根据方差的定义，即可求出总样本方差.【详解】（1）由题意知，，所以，所以满意度得分的平均值为，因为，，所以第百分位数位于第三个区间内，所以第百分位数为分.（2）把6月1日—6月7日的样本记为，其平均数记为，方差记为，把6月8日—6月14日的样本记为，其平均数记为，方差记为，总样本方差为，则总样本平均数，由方差的定义，样本总方差为：所以，所以总样本的平均数为，方差为.44．（23-24高一下·吉林长春·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．(1)应抽取小吃类商家多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．【答案】(1)28家(2)①487.5元；②280【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；（2）①先根据频率和为1求出，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.【详解】（1）根据分层抽样知：应抽取小吃类家；（2）①根据题意可得，解得，设75百分位数为x，因为，，所以，解得，所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．

②，所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．十八、事件、事件关系的辨析45．（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（

）A．A与B，A与，与B，与都相互独立B．与是对立事件C．D．【答案】A【知识点】独立事件的判断、独立事件的乘法公式、互斥事件与对立事件关系的辨析【分析】由独立事件的定义以及乘法公式判断AC，由对立事件的定义、互斥事件的概率公式判断D.【详解】对于A：由于两人射击的结果没有相互影响，则A与B，A与，与B，与都相互独立，故A正确；对于B：表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即与不是对立事件，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：A46．（23-24高一下·湖南株洲·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（

）A．当时， B．当时，事件与事件不独立C．当时， D．当时，事件与事件不独立【答案】D【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、互斥事件的概率加法公式【分析】计算出，根据，求，根据与的关系判断两个事件是否独立，从而得到正确答案即可.【详解】当时，表示一正一反，故，，，因为，故正确；此时，故正确；当时，表示一正二反，，故正确；此时，，，所以，因此事件与事件独立，故D错误.故选：D.47．（多选）（23-24高一下·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（

）A．若事件两两互斥，则成立.B．若事件两两独立，则成立.C．若事件相互独立，则与也相互独立.D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立.【答案】ACD【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D.【详解】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥，所以，，因此A正确；对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数，事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数，于是有，，，可以看出事件两两独立，但不互相独立，所以，因此B错误；对于C，若事件相互独立，则，又，，则，因此C正确；对于D，若，事件相互独立，则，若互斥，则，因此D正确.故选：ACD.十九、概率的计算48．（多选）（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（

）A．的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点B．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率C．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为D．若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为【答案】ACD【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率、互斥事件的概率加法公式【分析】由样本空间的定义判断A，根据古典概型概率计算公式，互斥事件的加法及独立事件的乘法公式判断BCD．【详解】对于A，由于的各位数字中，都可能为0或1，则的所有实验结果构成的样本空间中有个样本点，正确；对于B，若的各位数字都是等可能地取值0或1，则，所以的概率等于的概率，错误；对于C，若的各位数字都是等可能地取值为0或1，如果中各位数字之和是4，即5个数字中有4和“1”和1个“0”，可能情况有：，共有5种等可能情况，其概率，正确；对于D，由于，数字中恰有2个0，即在四个数中恰好有2个0,2个1，可能情况有：，共有6种情况，启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为，正确；故选：ACD．49．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分．假设评定为等级为A，B，C的概率分别是，，．(1)若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率；(2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率．【答案】(1)(2)【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式【分析】（1）设事件分别表示“被评为等级A，B，C，D”.由题意，事件两两互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可；（2）设事件，且事件互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可.【详解】（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”．由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，所以．又因为被罚分，所以．因此其被罚分的概率为；（2）设事件，，，表示“第i次被评定为等级A，B，C，D”，，2．则“两次射击得分之和为0分”为事件，且事件，，互斥，，，所以两次射击得分之和为0分的概率.50．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.(1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；(2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.【答案】(1)(2)【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】（1）利用列举法结合古典概型的概率的计算公式可求概率；（2）考虑“取到至少一个红球”的对立事件，利用例举法结合古典概型的概率公式可求概率.【详解】（1）设甲袋中的红球为，白球为，篮球为，乙袋中的红球为，白球，篮球为，则从两袋中各取一球，所有基本事件如下：，，，，故基本事件的总数为.设为“取到的两球颜色相同”，则含有的基本事件如下：共5个基本事件，则.（2）如（1）中所设，从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，总的基本事件如下：，，，，，，基本事件的总数为，设为“取到至少一个红球”，其对立事件设为，则为“没有取到红球”，含有的基本事件如下：，共有3个，故，故.51．（23-24高一下·江苏常州·期末）甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.(1)求两人在两轮比赛中都答对的概率；(2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；(3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.【答案】(1)(2)(3).【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；（2）两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案；（3）分甲和乙均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可.【详解】（1）依