专题01 集合与逻辑（原卷版及全解全析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题01集合与逻辑题型1判断元素与集合的关系（常考点）题型9并集的概念及运算（常考点）题型2根据元素与集合的关系求参数题型10根据并集结果求集合或参数（难点）题型3列举法表示集合题型11补集的概念及运算（重点）题型4判断集合的子集（真子集）题型12交并补混合运算（常考点）题型5判断两个集合的包含关系（常考点）题型13充分条件与必要条件题型6根据集合的包含关系求参数题型14充要条件（常考点）题型7交集的概念及运算题型15反证法（难点）题型8根据交集结果求集合或参数题型1判断元素与集合的关系（共4题）（常考点）例1.（用符号“”或“”填空）【变式1-1】用或填空：0．【变式1-2】下列三个命题：（1）0是的真子集；（2）函数在定义域内是减函数；（3）存在反函数的函数一定是单调函数.正确的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-3】（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（

）A． B． C． D．A，，都有可能题型2根据元素与集合的关系求参数（共5题）例2（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为.【变式2-1】已知，则实数.【变式2-2】已知集合，且，则实数a的值为．【变式2-3】已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝.【变式2-4】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合，其中.若存在正数，使得对任意，都有，则的值是.题型3列举法表示集合（共4题）例3（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为．【变式3-1】用列举法表示．【变式3-2】集合且，用列举法表示集合【变式3-3】对于任意非空集合、，定义，若，则（用列举法表示）题型4判断集合的子集（真子集）的个数（共3题）例4（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有个．【变式4-1】满足条件：的集合M的个数为.【变式4-2】已知集合，，则满足条件的集合的个数为个题型5判断两个集合的包含关系（共5题）例5用符号“”“”或“”填空：．【变式5-1】若集合，，则AB．（用符号“”“=”或“”连接）【变式5-2】用集合符号填空：Q．【变式5-3】（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（

）A． B． C． D．的关系无法确定【变式5-4】（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则题型6根据集合的包含关系求参数（共4题）例6（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为.【变式6-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知集合，且，则．【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，.若，则实数的值为.【变式6-3】（23-24高一上·上海·期末）已知集合.(1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；(2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围.题型7交集的概念及运算（共13题）例7（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，则.【变式7-1】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则.【变式7-2】（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合，则【变式7-3】（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，则．【变式7-4】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知集合，，则．【变式7-5】定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【变式7-6】（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知集合，，则．【变式7-7】已知集合，，则．【变式7-8】已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及．【变式7-9】已知集合，集合，用列举法表示集合.【变式7-10】已知集合.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【变式7-11】已知集合，.(1)若，求；(2)若，求实数的取值集合.【变式7-12】已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数a的取值范围．题型8根据交集结果求集合或参数（共7题）例8（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则.【变式8-1】集合，，若，则．【变式8-2】已知集合，，若，求实数的值及．【变式8-3】已知全集，集合A、B均为U的子集．若，，则．【变式8-4】设集合，，若，则实数m的取值范围是.【变式8-5】设集合，且，求实数的取值范围.【变式8-6】已知全集为，，且，则．题型9并集的概念及运算（共5题）例9（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则．【变式9-1】已知集合，则．【变式9-2】定义且，若，则【变式9-3】已知集合(1)求；(2)若，求实数a的取值范围.【变式9-4】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.题型10根据并集结果求集合或参数（共5题）例10已知集合，则满足的非空集合B有个．【变式10-1】已知集合，集合，若，则的值为.【变式10-2】集合，，且，则实数取值范围是.【变式10-3】已知集合，集合，若，则实数的取值集合为.【变式10-4】设集合，.(1)若，求实数的值;(2)若，求实数的范围.题型11补集的概念及运算（共9题）例11（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则．【变式11-1】（24-25高一上·上海·期末）已知全集，，则．【变式11-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则【变式11-3】设全集，集合，则．【变式11-4】（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则．【变式11-5】（23-24高一上·上海宝山·期末）设全集，，则.【变式11-6】已知全集，集合，则.【变式11-7】设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，则．【变式11-8】全集，，则．题型12交并补混合运算（共4题）例12（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为.【变式12-1】已知，，则.【变式12-2】（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（

）

A． B． C． D．【变式12-3】已知集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围.题型13充分条件与必要条件（共6题）例13（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（

）条件是“能扫天下”A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【变式13-1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式13-2】（23-24高一上·上海·期末）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为【变式13-3】设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是．【变式13-4】若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是．【变式13-5】设，写出“”的一个充分条件：．题型14充要条件（共6题）例14（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【变式14-1】（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【变式14-2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（

）.A．充分非必要条件 B．必要非充要条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【变式14-3】（23-24高一上·上海·期末）已知为非零实数，则“”是“”成立的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【变式14-4】（23-24高一上·上海松江·期末）已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【变式14-5】（23-24高一上·上海·期末）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.题型15反证法（共5题）例15（24-25高一上·上海金山·期末）用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设.【变式15-1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设：．【变式15-2】设、.“若，则或”是一个真命题.用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即：.【变式15-3】设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数．【变式15-4】用反证法证明命题“已知x、，且，求证：或”时，应首先假设“”.

专题01集合与逻辑题型1判断元素与集合的关系（常考点）题型9并集的概念及运算（常考点）题型2根据元素与集合的关系求参数题型10根据并集结果求集合或参数（难点）题型3列举法表示集合题型11补集的概念及运算（重点）题型4判断集合的子集（真子集）题型12交并补混合运算（常考点）题型5判断两个集合的包含关系（常考点）题型13充分条件与必要条件题型6根据集合的包含关系求参数题型14充要条件（常考点）题型7交集的概念及运算题型15反证法（难点）题型8根据交集结果求集合或参数题型1判断元素与集合的关系（共4题）（常考点）例1.（用符号“”或“”填空）【答案】【知识点】判断元素与集合的关系【分析】根据实数的定义及集合与元素的关系判断即可.【详解】解：.故答案为：.【变式1-1】用或填空：0．【答案】【知识点】判断元素与集合的关系【分析】根据空集性质，元素和集合关系求解【详解】空集不含任何元素，所以.故答案为：【变式1-2】下列三个命题：（1）0是的真子集；（2）函数在定义域内是减函数；（3）存在反函数的函数一定是单调函数.正确的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【知识点】判断元素与集合的关系、定义法判断或证明函数的单调性、反函数的性质应用【分析】由真子集概念，减函数定义及反函数概念逐一判断即可．【详解】（1）因为0不是一个集合，所以0是的真子集说法错误．（2）令，但是，所以（2）的结论错误．（3）函数的反函数为：，此函数在定义域内不是单调函数．故选A【点睛】本题考查了真子集的概念，减函数的定义及反函数知识，属于基础题．【变式1-3】（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（

）A． B． C． D．A，，都有可能【答案】A【知识点】判断元素与集合的关系【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断.【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集，即a为奇数，b为偶数，则为奇数，所以BD错误，A正确；例如，令，即，解得，所以，故C错误；故选：A.题型2根据元素与集合的关系求参数（共5题）例2（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为.【答案】0或【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据元素与集合关系得到方程，解出即可.【详解】因为，则，解得或.故答案为：0或.【变式2-1】已知，则实数.【答案】【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合元素互异性的应用【分析】讨论、，结合集合的性质求参数a即可.【详解】由题设，当时，则，此时，不符合互异性；当时，由上不符合，而时，此时集合为.综上，.故答案为：【变式2-2】已知集合，且，则实数a的值为．【答案】1【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据元素与集合的关系列式计算即得.【详解】由题意可得：，解得.故答案为：1.【变式2-3】已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝.【答案】－4或0【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可.【详解】当时，当时，则，当时，则，即当时，；当时，；所以，当时，；当时，，所以，因此有；当时，当时，则，当时，则，即当时，；当时，；所以，当时，；当时，，所以，因此有，当时，同理可得无解，综上所述：实数t的值为－4或0，故答案为：－4或0【点睛】关键点睛：根据区间取特殊值分类讨论进行求解是解题的关键.【变式2-4】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合，其中.若存在正数，使得对任意，都有，则的值是.【答案】【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可.【详解】因为，则只需考虑下列三种情况：因为，，则，又因为，则，因为，则且，可得，所以，，解得，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解.题型3列举法表示集合（共4题）例3（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为．【答案】；【知识点】列举法表示集合【分析】联立消元求解，用列举法表示集合.【详解】由消去可得：，可得：，，所以解集为，故答案为：【变式3-1】用列举法表示．【答案】【知识点】列举法表示集合【分析】根据元素的特征用列举法表示即可.【详解】解：.故答案为：【变式3-2】集合且，用列举法表示集合【答案】【知识点】列举法表示集合【解析】由已知可得，则，解得且，结合题意，逐个验证，即可求解.【详解】由题意，集合且，可得，则，解得且，当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，此时分母为零，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；综上可得，集合.故答案为：.【变式3-3】对于任意非空集合、，定义，若，则（用列举法表示）【答案】【知识点】列举法表示集合、集合新定义【解析】根据集合的新定义，分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况.【详解】由题：对于任意非空集合、，定义，若，各取一个元素形成有序数对，所有可能情况为，所有情况两个数之和构成的集合为：故答案为：【点睛】此题考查集合的新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义找出新集合中的元素即可得解.题型4判断集合的子集（真子集）的个数（共3题）例4（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有个．【答案】30【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数【分析】若集合有个元素，则非空真子集的个数为.【详解】根据元素互异性集合A中有5个元素，所以非空真子集有．故答案为:30.【变式4-1】满足条件：的集合M的个数为.【答案】7【知识点】求集合的子集（真子集）、判断集合的子集（真子集）的个数【分析】根据可知，M中的元素应该是多于一个不多于中的元素个数，由此可求得答案.【详解】由可知，M中的元素个数多于中的元素个数，不多于中的元素个数因此M中的元素来自于b,c,d中，即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，故足条件：的集合M的个数有7个，故答案为：7.【变式4-2】已知集合，，则满足条件的集合的个数为个【答案】7【知识点】判断两个集合的包含关系、判断集合的子集（真子集）的个数、列举法表示集合【分析】化简集合A，B，根据条件确定集合C的个数即可.【详解】因为，,因为，所以1，2都是集合C的元素，集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，所以集合C为：，，，，，，，共7个.故答案为：7题型5判断两个集合的包含关系（共5题）例5用符号“”“”或“”填空：．【答案】【知识点】判断两个集合的包含关系【分析】由集合间的关系即可求.【详解】a为集合的其中一个元素，故.故答案为：.【变式5-1】若集合，，则AB．（用符号“”“=”或“”连接）【答案】【知识点】判断两个集合的包含关系【分析】先化简集合A、B，再去判断集合A、B间的关系即可解决.【详解】，，则故答案为：【变式5-2】用集合符号填空：Q．【答案】【知识点】判断两个集合的包含关系【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案.【详解】当时，，当时,包含无理数，故，故答案为：.【变式5-3】（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（

）A． B． C． D．的关系无法确定【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、集合新定义【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解.【详解】，有，从而有，进一步，即，所以，，有，从而有，进一步有，即，所以，综上所述，有.故选：C.【变式5-4】（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【知识点】判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数、集合新定义【分析】运用元素和集合的关系判断即可.【详解】设，，若，此时，，B错误；若，此时，，错误，A错误；若，则,则，且，若，真包含A,故D正确，C错误.故选：D．题型6根据集合的包含关系求参数（共4题）例6（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为.【答案】【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】由集合包含关系得到即可求解；【详解】由题意可知，解得：，故答案为：【变式6-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知集合，且，则．【答案】【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可．【详解】由题意，,若时，，满足题意；若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意；又，故若时，解得或，若时，，满足题意，当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意；综上所述，.故答案为：.【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，.若，则实数的值为.【答案】1【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】根据包含关系求解即可.【详解】由题意，，则，又，则，此时，，符合题意.故答案为：1.【变式6-3】（23-24高一上·上海·期末）已知集合.(1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；(2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围.【答案】(1)或，或(2)【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数【分析】（1）考虑和且两种情况.（2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况.【详解】（1）时，解得符合题意；时令解得，此时，解得符合题意，故或，或（2）若至少有两个子集，则至少有一个元素.由（1）知或时符合题意.由题意可知时若也符合题意.即解得且.综上.题型7交集的概念及运算（共13题）例7（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，则.【答案】【知识点】交集的概念及运算【分析】根据交集的概念即可得解.【详解】由题意可得.故答案为：.【变式7-1】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则.【答案】【知识点】交集的概念及运算【分析】根据一元二次方程化简集合，即可由交运算求解.【详解】由得，所以，故答案为：【变式7-2】（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合，则【答案】【知识点】交集的概念及运算【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求得答案.【详解】依题意，.故答案为：【变式7-3】（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，则．【答案】【知识点】交集的概念及运算【分析】解出即可得出交集.【详解】解方程组，得，故.故答案为：.【变式7-4】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知集合，，则．【答案】【知识点】交集的概念及运算【分析】借助交集定义计算即可得.【详解】由，可得、，则.故答案为：.【变式7-5】定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义、利用Venn图求集合【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确.【详解】对于①中，由，所以①正确；对于②中，由且，同理可得：,则，所以，所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示，同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合，所以，所以②正确；

对于③中，由，所以③正确；对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误.故选：B.

【变式7-6】（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知集合，，则．【答案】【知识点】交集的概念及运算【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】由题意，,故答案为：【变式7-7】已知集合，，则．【答案】【知识点】交集的概念及运算【分析】利用交集定义直接求解．【详解】因为集合，，所以．故答案为：．【变式7-8】已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及．【答案】【知识点】并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算【分析】根据交集的定义和一元二次方程的根求解.【详解】将两个方程中都代入，得：，解得：或3，或3，所以.【变式7-9】已知集合，集合，用列举法表示集合.【答案】【知识点】交集的概念及运算、列举法表示集合【分析】集合A,B中的元素均为函数图像上的点，故A与B的交集即为与的交点的集合.【详解】联立，解得：或，故【变式7-10】已知集合.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】公式法解绝对值不等式、根据并集结果求集合或参数、交集的概念及运算【分析】（1）分别先求出集合，直接根据交集的运算求解；（2）根据集合的结果，结合，利用并集的结果求参数范围.【详解】（1），；时，，故（2）由于，故，解得，所以实数的取值范围为.【变式7-11】已知集合，.(1)若，求；(2)若，求实数的取值集合.【答案】(1)；(2).【知识点】根据并集结果求集合或参数、交集的概念及运算【分析】（1）化简集合，然后根据交集的定义即得；（2）根据对进行分类讨论，从而求得的取值范围.【详解】（1）当时，，又，所以；（2）由解得，，若，则，，符合题意；若，由于，所以；综上所述，实数的取值集合为.【变式7-12】已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2).【知识点】交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数【分析】（1）当时，代入集合中，写出集合，再解出集合，取交集即取公共的部分即可.（2）由题意知，分为两种情况与，分别求出a的取值范围再取并集即可.【详解】（1）当时，，，故.（2）由知，①当时，.②当时，.综上.题型8根据交集结果求集合或参数（共7题）例8（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则.【答案】【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算【分析】根据集合的交集以及并集的定义即可求解.【详解】由知，.故答案为：【变式8-1】集合，，若，则．【答案】【知识点】并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数【分析】根据交集运算得出，再由并集运算求解.【详解】若，则，，所以，所以．故答案为：【变式8-2】已知集合，，若，求实数的值及．【答案】；.【知识点】并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数【分析】根据给定条件可得，再分类求解并验证作答.【详解】因，则，在集合中，，于是得或，解得或，当时，，，而与已知矛盾，即不成立，当时，，，有，则，，.所以，.【变式8-3】已知全集，集合A、B均为U的子集．若，，则．【答案】/【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据交集结果求集合或参数【分析】根据给定条件结合集合的运算性质即可计算作答.【详解】因集合A、B均为U的子集，则有，于是得，而，，所以故答案为：【变式8-4】设集合，，若，则实数m的取值范围是.【答案】【知识点】根据交集结果求集合或参数【分析】由交集和空集的定义解之即可.【详解】，由可知，故答案为：【变式8-5】设集合，且，求实数的取值范围.【答案】【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数【分析】由题意，可得是集合的子集，按集合中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解.【详解】由题意，可得是集合的子集，又，当是空集时，即方程无解，则满足，解得，即，此时显然符合题意；当中只有一个元素时，即方程只有一个实数根，此时，解得，则方程的解为或，并不是集合的子集中的元素，不符合题意，舍去；当中有两个元素时，则，此时方程的解为，，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故；当时，可解得，符合题意.综上的取值范围为.【变式8-6】已知全集为，，且，则．【答案】【知识点】根据交集结果求集合或参数【解析】由题可得，可得，进而可得，可求出，即得结果.【详解】由知代入得，所以集合，从而得，代入得，所以.故答案为：.题型9并集的概念及运算（共5题）例9（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则．【答案】【知识点】并集的概念及运算【分析】应用集合的并运算求集合.【详解】由题设.故答案为：【变式9-1】已知集合，则．【答案】【知识点】并集的概念及运算【分析】先求出集合B，再应用并集定义计算即可.【详解】．故答案为：.【变式9-2】定义且，若，则【答案】【知识点】集合新定义、并集的概念及运算【分析】根据题目定义，分别求得和，再利用并集运算即可得出结果.【详解】根据集合且的定义可知，当时，可得，；所以故答案为：【变式9-3】已知集合(1)求；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】并集的概念及运算、交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数【分析】（1）由交集和并集的定义求解即可；（2）利用集合的包含关系列不等式即可【详解】（1）已知集合∴，（2）因为若，则，则实数a的取值范围是.【变式9-4】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)或；(2)或.【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、补集的概念及运算【分析】（1）应用集合的并补运算求集合；（2）根据包含关系列不等式求参数范围即可.【详解】（1）由题设，则或，所以或.（2）由且恒成立，即为非空集，所以或，即或.题型10根据并集结果求集合或参数（共5题）例10已知集合，则满足的非空集合B有个．【答案】7【知识点】根据并集结果求集合或参数、判断集合的子集（真子集）的个数【分析】由可得，所以求出集合的所有非空子集即可【详解】因为，所以，因为，所以非空集合，，，，，，，所以非空集合B有7个，故答案为：7【变式10-1】已知集合，集合，若，则的值为.【答案】【知识点】根据并集结果求集合或参数【分析】根据集合的并集结果，结合集合的性质求参数即可.【详解】由，，，∴.故答案为：【变式10-2】集合，，且，则实数取值范围是.【答案】【知识点】根据并集结果求集合或参数【解析】由可得A⊆B，列不等式，即可解得.【详解】因为，所以A⊆B，即a≥2所以实数取值范围是.故答案为：【点睛】(1)离散型的数集用韦恩图，连续型的数集用数轴；(2)集合的交、并关系通常转化为子集（包含关系）．【变式10-3】已知集合，集合，若，则实数的取值集合为.【答案】【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数【分析】求出集合，分析可得，然后分、、、，可得出关于的等式与不等式，综合可得出实数的取值集合.【详解】因为，，且，则，对于方程，，当时，有，解得，当时，有，解得；当时，有，方程组无解；当时，有，方程组无解.综上所述，实数的取值集合为.故答案为：.【变式10-4】设集合，.(1)若，求实数的值;(2)若，求实数的范围.【答案】（1）；(2)或【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数【分析】（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素，∴A=B，从而得到实数的值；（2）求出集合A、B的元素，利用B是A的子集，即可求出实数a的范围.【详解】（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素，∴A=B，∴x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，故a=1；（2）∵A={x|x2+4x=0，x∈R}∴A={0，﹣4}，∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B⊆A．故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A；②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A；当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，故a=1；综上所述a=1或a≤﹣1；【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．题型11补集的概念及运算（共9题）例11（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则．【答案】【知识点】补集的概念及运算【分析】应用集合的补运算求集合.【详解】由全集，且，则.故答案为：【变式11-1】（24-25高一上·上海·期末）已知全集，，则．【答案】；【知识点】补集的概念及运算【分析】根据集合的补集定义计算即可.【详解】因为全集，，所以.故答案为：【变式11-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则【答案】【知识点】补集的概念及运算【分析】根据补集概念进行求解.【详解】.故答案为：【变式11-3】设全集，集合，则．【答案】【知识点】补集的概念及运算【分析】根据补集的知识求得正确答案.【详解】依题意，全集，集合，所以.故答案为：【变式11-4】（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则．【答案】【知识点】补集的概念及运算【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：【变式11-5】（23-24高一上·上海宝山·期末）设全集，，则.【答案】【知识点】补集的概念及运算【分析】先求集合的元素，再利用补集运算即可求解.【详解】因为，，所以.故答案为：.【变式11-6】已知全集，集合，则.【答案】.【知识点】补集的概念及运算【分析】根据集合的补集运算即可得答案.【详解】因为全集，集合所以.故答案为：.【变式11-7】设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，则．【答案】【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算【分析】由已知得可以求得和，再由交集运算即可解决.【详解】∵全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，∴，，∴.故答案为：.【变式11-8】全集，，则．【答案】【知识点】补集的概念及运算【解析】先解绝对值不等式确定集合，然后由补集定义计算．【详解】由得，即，∴，∴．故答案为：．题型12交并补混合运算（共4题）例12（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为.【答案】【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算【分析】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解.【详解】全集，集合，，所以或，所以．集合或，且，所以或，解得或，即的范围为．故答案为：.【变式12-1】已知，，则.【答案】【知识点】交并补混合运算【分析】先求，再根据集合的运算即可.【详解】因为，所以，而，所以.故答案为：.【变式12-2】（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（

）

A． B． C． D．【答案】B【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合【分析】根据韦恩图得出集合间关系判定选项.【详解】图中阴影部分的集合是.故选：B.【变式12-3】已知集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据集合的包含关系求参数【解析】（1）等价于，先化简集合，再根据包含关系列不等式求解即可；（2）先求出集合的补集，再根据列不等式求解即可.【详解】（1）因为，所以，又因为集合，，所以即实数a的取值范围是；（2）因为，所以，又，且，所以，可得，即实数a的取值范围是.【点睛】易错点睛：在解答与集合交集、并集、补集有关的问题时，一定要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.题型13充分条件与必要条件（共6题）例13（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（

）条件是“能扫天下”A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【知识点】必要条件【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可.【详解】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”，所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件.故选：A.【变式13-1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】根据充分不必要条件求参数【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围.【详解】已知，，若是的充分不必要条件，则，所以，.故选：B.【变式13-2】（23-24高一上·上海·期末）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为【答案】【知识点】根据充分不必要条件求参数【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.【详解】由，因为不等式成立的一个充分不必要条件是，所以有，等号不同时成立，解得.故答案为：【变式13-3】设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是．【答案】【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数【分析】由是的充分条件，根据对应集合的包含关系，可得实数m的取值范围．【详解】∵：，：，是的充分条件，则，则，∴实数m的取值范围是.故答案为：．【变式13-4】若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是．【答案】【知识点】充分条件【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．故答案为：【变式13-5】设，写出“”的一个充分条件：．【答案】（答案不唯一）．【知识点】充分条件【分析】根据充分条件的定义求解．【详解】只要是集合的子集即可，如．故答案为：（答案不唯一）．题型14充要条件（共6题）例14（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【知识点】判断命题的充分不必要条件【分析】易知，根据定义即可判断得出结论.【详解】易知若，由可得，可知充分性成立，又推不出，因此必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A【变式14-1】（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要