专题03 函数及其性质（期末复习知识清单）（原卷版及全解全析）

③函数类型的一切函数．④常数函数⑤幂函数⑥三角函数，【清单08】函数的对称性1、对称轴：若函数关于直线对称，则．2、对称中心：若函数关于点对称，则．【清单09】函数的周期性1、周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.常用结论：1．周期性的常用结论—对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．(4)若,则T＝6a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝,则T＝4a(a>0)．（7）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（8）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（9）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.【题型一】求函数的定义域【例1】．（25-26高一上·广东汕头·期中）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.94【知识点】具体函数的定义域【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得定义域.【详解】函数的意义，则，解得且，所以所求定义域为.故选：D【变式1-1】．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域【分析】借助抽象函数定义域与具体函数定义域求法计算即可得.【详解】由题意得，解得或，故函数的定义域为.故选：C.【变式2-1】．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.85【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域【分析】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域.【详解】由函数的定义域为，函数有意义，得，解得，所以所求定义域为.故选：D【题型二】同一函数的判断【例2】．（25-26高一上·广东清远·期中）（多选题）下列四组函数中表示同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【难度】0.65【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等【分析】根据函数的定义域及解析式逐项分析即可.【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，它们的定义域不同，故不为同一函数；B选项，定义域都为，解析式相同，故为同一函数；C选项，定义域为，定义域为，它们的定义域不同，故不为同一函数；D选项，定义域都为，，故为同一函数.故选：BD【变式2-1】．（25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选题）下列函数为同一函数的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ACD【难度】0.85【知识点】判断两个函数是否相等【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数.【详解】对于A，的定义域为，且，的定义域为，且，则两函数为同一函数，故A正确；对于B，，由得，故的定义域为，，由得或，故的定义域为，则两函数不为同一函数，故B错误；对于C，的定义域为，解得，的定义域为，解得，故两个函数的定义域均为，且，则两函数为同一函数，故C正确；对于D，的定义域为R，的定义域为R，且对应法则相同，值域也相同，则两函数为同一函数，故D正确.故选：ACD【变式2-2】．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）（多选题）下列各组函数是同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】AD【难度】0.65【知识点】判断两个函数是否相等【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可.【详解】对于选项A：因为的定义域为R，的定义域为R，所以两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确；对于选项B：的定义域为R，的定义域为，所以两函数定义域不相同，故不是同一函数，故B错误；对于选项C：的定义域为R，的定义域为，所以两函数定义域不相同，故不是同一函数，故C错误；对于选项D：的定义域为R，的定义域为R，即两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确.故选：AD【题型三】判断或证明函数的单调性【例3】．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数，．(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；(2)判断函数的奇偶性，并求解关于a的不等式．【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析.(2)函数为奇函数；不等式的解集为.【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】（1）任取，且，通过计算的正负来确定单调性；（2）通过判断的关系得奇偶性；再由奇偶性和单调性解关于a的不等式.【详解】（1）函数在上单调递增.证明：任取，且，则，因为，且，所以，，，所以，即，所以函数在区间上单调递增；（2）因为，定义域关于原点对称，，所以函数为奇函数，由可得，所以，解得：.故不等式的解集为.【变式3-1】．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数.(1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减；(2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【难度】0.94【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式【分析】（1）利用单调性的定义法来证明即可；（2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可.【详解】（1）因为，且，则，因为，则，，则，即，故在上单调递减；（2）由（1）在上单调递减，函数定义域为，所以，解得，所以所求实数的范围是.【题型四】判断或证明函数的奇偶性【例4】．（25-26高一上·山东临沂·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断【分析】先将函数变形得，再结合各选项利用奇函数的定义逐一判断即可.【详解】因为，则，而函数的定义域为，且，即函数为奇函数，故是奇函数，而不是奇函数，同理和都不是奇函数。故选：B.【变式4-1】．（25-26高一上·重庆·期中）下列函数为奇函数且在上单调递减的为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.94【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】利用熟悉函数的奇偶性和单调性来作出判断，对于C则举反例分析.【详解】由奇函数，结合绝对值的意义，可排除B，由在上单调递减，结合二次函数性质可排除A，结合一次函数的性质可确定D，对于C，当时，，当时，，由于，所以不在上单调递减，故C错误；故选：D【变式4-2】．（25-26高三上·广东梅州·月考）函数的奇偶性为．（选填：偶函数；奇函数；非奇非偶函数）【答案】奇函数【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断【分析】利用奇偶函数的定义判断即可.【详解】设，则，解得：，所以函数的定义域为，所以，则函数的奇偶性为奇函数；故答案为：奇函数【题型五】利用奇偶性求参数或解析式【例5】．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数是定义域上的奇函数，则（

）A． B． C．3 D．【答案】A【难度】0.65【知识点】求函数值、由奇偶性求参数【分析】应用函数是奇函数，通过赋值法计算求解.【详解】因为函数是定义域上的奇函数，定义域为所以，所以，所以函数，满足，满足题意，则.故选：A.【变式5-1】．（25-26高三上·云南·月考）已知函数，则“”是“为奇函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、由奇偶性求参数【分析】首先由奇函数的概念求出的值，结合充分条件、必要条件的概念即可得结果.【详解】函数为奇函数，则，所以，化简得：，由成立，由不成立所以“”是“为奇函数”的必要不充分条件，故选：B．【变式5-2】．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，．(1)求的值；(2)求在上的解析式．【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用【分析】（1）先求出的值，再结合奇函数的性质可得出的值；（2）利用奇函数的性质可求出函数在时的解析式，再由可得出函数在上的解析式.【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，当时，，则，故.（2）当时，，则，由于函数是上的奇函数，故，因此.【变式5-3】．（25-26高一上·黑龙江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性并用定义证明．【答案】(1)(2)单调递增，证明见解析【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.（2）利用函数单调性的定义，计算，从而判断出在上单调递增.【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，所以当时，；当时，.综上，；（2）在上单调递增，证明如下：任取，则又，所以，所以，即，所以在上单调递增.【题型六】单调性与奇偶性的综合应用【例6】．（25-26高一上·重庆·期中）已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】D【难度】0.4【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】设，分析函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解不等式.【详解】因为，且，，所以.设，则，且，所以在上单调递增.又是定义在上的奇函数，所以为偶函数，且定义域为.所以在上单调递减.因为，即，且.由.当时，即；当时，即.所以不等式的解集为.故选：D【变式6-1】．（25-26高一上·河北唐山·期中）若定义在上的奇函数在上是增函数，且，则的解集为（

）A． B．或C．或 D．或【答案】C【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】找到临界点，由函数的奇偶性与单调性求解即可.【详解】由是奇函数，且定义域为，则，，则，又因为其在内是增函数，则有：当或时，，当或时，，的解集为或，故选：C【变式6-2】．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】设，根据奇偶性的定义，可得为奇函数，根据二次函数性质，可得的单调性，将条件变形为，根据的单调性，可得，设，分析可得或，化简计算，即可得答案.【详解】设，，则，所以为奇函数，当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以在上单调递增，则在上也单调递增，由，可得，即，因为单调递增，所以，即，设，则存在，使成立，所以只需或，即或，解得，则实数的取值范围是.故选：C【题型七】函数的对称性【例7】．（2026高三·全国·专题练习）设函数，则的图象（

）A．关于对称B．关于对称C．关于直线对称D．关于对称【答案】D【难度】0.65【知识点】判断或证明函数的对称性【分析】A根据判断；B根据判断；C根据判断；D根据判断.【详解】对于A，因为，所以的图像不关于对称，故A错误；对于B，因为，所以的图像不关于对称，故B错误；对于C，因为，所以的图像不关于直线对称，故C错误；对于D，因为，所以的图像关于对称，故D正确.答案：D【变式7-1】．（25-26高三上·江苏南京·期中）（多选题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（

）A．B．的图象关于对称C．是以2为周期的周期函数D．【答案】ABD【难度】0.4【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用【分析】利用赋值法，结合奇函数的性质，可判断A的真假；探索与的关系，可判断B的真假；探索与的关系，可判断C的真假；根据函数的奇偶性可得，结合，可得，可判断D的真假.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且.是定义在上的偶函数，所以.对A：因为，令得，，所以，故A正确；对B：由.所以，所以，所以的图象关于成轴对称，故B正确；对C：因为，所以2不是函数的周期，故C错误；对D：因为可得，所以，所以.又，所以，所以，依次类推，可得，.所以，故D正确.故选：ABD【变式7-2】．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选题）已知函数，则（

）A．函数的图象关于对称B．，都有C．函数的值域为D．、，都有【答案】ABD【难度】0.65【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、定义法判断或证明函数的单调性、判断或证明函数的对称性、由基本不等式比较大小【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；分析函数的单调性，可判断B选项；利用反比例函数的单调性求出函数的值域，可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项。【详解】对于A选项，对任意的，，故函数的定义域为，因为，故函数的图象关于对称，A对；对于B选项，当时，，故函数在上单调递减，当时，，故函数在上单调递减，由于函数在上连续，故函数在上单调递减，，不妨设，则，即，B对；对于C选项，当时，，则，此时，当时，，则，此时.综上所述，函数的值域为，C错；对于D选项，当时，，所以，当且仅当时，等号成立，故，即，D对.故选：ABD.【题型八】函数的周期性【例8】．（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】由函数的周期性求函数值、求分段函数值【分析】根据题意，推得，即可求得的值.【详解】，故选：B【变式8-1】．（25-26高三上·安徽·月考）是定义在上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值【分析】首先根据函数是定义在上的奇函数且关于直线对称可证明出是周期为的周期函数，然后利用函数的周期性和奇偶性即可求出.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以①，又关于直线对称，所以②，联立①②可得，即③，把用替换可得④，联立③④可得，所以是周期为的周期函数，所以.故选：C【变式8-2】．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、由函数的周期性求函数值【分析】根据给定条件，结合奇函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值.【详解】由是定义在上的奇函数，得，则，即，由，得，于是，即，因此，函数是以4为周期的周期函数，又当时，，所以.故选：A【题型九】抽象函数【例9】．（25-26高一上·海南·月考）若定义在上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且.(1)求证：为奇函数；(2)证明函数为上的减函数；(3)若，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)证明详见解析；(2)证明详见解析；(3).【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题【分析】（1）通过赋值法求得及与的关系即可证明；（2）通过定义法证明函数的单调性，根据已知条件可知需要用到的正负；（3）根据奇函数的性质、及将不等式中的进行转化，结合减函数的性质列出不等式，由对勾函数性质即可求解.【详解】（1）因为，令，可得，解得；令，可得，即，所以，即.综上，为奇函数.（2），且，则，因为当时，，所以.又，且为奇函数，所以，即，所以函数为上的减函数.（3）因为为奇函数，且，所以.所以，即，亦即.因为函数为上的减函数，所以，即.因为，恒成立，当时，恒成立；当时，恒成立，即恒成立，所以.由对勾函数的性质知函数在上单调递增，所以，所以，所以的取值范围为.【变式9-1】．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知定义在上的函数在区间上单调递减，且，.(1)证明：；(2)判断函数的奇偶性，并给予证明；(3)当时，求不等式.【答案】(1)证明见解析；(2)函数为偶函数，证明见解析；(3)【难度】0.65【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式【分析】（1）令，得，结合已知得，即可证；（2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证；（3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式．【详解】（1）令，，则，即，因为，所以；（2）函数为偶函数，证明如下：由（1）知，，令，则，所以，所以，所以函数为偶函数；（3）令，则，所以，所以．因为，所以，所以，即，即，又，，所以．当时，在区间上单调递减，由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增，所以，所以，解得．所以当时，不等式的解集为.【变式9-2】．（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数.(1)求的值；(2)证明：函数是偶函数；(3)解不等式.【答案】(1)1(2)证明见详解(3)【难度】0.65【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】（1）令，求得，再令，求得；（2）令，根据偶函数定义证明；（3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解.【详解】（1）由，令，得，得，令，得，解得.（2）因为的定义域为，，令，得，即，所以函数为偶函数.（3）不等式，即，，由为偶函数，得，又是区间上的递增函数，，解得或，所以不等式的解集为.【题型十】函数图像的判断【例10】．（25-26高一上·安徽黄山·期中）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别【分析】根据定义域可排除D，根据的函数值正负可排除A，根据的函数值正负可排除B．【详解】可得的定义域为，故D错误；∵，∴是奇函数，图象关于原点对称，当时，，，则＞0，图象在轴上方，故A错误，当时，，，则＜0，图象在轴下方，故B错误．故选：C【变式10-1】．（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】函数图像的识别【分析】由奇偶性和特殊点函数值即可判断.【详解】的定义域为，，故函数为奇函数，排除CD，又，排除B，故选：A【变式10-2】．（25-26高一上·河南南阳·期中）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别【分析】判断函数的奇偶性，根据时，，可得结论.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，故BC不符合题意；当，，所以，故D不符合题意，A符合题意.故选：A.【题型十一】综合问题【例11】．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数，，(1)判断并证明函数的单调性；(2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式能成立（有解）问题【分析】（1）根据函数单调性定义，即可证明；（2）若存在，使得不等式成立，即，所以根据（1）所得的函数单调性，可得，即，解不等式即可.【详解】（1）由题意，任取，则，因为，所以，，即，所有，所以，故函数在区间内单调递增；（2）由（1）得，函数在区间内单调递增，所以当时，，当时，，所以的值域为，若存在实数，使得不等式成立，只需即可，解得，所以a的取值范围为.【变式11-1】．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知