专题08 对数与对数函数（考题猜想易错必刷54题15种题型）（原卷版及全解全析）

专题08对数与对数函数（易错必刷54题15种题型专项训练）指数式与对数式的互化对数运算求值对数方程求解换底公式的应用对数函数的定义域求对数函数的值域由对数型复合函数的值域求参数对数函数的图象求对数函数及对数型复合函数的单调性由对数函数的单调性求解参数求对数函数及对数型复合函数的最值由对数函数的最值求解参数对数值大小的比较反函数对数函数图象与性质的综合应用一．指数式与对数式的互化1．（2024春•吉林期末）已知正数，，，满足，则下列说法不正确的是A． B． C． D．2．（2024春•南平期末）若，，则A．10 B．20 C．50 D．1003．（2023秋•南山区校级期末）已知，，则．4．（2024春•滨州期末）若，，则．5．（2023秋•宝山区校级期末）已知正数，满足，且，则．二．对数运算求值6．（2023秋•印台区校级期末）已知函数，则（2）．7．（2023秋•罗庄区校级期末）已知，则用表示为．8．（2023秋•南山区校级期末）计算：．9．（2024春•新城区校级期末）．10．（2023秋•灌云县校级期末）设，，则．（用，来表示）11．（2024春•保山期末）记为不超过的最大整数，则．12．（2024春•榆林期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到5，则A． B． C． D．13．（2023秋•中山区校级期末）在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则所在的区间为A．， B．， C．， D．，三．对数方程求解14．（2023秋•浦东新区校级期末）方程的解为．15．（2023秋•宝山区校级期末）方程的解．16．（2023秋•上海期末）解下列关于的方程：（1）；（2）．四．换底公式的应用17．（2021秋•疏附县期末）A． B． C．2 D．418．（2023春•三明期末）若，则．19．（2022秋•谷城县校级期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为．若，，，则A． B． C． D．五．对数函数的定义域20．（2023秋•古蔺县校级期末）函数的定义域是A．， B．， C． D．21．（2023秋•鹿泉区校级期末）函数的定义域是A．，， B．，， C． D．22．（2023秋•西安区校级期末）函数的定义域为A． B． C． D．23．（2023秋•昭通期末）函数的定义域为A．或 B． C． D．且六．求对数函数的值域24．（2023秋•镇江期末）函数的定义域为，则值域为A． B． C． D．，25．（2023秋•青浦区期末）函数的值域为．由对数型复合函数的值域求参数26．（2024春•浠水县校级期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是A．， B． C． D．，27．（2023秋•合肥期末）已知函数且．若的值域为，则的取值范围为．28．（2024春•合江县期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，对数函数的图象29．（2023秋•内江期末）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为、，则A．1 B．2 C．3 D．430．（2023秋•滨海新区校级期末）已知，则函数与函数的图像可能是A． B． C． D．31．（2023秋•吉林期末）函数的图象是A． B． C． D．32．（2023秋•昭阳区校级期末）且的图象恒过定点，幂函数过点，则为A．1 B．2 C．3 D．4求对数函数及对数型复合函数的单调性33．（2024春•太和县校级期末）函数的单调递增区间为A． B． C． D．34．（2023秋•南岸区校级期末）函数的单调递减区间是．十．由对数函数的单调性求解参数35．（2023秋•辽宁期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，36．（2023秋•宜丰县校级期末）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是．37．（2024春•卢龙县期末）若函数在上单调，则的取值范围是A． B． C． D．十一．求对数函数及对数型复合函数的最值38．（2022秋•雅安期末）已知函数与互为反函数，记函数．（1）若，求的取值范围；（2）若，，求的最大值．39．（2022秋•播州区期末）设，，且．（1）求实数的值及函数的定义域；（2）求函数在区间，上的最小值．十二．由对数函数的最值求解参数40．（2023秋•马龙区校级期末）已知函数且．（1）若在区间，上的最大值与最小值之差为1，求的值；（2）解关于的不等式．41．（2023秋•保山期末）已知函数，且．（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若在，上的最大值与最小值的差为1，求的值．42．（2023秋•金平区期末）已知函数．（Ⅰ）若函数是上的奇函数，求的值；（Ⅱ）若函数的定义域是一切实数，求的取值范围；（Ⅲ）若函数在区间，上的最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围．对数值大小的比较43．（2023秋•德宏州期末）已知，则，，的大小关系是A． B． C． D．44．（2023秋•鹿泉区校级期末）已知，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．45．（2023秋•西湖区校级期末）已知，，，则A． B． C． D．46．（2023秋•叙州区校级期末）若，，，则A． B． C． D．47．（2023秋•集宁区校级期末）若，，，则A． B． C． D．十四．反函数48．（2023秋•烟台期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称49．（2024春•宁波期末）已知函数的图象过点，是的反函数，则函数A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数50．（2024春•天津期末）下列各对函数中，互为反函数的是A．， B．， C．， D．51．（2023秋•金安区校级期末）已知函数是函数的反函数，函数的零点为，且，则A．1 B．2 C．3 D．4对数函数图象与性质的综合应用52．（2024春•吉林期末）已知，，则的值为A．2 B．3 C．4 D．553．（2023秋•和平区校级期末）若定义在上的偶函数满足，且当，时，，则函数的零点个数是A．6 B．10 C．14 D．1854．（2024春•昆明期末）设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是．

专题08对数与对数函数（易错必刷54题15种题型专项训练）指数式与对数式的互化对数运算求值对数方程求解换底公式的应用对数函数的定义域求对数函数的值域由对数型复合函数的值域求参数对数函数的图象求对数函数及对数型复合函数的单调性由对数函数的单调性求解参数求对数函数及对数型复合函数的最值由对数函数的最值求解参数对数值大小的比较反函数对数函数图象与性质的综合应用一．指数式与对数式的互化1．（2024春•吉林期末）已知正数，，，满足，则下列说法不正确的是A． B． C． D．【解析】令，则，，，对于，，所以正确，对于，因为在上递增，且，所以，即，即，所以，所以正确，对于，因为，所以，所以错误，对于，，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以正确．故选：．2．（2024春•南平期末）若，，则A．10 B．20 C．50 D．100【解析】，，，，则．故选：．3．（2023秋•南山区校级期末）已知，，则．【解析】因为，，所以，所以．故答案为：．4．（2024春•滨州期末）若，，则．【解析】因为，，所以，所以．故答案为：2．5．（2023秋•宝山区校级期末）已知正数，满足，且，则．【解析】，，即①，又②，联立①②得或者，即或者，或者，故答案为：4或5．二．对数运算求值6．（2023秋•印台区校级期末）已知函数，则（2）．【解析】因为，所以（2），所以（2）（4）．故答案为：8．7．（2023秋•罗庄区校级期末）已知，则用表示为．【解析】因为，所以，故答案为：．8．（2023秋•南山区校级期末）计算：．【解析】由题意可得：原式．故答案为：5．9．（2024春•新城区校级期末）．【解析】易知．故答案为：12．10．（2023秋•灌云县校级期末）设，，则．（用，来表示）【解析】因为，，两式相减可得：，解得：，．故答案为：．11．（2024春•保山期末）记为不超过的最大整数，则．【解析】由题意得，．故答案为：1．12．（2024春•榆林期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到5，则A． B． C． D．【解析】根据题意，得，则，即．故选：．13．（2023秋•中山区校级期末）在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则所在的区间为A．， B．， C．， D．，【解析】，则，故，．故选：．三．对数方程求解14．（2023秋•浦东新区校级期末）方程的解为．【解析】方程可化为，又因为函数在上单调递增，所以，且，解得，即方程的解为．故答案为：．15．（2023秋•宝山区校级期末）方程的解1．【解析】因为，所以，解得．故答案为：11．16．（2023秋•上海期末）解下列关于的方程：（1）；（2）．【解析】（1）令，则可化为，整理得，，解得，或，所以或；（2），所以，所以或，当，则无解，此时；当，则；当，则无解，此时；综上，时，，时，或，当时，．四．换底公式的应用17．（2021秋•疏附县期末）A． B． C．2 D．4【解析】．故选：．18．（2023春•三明期末）若，则．【解析】由，得，所以，故答案为：319．（2022秋•谷城县校级期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为．若，，，则A． B． C． D．【解析】根据题意，由题目中的不等式，，，，则有，故选：．五．对数函数的定义域20．（2023秋•古蔺县校级期末）函数的定义域是A．， B．， C． D．【解析】由题知：．函数的定义域是．故选：．21．（2023秋•鹿泉区校级期末）函数的定义域是A．，， B．，， C． D．【解析】要使原函数有意义，则，即，解得：．所以，原函数的定义域为．故选：．22．（2023秋•西安区校级期末）函数的定义域为A． B． C． D．【解析】由题意得，解得．故选：．23．（2023秋•昭通期末）函数的定义域为A．或 B． C． D．且【解析】由题知，解得或，即函数的定义域为或．故选：．六．求对数函数的值域24．（2023秋•镇江期末）函数的定义域为，则值域为A． B． C． D．，【解析】在上单调递增，，，故所求值域为．故选：．25．（2023秋•青浦区期末）函数的值域为．【解析】，根据二次函数的性质可知，当时，函数取得最小值，没有最大值，故函数的值域为，．故答案为：，．七．由对数型复合函数的值域求参数26．（2024春•浠水县校级期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是A．， B． C． D．，【解析】因为函数的值域为，则要取遍所有的正数．所以或，解得，即实数的取值范围是，．故选：．27．（2023秋•合肥期末）已知函数且．若的值域为，则的取值范围为．【解析】当时，值域为，满足条件；当时，的值域为，则，解得；综上所述：．故答案为：．28．（2024春•合江县期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解析】函数，在，上单调递增，，又的值域为，则，需满足，，解得．故选：．八．对数函数的图象29．（2023秋•内江期末）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为、，则A．1 B．2 C．3 D．4【解析】因为可得，解得，由反函数的定义可得，即和互为反函数，联立，解得，，即与的交点坐标为，所以两个函数与直线交点的横坐标分别为，满足，即．故选：．30．（2023秋•滨海新区校级期末）已知，则函数与函数的图像可能是A． B． C． D．【解析】，则，从而，与的图象关于对称，函数与函数的单调性是在定义域内同增同减，结合选项可知选．故选：．31．（2023秋•吉林期末）函数的图象是A． B． C． D．【解析】令，解得或，所以函数的定义域为或，因为，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故，错误；当时，，是减函数，当时，，是增函数，故正确，错误．故选：．32．（2023秋•昭阳区校级期末）且的图象恒过定点，幂函数过点，则为A．1 B．2 C．3 D．4【解析】，令，得，，则且恒过定点，设，则，即，即，．故选：．九．求对数函数及对数型复合函数的单调性33．（2024春•太和县校级期末）函数的单调递增区间为A． B． C． D．【解析】对于函数，令，即，解得，所以函数的定义域为，又，所以在上单调递减，在上单调递增，函数在定义域上单调递增，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．故选：．34．（2023秋•南岸区校级期末）函数的单调递减区间是．【解析】，，，设，对称轴，根据复合函数的单调性判断：函数的单调递减区间为，．故答案为，．十．由对数函数的单调性求解参数35．（2023秋•辽宁期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】由题意得，解得或，函数的定义域为，，，又在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，又函数在上单调递增，，即实数的取值范围为，．故选：．36．（2023秋•宜丰县校级期末）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【解析】因为，则对任意的恒成立，所以，因为，则，所以，，不等式即为，所以，解得，当时，函数为常函数，所以，因此，实数的取值范围是．故答案为：．37．（2024春•卢龙县期末）若函数在上单调，则的取值范围是A． B． C． D．【解析】函数在上单调，或，或．故选：．十一．求对数函数及对数型复合函数的最值38．（2022秋•雅安期末）已知函数与互为反函数，记函数．（1）若，求的取值范围；（2）若，，求的最大值．【解析】（1）因为与互为反函数，则，故，不等式，即为，即，解得，故，所以的取值范围是，．（2）令，，，则，，函数等价转化为，，，则，所以当时，取得最大值（4），故当，时，函数的最大值为6．39．（2022秋•播州区期末）设，，且．（1）求实数的值及函数的定义域；（2）求函数在区间，上的最小值．【解析】（1），，，；，，解得；的定义域是．（2），且；当时，在区间，上取得最小值，是．十二．由对数函数的最值求解参数40．（2023秋•马龙区校级期末）已知函数且．（1）若在区间，上的最大值与最小值之差为1，求的值；（2）解关于的不等式．【解析】（1）因为在，上为单调函数，且函数在区间，上的最大值与最小值之差为1，所以，解得或．（2）因为函数是上的减函数，所以，即，当时，，原不等式解集为．当时，，原不等式解集为．41．（2023秋•保山期末）已知函数，且．（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若在，上的最大值与最小值的差为1，求的值．【解析】（Ⅰ）当时，化为：，解得，所以不等式的解集为；（Ⅱ）当时，函数在，上为单调递增函数，则当时，，当时，，所以，解得；当时，函数在，上单调递减，则（3），（1），则，解得，综上，实数的值为或．42．（2023秋•金平区期末）已知函数．（Ⅰ）若函数是上的奇函数，求的值；（Ⅱ）若函数的定义域是一切实数，求的取值范围；（Ⅲ）若函数在区间，上的最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）函数是上的奇函数，则，求得又此时是上的奇函数．所以为所求．（Ⅱ）函数的定义域是一切实数，则恒成立．即恒成立，由于．故只要即可（Ⅲ）由已知函数是减函数，故在区间，上的最大值是，最小值是．由题设故为所求．十三．对数值大小的比较43．（2023秋•德宏州期末）已知，则，，的大小关系是A． B． C． D．【解析】由在上单调递增，又，所以，由在上单调递减，又，所以，由是上的减函数，又，所以．所以．故选：．44．（2023秋•鹿泉区校级期末）已知，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【解析】，因为在定义域上单调递增，所以，所以，又，所以．故选：．45．（2023秋•西湖区校级期末）已知，，，则A． B． C． D．【解析】由题知，单调递增，，，，，，即，综上：．故选：．46．（2023秋•叙州区校级期末）若，，，则A． B． C． D．【解析】，，，．故选：．47．（2023秋•集宁区校级期末）若，，，则A． B． C． D．【解析】，，，，．故选：．十四．反函数48．（2023秋•烟台期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称【解析】因为函数与互为反函数，所以两者的图象关于直线对称．故选：．49．（2024春•宁波期末）已知函数的图象过点，是的反函数，则函数A．既是奇函数又是减函