清单04 幂函数、指数函数与对数函数（考点清单知识导图+10个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第一册）（解析版）

清单04幂函数、指数函数与对数函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】幂函数的图象及性质1．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．2.作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．【清单02】幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．【清单03】幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【清单04】根式的运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）【清单05】指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．【清单06】实数指数幂的运算性质①．②．③．【清单07】指数函数函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．（1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果，则②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．③如果，则是个常量，就没研究的必要了．【清单08】指数式大小比较方法1、指数式大小比较方法（1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．2、简单指数不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的单调性求解；（2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；（3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解．【清单09】对数（且）具有下列性质（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．【清单10】对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；【清单11】对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即【清单12】对数函数1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．【清单13】反函数设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．【清单14】函数的零点①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．【清单15】零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.（3）数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.【清单16】判断函数零点所在区间（1）将区间端点代入函数求函数的值；（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。已知函数零点个数，求参数取值范围的方法（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．【考点题型一】利用幂函数的单调性求解不等式问题技巧：运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径．【例1】若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得.【详解】把代入可得：，易得：，则，显然函数的定义域为R，由知为偶函数.且，由，因故，即，故函数在上为增函数.由，将两边平方整理可得：，解得：或.故选：C.【变式1-1】设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，因此，.故选：A.【变式1-2】若幂函数图象过点，且，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件求出的知，分析函数在上的单调性，由可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】由已知条件可得，解得，则，所以，函数在上为增函数，由可得，解得.故选：B.【变式1-3】若，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意分三种情况进行解答，结合幂函数的单调性即可解出答案.【详解】①若且时，不等式成立，此时②若，此时不等式组的解为；③若，不等式组无解，综上，实数a的取值范围是.故选：A.【变式1-4】设函数，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别考虑的情况，然后求解出符合条件的的范围.【详解】当时，，解得，当时，，解得，所以的取值范围是，故选：D.【考点题型二】有限制条件的根式的化简技巧：对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可【例2】下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.【变式2-1】若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解.【详解】因为，则，所以.故选：C.【变式2-2】（），则b等于（

）A． B．34 C．43 D．35【答案】A【分析】根据分数指数幂的概念可以表示出【详解】因为且，所以.故选：A【变式2-3】已知函数，若，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】由条件可得，即，再利用基本不等式求解.【详解】由，，所以，即，所以.当且仅当，即时，等号成立.故选：D.【变式2-4】化简：（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用指数幂的运算性质即可得出.【详解】.故选：A.【考点题型三】解指数型不等式技巧：（1）先出现f(x1)与f(x2)的关系（2）然后利用单调性寻找x1与x2的关系【例3】已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分和两种情况，结合指数函数和对数函数单调性，得到不等式解集.【详解】当时，，解得，与求交集得，当，，解得，与求交集得，故的解集为.故选：D【变式3-1】设函数，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分和两种情况进行求解即可得答案.【详解】当时，则，解得；当时，则，解得．综上，的取值范围是．故选：A．【变式3-2】友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（

）分钟进行消毒工作.A．50 B． C． D．【答案】D【分析】由已知得出时的函数解析式，然后解不等式，即可求解.【详解】由题意可知，当时，过点，则，解得，所以，当时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至毫克，当时，空气中每立方米的含药量逐渐降低，由，解得，又，所以工作人员至少在会议开始时提前分钟进行消毒工作.故选：.【变式3-3】已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】研究分段函数的单调性，先分别研究各段函数的单调性为递增，在比较端点左边的函数值小于端点右边函数值，得到整个函数在上单调递增，由函数单调性和函数值的不等关系得到自变量的不等关系，从而得出的取值范围.【详解】化简得到，∴函数在区间上单调递增，∵，∴在区间单调递减，∴函数在区间上单调递增，又因为，∴函数在区间上单调递增，∵，∴，∴.故选：B.【变式3-4】设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解指数不等式，得到，由补集和交集的概念得到答案.【详解】，故，解得，故，故选：B【考点题型四】涉及指数函数判断奇偶性技巧：（1）先出现f(x1)与f(x2)的关系（2）然后利用单调性寻找x1与x2的关系【例4】已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【分析】由函数的图象关于对称得零点关于对称，但的零点个数为奇数个可得答案.【详解】因为函数f2x+1为偶函数，所以，所以y=fx的图象关于对称，令，则，可得函数的图象关于对称，所以函数的图象关于对称，则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个，则所以.故选：C.【变式4-1】下列函数是奇函数的为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】奇函数应该满足，且定义域关于原点对称，对选项一一判断即可．【详解】奇函数应该满足，，的定义域为显然A,C,不成立，当时，有，所以为奇函数，由可知，为偶函数.故选：B．【变式4-2】已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用奇函数的性质得到，然后在利用定义验证此时函数为奇函数，从而得到函数为奇函数的充分必要条件是，进而根据充分不必要条件的概念作出判定.【详解】若函数为奇函数，由于函数的定义域为R，∴，∴,即,∴∴；当时，，即为奇函数的充分必要条件是或，是的非充分非必要条件；是的非充分非必要条件；是的充分不必要条件；故选：C.【变式4-3】已知，其中x、y为正数且，，则（

）A．对任意的x和y，都有 B．不存在x和y，使得C．a，b，c，d中大于1的数有奇数个 D．存在x和y，使得【答案】D【解析】应用特殊值法，令，则，，说明错误，令，可推出，说明正确.【详解】令，则，，故错误，令，则，，，，此时，故正确.故选：D【变式4-4】已知奇函数的定义域为，且对任意的且，都有与同号，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，由题意可知，当时，为增函数，且为偶函数，由于，，，结合函数的单调性即可得解.【详解】因为对任意的且，都有与同号，即与即同号.令，所以，当时，为增函数.由题可知为奇函数，则，因为，所以为偶函数，由于，，，因为，即，所以.故选：D.【考点题型五】由已知对数求解未知对数式技巧：1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．，令，则有，则有即，即，即【例5】若，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据指对互化的运算可得，利用对数的换底公式和对数的运算性质的应用即可求解.【详解】由，得，所以.故选：A【变式5-1】已知，则（

）A． B．C． D．2【答案】A【分析】根据对数运算公式，即可求解.【详解】，得.故选：A【变式5-2】若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】将指数式化成对数式，再利用换底公式和对数的运算性质计算即得.【详解】由化成对数式，可得，则.故选：D.【变式5-3】已知，则（

）A． B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解.【详解】由，可得，则，则.故选：D.【变式5-4】若，，则的值是（

）A．3 B． C．8 D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得.【详解】由，得，而，所以.故选：A【考点题型六】比较指数幂的大小技巧：比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．【例6】已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数的性质比较大小.【详解】依题意，，，所以.故选：B【变式6-1】已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】A选项，当时，；C选项，变形得到，令，则，求导，得到函数单调性，且时，，当时，，因为，所以，即，所以，B选项，由C知，则，即；D选项，因为，所以，得.【详解】A选项，当时，，因为，所以A错误；C选项，，由，得，令，则，，由f′x>0，得，由f′x则函数在上单调递减，在上单调递增，

且时，，当时，，因为，由，得，即，所以，选项C正确；B选项，由C知，则，即，所以B错误；D选项，因为，所以，得，D错误.故选：C.【变式6-2】已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，则，，，再利用作商得，可得.【详解】，，，，，又，，.故选：B.【变式6-3】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，化简得到，构造函数，利用导数求得在上单调递减，得到，再由，得到，即可求解.【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得，构造函数，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，故，即，又由，而，其中且，所以，即，因为，所以，所以，所以.故选：C.【变式6-4】已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数单调性，结合对数运算性质以及指数函数单调性即可比较出大小关系.【详解】因为，所以.故选：C.【考点题型七】解对数型不等式技巧：（1）先出现f(x1)与f(x2)的关系（2）然后利用单调性寻找x1与x2的关系【例7】已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的性质化简集合，即可由并集的定义求解.【详解】由，则，所以，所以，故选：C【变式7-1】已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由是奇函数且在上单调递减，函数也是奇函数且在上单调递减，得在上单调递减，利用单调性解不等式.【详解】定义在上的函数，因为是奇函数，也是奇函数，所以是奇函数.由.因为是增函数，所以是减函数.又因为是减函数，所以在上单调递减.因为，所以，解得.故选：B.【变式7-2】已知函数，则关于的不等式解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性与单调性，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得原不等式的解集.【详解】因为，由可得或，即函数的定义域为，因为，所以，函数为偶函数，任取、，且，则，，，令，则，即，所以，函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，所以，函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，由可得，可得，解得或，因此，原不等式的解集为.故选：C.【变式7-3】已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为，所以，解得或，故或，又，所以.故选：C【变式7-4】已知集合，，则的非空真子集的个数为（

）A．16 B．15 C．14 D．6【答案】C【分析】分别求出集合A，B，即可得，继而求出的非空真子集的个数.【详解】由题意得，，故，故的非空真子集的个数为，故选：C【考点题型八】判断对数函数的奇偶性技巧：断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行第二步，如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。【例8】使得函数为奇函数的实数对的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用函数的奇偶性的定义判断.【详解】解：因为函数为奇函数，所以，则，所以，整理可得，于是，．则为，，，，当，时，的定义域为，不关于原点对称，当，时，，舍．当，时，，符合题意．当，时，，符合题意．故选：B【变式8-1】对函数，如果存在，使得，则称与为函数图象的一组奇对称点.若（为自然数的底数）存在奇对称点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得存在不等于0的根，进而可得，然后利用函数的性质及基本不等式即得.【详解】由题可得存在不等于0的根，所以，因为，所以，，∴，解得，即实数的取值范围是.故选：B.【变式8-2】函数f(x)＝lg是（

）A．奇函数 B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数【答案】A【解析】先求得函数定义域，再根据的关系，即可进行判断选择.【详解】要使得函数有意义，则，故，则其定义域关于原点对称；又.故是奇函数.故选：.【变式8-3】定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的奇偶性得到在上恒成立，进而得到在上单调递减，由为奇函数得到在R上单调递减，从而由单调性解不等式，求出解集.【详解】因为为奇函数，所以，对任意正数恒有，即，故在上恒成立，故在恒成立，故在上单调递减，定义域为R，又，故为奇函数，所以在上单调递减，又的图象连续不断，故在R上单调递减，变形得到，所以，解得，解得.故选：D【变式8-4】已知奇函数的定义域为，且对任意实数满足，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，可得函数的周期性，结合对数的运算性质，可得答案.【详解】由函数为奇函数，则为关于成中心对称；由函数对任意实数满足，则函数关于直线成轴对称；故，则，即函数的最小正周期.，由，则，即.故选：D.【考点题型九】根据零点所在区间求参数范围技巧：1、先判断函数的单调性2、根据零点存在定理粗略确定零点的大致区间3、根据题干意思缩减区间【例9】已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函数的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得.【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，得且或且，则或，解得或，所以实数的取值范围是.故选：C【变式9-1】已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】根据判别式、零点存在性定理、二次函数的性质等知识确定正确答案.【详解】对于函数，，当，即时，没有零点，不符合题意.当，即或时，当时，，零点为，，符合题意.当时，，零点为，，不符合题意.当，即或时，有两个不相等的零点，至少有一个零点在区间内，则需或，解得，，另外若，则，零点为或，不符合题意.若，则，零点为或，，符合题意.综上所述，的取值范围是：.故选：C【变式9-2】已知函数，若，且，则（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增，又，且，则，解得.故选：B【变式9-3】设函数在区间上存在零点，则的最小值为（

）A．0 B．e C． D．1【答案】A【分析】设零点为，则在直线上，根据的几何意义将问题转化为点到直线的距离问题，利用导数求解可得.【详解】设零点为，则，在直线上，的几何意义为点到原点距离的平方，其最小值为原点到直线的距离的平方，，设且，，所以在单调递减，所以．故选：A．【变式9-4】为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为【答案】C【分析】根据给定条件，由函数零点的意义可得直线与函数的图象有两个公共点，结合函数的性质可得，再借助对勾函数性质及基本不等式逐项分析得解.【详解】函数的定义域为，由，得，因此直线与函数的图象有两个公共点，其横坐标为，而当时，递减，当时，递增，于是，对于A，由，得，即，A正确；对于B，，而函数在上单调递增，因此，B正确；对于C，，函数在上单调递增，因此，C错误；对于D，，当且仅当时取等号，D正确.故选：C【考点题型十】根据零点的个数求参数范围技巧：已知函数零点个数，求参数取值范围的方法（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，