2021届广东省韶关市高三下学期2月综合测试（一模）数学试题

秘密★启用前韶关市2021届高三综合测试数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3．回答非选择题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一县象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．命题：是命题：的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3．中，点为上的点，且，若，则的值是（）A．1 B． C． D．4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则下列说法正确的是（）A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值 D．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值5．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（）A． B． C． D．6．已知，则（）A． B．10 C． D．457．设正方体的棱长为1，为底面正方形内的一动点，若三角形的面积，则动点的轨迹是（）A．圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分8．已知函数，若，，，则，，的大小关系正确的是（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得2分．请把正确选项在答题卡中的相对位置涂黑．9．设是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，焦距为，若是直角，则（）A．（为原点） B．C．的内切圆半径 D．10．如图所示，点是函数（，）图象的最高点，、是图象与轴的交点，若，且，则（）A． B． C． D．11．设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（）A． B． C． D．12．如图三棱锥，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱锥的外接球，则（）A．球心到平面的距离是 B．球心到平面的距离是C．球的表面积是 D．球的体积是三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合，，则________（结果用区间或集合表示）．14．设为等差数列的前项和，，则________，若，则使得不等式成立的最小整数________．15．现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构，各负责一个产品，机构负责余下的三个产品，其中产品①不在机构测试的情况有________种（结果用具体数字表示）．16．若曲线：（）与曲线：存在公切线，则的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：在中，角，，对应的边分别为，，，若，________，求角的值和的最小值（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答给分）．18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，．（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19．已知数列的前项和为，若（），且的最大值为25．（1）求的值及通项公式；（2）求数列的前项和．20．在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：得分频数213212524114（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）．①求的值；②若，求的值；（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）2050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．21．已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为4．（1）求抛物线的方程；（2）设，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，若，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．22．已知函数．（1）求的单调区间；（2）若时，方程有两个不等实数根，，求实数的取值范围，并证明：．

2021届高三综合测试数学参考答案和评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．题号12345678答案DBCCCADB1．D．【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限．2．B．【解析】，所以，故是的必要不充分条件．3．C．【解析】由可知，，则有，所以，，，．4．C．【解析】由三角函数知识，函数的最大值（即收缩压）为126，函数的最小值（即舒张压）为76，比较得：收缩压高与标准值，舒张压低于标准值，故选C．5．C．【解析】设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，则．由题可知：，即，解得．6．A．【解析】，．7．D．【解析】设是三角形边的高，，所以，即点到直线的距离为定值，所以点在以直线为轴，以为底面半径的圆柱侧上，直线与平面既不平行也不垂直，所以点的轨迹是平面上的一个椭圆，其中只有一部分在正方形内．8．B．【解析】由题可知：的定义域为，且，则为偶函数，，当时，，在上单调递增．又由所以，，故．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．请把正确选项在答题上中的相应位置涂黑．题号9101112答案ABCBCBCDBC9．ABC．【解析】中，为斜边的中点，所以，故A正确；设，，则有，，所以，所以，故B正确．，，故C正确；当且仅当为椭圆右顶点，此时，，不构成三角形，故D错误．10．BC．【解析】由题知的纵坐标为，又，所以，，所以，所以的周期，所以，，故B正确；所以，故C正确；，故A错误，将代入函数解析式可得：，（），故D错误．11．BCD．【解析】圆的半径是2，所以直线过圆心，即，故B正确；又，均为正数，所以由均值不等式，故C正确；又，当且仅当，即，即时，等号成立，故D正确．12．BC．【解析】三棱锥可置于棱长为2的正方体内，正方体的上底面的中点即为此三棱锥的顶点，如下图的，分别设，为、外接圆圆心，所以A错；因为，则是的中点．在等腰三角形中，，设其外接圆半径为（如图），则，得：，解得，．所以，B对；设三棱锥外接球半径为在中，，，所以，解得．从而．所以C对；计算可得D错．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案6；131613．．【解析】，所以．14．6；13．【解析】因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以．15．16．【解析】（1）若产品1在机构，则情况数为；（2）若产品1在机构则情况数为，所以总共16种情况．16．．【解析】由，得，由，得．设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，则切线方程分别为：，：；若两切线重合，则有，可得：；所以，记，则，当时，，单调递减；当时，，单调递减；所以，所以的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：若选择①：在中，有，则由题可得：又，所以，．又，所以．因为，所以，．由余弦定理可得：，又，所以，当时，，说明：研究时，若换成，过程完全相同，请参考上面过程给分．若选择②：在中，有，则由题可得：，解得或（舍去），又，所以．（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为代入上式得又，所以，．又，所以．（剩下同①）18．解：（1）证明：连接交于点，连接．因为四边形为正方形，所以为中点，又为中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解法一：如图，过作，垂足为，连接．因为四边形为正方形，所以．因为，平面，平面，所以，．因为，，，平面，所以，平面．因为，平面，所以平面平面．因为，平面平面，，所以，平面．为斜线在平面内的射影．所以，为直线与平面所成的角．在中，有，得．因为，所以平面，在中，有．所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．（2）解法二：如图，过作，垂足为，因为，四边形为正方形，所以．因为，平面，平面，所以，．因为，，，平面，所以，平面．因为，平面，所以平面平面．因为，平面平面，，所以，平面．过点在平面内作直线，因为，平面，所以，．以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．在中，有，易得，则．则有，，所以显然轴平面，则平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，．则所以直线与平面所成角的正弦值为．说明：若其它方法建系的，参照上面过程给分．19．解：（1）由题可得，所以当为偶数时，，解得；当为奇数时，，此时无整数解．综上可得：，．说明：若直接由，得到，扣1分．①时，．②当时，，当时也成立．综上可得：所以，（）（2）①②两式相减得：则．则．20．解：（1）由题意得：，，，由正态分布曲线的对称性得，解得．（2）由题意得，获赠话费的的所有可能取值为20，40，50，70，100，，，，．的分布列为：20405070100元．所以的数学期望为41.25元．21．解：（1）显然直线的斜率不为0，故可设置的方程为，，所以，．所以．，所以当时，最小，所以，故所求抛物线的方程为．说明：若直线根据通径为最短的焦点弦，得到，扣2分．（2）直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，，．，所以，．．因为，所以，所以，即解得或．若，则直线过点，不符合题意．则有，此时直线的方程为，所以直线过定点．如图，又，所以，所以点在以为直径的圆上，所以．此时．22．解：（1）由题知定义域为，，由解得，得的增区间为，由解得，得的减区间为，所以的增区间为，减区间为．（2）解法一：当时，，，时，，，，，由（1）知在上递增，所以时，．所以方程有两个不等实数根，的两根为，，设，故时，，，增区间为，减区间为，如图，当方程有两个解时，当且仅当不妨设，，，设，则要证，即证，即证，即证，因为，所以为增函数．所以时，恒成立，即．所以时，成立．解法二：当时，，，时，，，，，由（