2025-2026学年上海市青浦区平和双语学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市青浦区平和双语学校八年级（上）期中数学试卷考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（每题4分）1．如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的对应中线的比是（）A． B． C． D．2．在中，，，，那么的值为A． B． C． D．3．在△中，点，分别在边，上，，那么下列条件中能够判断的是（）A． B． C． D．4．已知，下列判断正确的是A．与的方向相同 B． C．与不平行 D．5．已知在中，，分别交边、于、，且，则与的面积比是A． B． C． D．6．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．（3分）已知，那么．8．（3分）化简：．9．（3分）在一张比例尺为的地图上，、两地之间的距离是20厘米，那么、两地之间的实际距离为千米．10．（3分）已知线段，是的黄金分割点，且，那么．11．（3分）已知线段厘米，厘米，线段是线段和线段的比例中项，线段的长度等于厘米．12．（3分）在中，，如果，，那么．13．（3分）如图，，，，，则．14．（3分）如图，在△中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则．15．（3分）如图，在△中，，，垂足为点，若，，则．16．（3分）如图，已知是的角平分线，，点在上，，，那么．17．（3分）如图，在等边△中，为上一点，为上一点，，若，，求△的边长．18．（3分）如图，在△中，，，，点是边的中点，将△绕着点顺时针旋转后，使点与点重合，点落到点处，点落到点处，得到△，且交于点，那么线段的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分0分）19．计算：．20．如图，在梯形中，，与交于点，．设．（1）（用向量表示）；（2）若，在图中求作．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．21．已知，如图，，，，．（1）求的长；（2）如果，，试求的长．22．材料阅读：光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．问题解答：如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若，，三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：（1）求的正弦值；（2）求的长．（结果精确到，参考数据：，23．已知在梯形中，，．（1）求证：△△；（2）联结，若，求证：．24．如图，在平面直角坐标系中，已知点和点，点．（1）求线段的长度；（2）联结线段、，求的值；（3）设线段与轴交于点，如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．25．如图1，在△中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点（点与点不重合），且．（1）当时，如图2，联结，求的余切值；（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）联结，若△为等腰三角形，求的长．

参考答案一、选择题（每题4分）1．如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的对应中线的比是（）A． B． C． D．解：两个相似三角形的相似比是，两个相似三角形对应中线的比等于相似比，故选：．2．在中，，，，那么的值为A． B． C． D．解：在中，，，，则，故选：．3．在△中，点，分别在边，上，，那么下列条件中能够判断的是（）A． B． C． D．解：如图，可假设，则可得，，但若只有，并不能得出线段．故选：．4．已知，下列判断正确的是A．与的方向相同 B． C．与不平行 D．解：因为，、与的方向相同，正确；、，错误；、与平行，错误；、，错误；故选：．5．已知在中，，分别交边、于、，且，则与的面积比是A． B． C． D．解：，，，，与的面积比是：，故选：．6．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为A．1 B．2 C．3 D．4解：①，，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定△△，故①正确；②，，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定△△，故②正确；③，△和△两边对应出比例，但两边的夹角和不一定相等，因此不能判定△△，故③错误；④由，得到，又，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能够判定△△，故④正确．因此正确的个数是3个．故选：．二、填空题7．（3分）已知，那么．解：的两个内项是、1，两个外项是、3，，根据合比定理，知；又上式的两个内项是和4，两个外项是和1，．故答案为：．8．（3分）化简：．解：．故答案为：．9．（3分）在一张比例尺为的地图上，、两地之间的距离是20厘米，那么、两地之间的实际距离为2千米．解：由题意可得：实际距离为厘米，（千米）．故答案为：2．10．（3分）已知线段，是的黄金分割点，且，那么．解：由题意可得：，．故答案为：．11．（3分）已知线段厘米，厘米，线段是线段和线段的比例中项，线段的长度等于4厘米．解：线段是线段和线段的比例中项，，即，解得或（舍去），即线段的长度等于4厘米．故答案为：4．12．（3分）在中，，如果，，那么4．解：如图所示，在中，，，，，则，故答案为：4．13．（3分）如图，，，，，则3．解：，，，，，，即，，故答案为：3．14．（3分）如图，在△中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则9．解：，，是中线，是重心，，，，故答案为：9．15．（3分）如图，在△中，，，垂足为点，若，，则．解：，，，，△△，，即，解得：，，故答案为：．16．（3分）如图，已知是的角平分线，，点在上，，，那么4．解：，（两直线平行，内错角相等），△△，是的角平分线，，（等量代换），，设，△△，（相似三角形对应边成比例），解得，解得或（不符合题意，舍），故答案为：4．17．（3分）如图，在等边△中，为上一点，为上一点，，若，，求△的边长．解：△是等边三角形，，，，，，，即，，△△；，、，，解得，△的边长为9．18．（3分）如图，在△中，，，，点是边的中点，将△绕着点顺时针旋转后，使点与点重合，点落到点处，点落到点处，得到△，且交于点，那么线段的长是．解：，，，，，，△绕着点顺时针旋转后得到△，是的中点，，，，点是的中点，，，，，设，则，由勾股定理得：，，，，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分0分）19．计算：．解：原式．20．如图，在梯形中，，与交于点，．设．（1）（用向量表示）；（2）若，在图中求作．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．解：（1），△△，，，，故答案为：；（2）如图，取中点为，连接，则，为中点，，在△中，，故为表示结论的向量．21．已知，如图，，，，．（1）求的长；（2）如果，，试求的长．解：（1），，，，，，即，解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）；（2）如图，，，，过点作交于点，交于点，四边形和四边形都是平行四边形，，，，△△，，，，，，解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意），．22．材料阅读：光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．问题解答：如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若，，三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：（1）求的正弦值；（2）求的长．（结果精确到，参考数据：，解：（1）在△中，，，，光线从空气进入水中时的折射率为，，，即的正弦值为；（2），，在△中，，设，则，，，解得：，，，答：的长约为．23．已知在梯形中，，．（1）求证：△△；（2）联结，若，求证：．【解答】证明：（1），，，，，△△；（2）由（1）知，△△，，，，，，，△△，，，．24．如图，在平面直角坐标系中，已知点和点，点．（1）求线段的长度；（2）联结线段、，求的值；（3）设线段与轴交于点，如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．解：（1）在平面直角坐标系中，已知点和点，点．；（2）如图，，，，，，，，△是直角三角形，；（3）设直线的表达式为，由题意可得：，解得，设直线的表达式为，令，得，解得，，当△△时，，如图，过点作轴于点，，，，△△，，由（2）知，即，，即，，，；当△△时，，此时点与点重合，；综上所述，点的坐标为或．25．如图1，在△中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点（点与点不重合），且．（1）当时，如图2，联结，求的余切值；（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）联结，若△为等腰三角形，求的长．解