中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用） 4.4 对数函数（讲）（解析版）

4.4对数函数1．对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).2．特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.3．对数函数的图象和性质对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称4.不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．一、对数函数的概念【典例1】给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数，故选:A.【典例2】若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝.【答案】-3【解析】设（且），将代入得.所以，.【典例3】已知对数函数，则．【答案】2【解析】由对数函数的定义，可得，解得．【典例4】若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的定义域是[1，3]，∴，解得．又，且，∴．故函数的定义域是．故选：C.【典例5】函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，，．故选：D．1、下列函数是对数函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.故选D2、若对数函数且）的图象经过点，则实数.【答案】2【解析】将点代入得，解得，故答案为：2.3、若函数是对数函数，则.【答案】5【解析】根据对数函数的定义有，解得，故答案为：5．4、函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函数解析式有意义，需满足解得:.故选：C.5、函数的定义域为_________.【答案】【解析】由题可知，即，解得或.故函数的定义域为.故答案为:.二、对数函数的图像和性质【典例1】函数(且)的图象恒过定点.【答案】【解析】因为函数(且)，令，解得，所以，即函数恒过点.【典例2】函数与函数且的图象大致是（）A．B．C． D．【答案】B【解析】函数f(x)单调递增，且过定点(0，1＋a)，当0＜a＜1时，1＜1＋a＜2，即f(x)与y轴交点纵坐标介于1和2之间，此时过定点(1，0)且在单调递减，没有符合的选项；当a＞1时，1＋a＞2，即f(x)与y轴交点纵坐标大于2，此时g(x)过定点(1，0)且在单调递增，符合的选项为B，故选B.【典例3】设，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数在上单调递增，则，即，所以；因为函数在单调递增，则，所以；因为函数在上单调递减，则，所以，综上，.故选：A.【典例4】不等式的解集为______.【答案】【解析】由，可得，所以，解得：或，不等式的解集为.【典例5】已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性.【答案】；奇函数【解析】解：由解得或，所以的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以为奇函数.【典例6】函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，令，则，在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为，故选：A1、函数曲线恒过定点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为对数函数恒过点，所以函数曲线恒过点.故选：C2、已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因为函数为减函数，所以,又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即,又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D.3、已知，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，故，故选：C4、若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______．【答案】【解析】，，解得或.5、若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1【答案】B【解析】∵函数f（x）＝xln（x）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x）是奇函数，则g（0）＝0，即ln0，则1，则a＝1．故选：B．6、函数