2026届江苏省南通市启东市启东中学数学高二上期末统考试题含解析

2026届江苏省南通市启东市启东中学数学高二上期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是（）A.甲与丙是互斥事件 B.乙与丙是对立事件C.甲与丁是对立事件 D.丙与丁是互斥事件2．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的方程为（）A. B.C. D.3．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（）A. B.C. D.4．已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法错误的是（）A. B.的最小正周期为6C.图象关于直线对称 D.在上单调递减5．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（）A.100 B.15C.80 D.506．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，且对，，且总有，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.7．从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（）A. B.C. D.8．已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（）A. B.C. D.9．设变量，满足约束条件，则的最大值为（）A.1 B.6C.10 D.1310．设变量，满足约束条件则的最小值为（）A.3 B.－3C.2 D.－211．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（）A. B.C. D.12．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在等比数列中，，，则公比________.14．曲线在点处的切线的方程为__________.15．若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是____________16．已知正方体的棱长为6，E为棱的中点，F为棱上的点，且，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面.19．（12分）在等比数列中，是与的等比中项，与的等差中项为6（1）求的通项公式；（2）设，求数列前项和20．（12分）已知数列的前项和为，若.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大22．（10分）设函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断【详解】当第一次取出1，第二次取出4时，甲丙同时发生，不互斥不对立；第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生，但可以同时不发生，不对立，当第一次取出1，第二次取出3时，甲与丁同时发生，不互斥不对立，两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生，但可以同时不发生，因此是互斥不对立故选：D2、C【解析】当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程【详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，点被圆所截得的弦最短，此时，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，故选：C.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求解圆弦长问题的关键3、C【解析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得的值，即可得出直线的斜率.【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，设点、、，联立可得，，，所以，，，，直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，，因为，则，因为，解得，因此，直线的斜率为.故选：C.4、D【解析】根据函数的图象求出，再利用函数的性质结合周期公式逆推即可求解.【详解】因为函数的图象与轴交于点，所以，又，所以，A正确；因为的图象与轴的一个交点为，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期为，B正确；，所以是的一条对称轴，C正确；令，解得，所以函数在，上单调递减，D错误故选：D.5、C【解析】按照比例关系，分层抽取.【详解】由题意可知，所以应当抽取的一般员工人数为.故选：C6、D【解析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，故A不正确；对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；，表示点与点连线的斜率，由图可知，所以D正确，C不正确.故选：D.【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.7、C【解析】列举出所有情况，然后根据两边之和大于第三边数出能构成三角形的情况，进而得到答案.【详解】5个数取3个数的所有情况如下：{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10种情况，而能构成三角形的情况有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3种情况，故所求概率.故选：C.8、A【解析】分别求出，即可得到答案.【详解】直线经过定点.因为，所以,所以要使直线与线段没有公共点，只需：，即.所以的取值范围是.故选：A9、C【解析】画出约束条件表示的平面区域，将变形为，可得需要截距最小，观察图象，可得过点时截距最小，求出点A坐标，代入目标式即可.【详解】解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分：又，即，要取最大值，则在轴上截距要最小，观察图象可得过点时截距最小，由，得，则.故选：C.10、D【解析】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大，作出不等式组表示的可行域，数形结合即得解【详解】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移该直线，当直线经过时，在轴上的截距最大，最小，此时，故选：D11、C【解析】设，，根据双曲线的定义可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得关于，的方程，再由离心率公式即可求解.【详解】设，则，由双曲线的定义可得：，，因为点在以为直径的圆上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以双曲线离心率为，故选：C.第II卷（非选择题12、B【解析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.【详解】，所以实数组故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】因为等比数列中,故,又,故,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用,需要注意分析项与公比的正负,属于基础题.14、【解析】求出导函数，得切线斜率后可得切线方程【详解】，∴切线斜率为，切线方程为故答案为：15、；【解析】可化简曲线的方程为，作出其图形，数形结合求临界值即可求解.【详解】由可得，所以曲线为以为圆心，的下半圆，作出图形如图：当直线过点时，，可得，当直线与半圆相切时，则圆心到直线的距离，可得：或（舍），若直线与曲线没有公共点，由图知：或，所以实数的取值范围是：，故答案为：16、18【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，所以，故答案为：18三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），【解析】(1)根据导数的几何意义即可求解；(2)根据导数的正负判断f(x)的单调性，根据其单调性即可求最大值和最小值.【小问1详解】，切点为(1，－2)，∵，∴切线斜率，切线方程为；【小问2详解】令，解得，1200极大值极小值2∵，，∴当时，，.18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由直棱柱的性质可得，由勾股定理可得，由线面垂直判定定理即可得结果；（2）取的中点，连结和，通过线线平行得到面面，进而得结果.【详解】（1）∵直三棱柱，∴面，∴，又∵，，，∴，∴，∵，∴面，∴（2）取的中点，连结和，∵，且，∴四边形为平行四边形，∴，面，∴面，∵，且，∴四边形平行四边形，∴，面，∴面，∵，∴面面，∴平面.【点睛】方法点睛：线面平行常见的证明方法：（1）通过构造相似三角形（三角形中位线），得到线线平行；（2）通过构造平行四边形得到线线平行；（3）通过线面平行得到面面平行，再得线面平行.19、（1）；（2）.【解析】(1)设出等比数列的公比，根据给定条件列出方程求解作答.(2)由(1)的结论求出，再利用分组求和法计算作答.【小问1详解】设等比数列公比为，依题意，，即，解得，所以的通项公式【小问2详解】由(1)知，，.20、（1）（2）【解析】(1)根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式；(2)根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加上一个等比数列得到，要求其前项和，采用分组求和法结合公式法可求出前项和【小问1详解】当时，，解得；当时，，∴，化简得，∴是首项为1，公比为2的等比数列，∴，因此的通项公式为.【小问2详解】由（1）得，∴，∴，∴21、（1）V（r）=（300r﹣4r3）（0，5）（2）见解析【解析】（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元∴蓄水池的总建造成本为元所以即∴∴又由可得故函数的定义域为（2）由（1）中，可