2.3二次函数与一元二次方程、不等式【错题档案】（我的错题本）人教A必修一

专题2.3

二次函数与一元二次方程、不等式（纠错档案）1.解不等式：.2.若不等式对恒成立，求实数的取值范围．3.解关于的不等式．4.不等式的解集为A．C．B．D．5.任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（）A．

B．

C．

D．类型一：系数未化正【错因解读】本类题的错误在于没有将二次项化为正数或未将配方后的未知量的系数未化为正数.【典例引导】解不等式：.【错误解法】由题意，在中，，解得：或.【正确解法】由题意，在中，，解得：.【补救措施】本题的错误在于没有将二次项的系数化为正数.总结：在求解一元二次不等式时需要先确认“一正”，非正则代换.【再练一个】（2027届新疆和田高一上期期末）1．不等式的解集为（

）A． B． C． D．类型二：忽略二次项系数可能为0【错因解读】默认不等式为一元二次不等式.【典例引导】若不等式对恒成立，求实数的取值范围．【错误解法】由题意，，在中，，解得：，∴实数的取值范围为.【正确解法】由题意，，在中，当时，原不等式化为成立，所以原不等式恒成立．当时，解得．综上可知，．∴实数的取值范围为．【补救措施】本题的错误在于没有对二次项的系数进行分类讨论，默认不等式是一元二次不等式.总结：解形如类型的不等式的步骤：首先判断二次项系数与0的大小，否则分类讨论，当时，利用不等式性质化为正值，然后若能分解因式，则分解因式，然后判断根的大小，写出解集；若不能分解因式，需判断判别式，若判别式符号不确定，则分三类讨论；在解题中注意三个二次（二次函数、二次方程、二次不等式）之间的联系，同时要树立起函数与方程、分类讨论、数形结合的数学思想方法．【再练一个】2．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．类型三：分类讨论不当【错因解读】在求解不等式时，对二次项的系数分类讨论不全导致.【典例引导】解关于的不等式．【错误解法】由题意，当时，不等式的解集为．当时，不等式化为．当时，原不等式等价于，不等式的解集为或；当时，，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；【正确解法】由题意，当时，不等式的解集为．当时，不等式化为．当时，原不等式等价于，不等式的解集为或；当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【补救措施】本题的错误在于忽视了对根的大小的讨论.总结：1.解本类题容易出现的错误是：（1）认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对时情况的讨论；（2）在不等式两端约去系数时，若，忘记改变不等号的方向；（3）忽视了对根的大小的讨论，特别是对等根的讨论；（4）分类讨论后，没有对结论进行整合．这几点有一个地方出错都会导致结果错误或解题不完整．2.含参数不等式求解的通法是＂定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键＂．注意解完之后要写上：＂综上，原不等式的解集是……＂．3.注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集．4.提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．【再练一个】3．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．类型四：等价转化不当【错因解读】在求解含有二次的不等式时，没有注意根式内大于0，分母不能为0等隐含条件.【典例引导】不等式的解集为A．C．B．D．【错误解法】由题意，不等式等价于，解得：.故选：B.【正确解法】由题意，不等式等价于，解得：.故选：A.【补救措施】本题的错误在于没有注意到分式中分母不能为0.总结：求解含分式不等式时需要确保分母对应的因式不能为0，有根式的还要注意保证根号有意义等隐含条件.【再练一个】4．不等式的解集是（

）A． B．C． D．类型五：混淆恒成立、能成立与恰成立问题【错因解读】没有弄清不同成立情况的区别，将不同的成立问题混淆.【典例引导】任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（）A．

B．

C．

D．【错误解法】由题意，因为对任意，不等式恒成立.所以，其中，设，，因为，所以当时，函数，取最大值，最大值为，所以，故选：D.【正确解法】由题意，因为对任意，不等式恒成立.所以，其中，设，，因为，所以当时，函数，取最小值，最小值为，所以，故选：B.【补救措施】本题的错误在于将恒成立与存在性的能成立混淆.总结：不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题．不等式成立问题的常规处理方式（常应用函数方程思想和＂分离变量法＂转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）.（1）恒成立问题若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上；若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上．（2）能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上的．（3）恰成立问题若不等式在区间上恰成立，则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立，则等价于不等式的解集为．【再练一个】5．已知存在，使得成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．（易错点：系数未化为正）6．不等式的解集为（

）A． B．或 C． D．（易错点：忽略二次项系数可能为0）（2027届陕西渭南瑞泉中学高一上期第一次教学质量检测）7．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．（易错点：分类讨论不当）（2027届广东汕头金平高一上期教学质量监测）8．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（

）A． B． C． D．（易错点：等价转化不当）9．不等式的解集为（

）A． B． C． D．（易错点：混淆恒成立、能成立与恰成立问题）（2027届江苏丹阳高中高一预备年级下期第一次阶段考试（3月））10．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．《2.3二次函数与一元二次方程、不等式【错题档案】（我的错题本）人教A必修一》参考答案：1．B【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可.【详解】因为，所以.所以，所以或.所以不等式的解集为.故选：B.2．A【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意；当，由不等式的解集为，则，，解得，即的取值范围为．故选：A．3．B【详解】当时，解得：，不满足条件；故，关于的不等式可得，所以，即，方程的两根为，当时，不等式可化为，，解集为：，不满足条件；当时，不等式可化为，当时，则，即，不等式的解集为：，要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；当时，则，即，不等式的解集为空集，当时，则，即，不等式的解集为，要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，故实数的取值范围是：.故选：B.4．C【分析】根据条件，利用分式不等式的解法，即可求解.【详解】由，得到，整理得到，等价于且，解得，故选：C.5．C【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解.【详解】依题意，令，则，其图象开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，则，因为存在，使得成立，所以，即，即，解得，所以的取值范围是，故选：C.6．D【分析】先整理不等式为二次项系数为正的情况，然后结合二次函数图像与判别式【详解】不等式等价于，二次函数图象开口向上，，所以不等式的解集为全体实数，故选：D.7．C【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可.【详解】当时，不等式，即，，故不等式的解集为，故A可能；当时，，即，当时，的解集为，故D可能；当时，不等式无解；当时，的解集为，故B可能.故选：C8．A【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可.【详解】当时，，此时解集为或，当时，，此时解集为，当时，，此时解集为或，当时，不等式为，此时解集为，当时，，此时解集为，故A正确，B、C、D错误.故选：A.9．A【分析】根据分式不等式解法求解分式