重庆市第一中学2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

重庆市第一中学2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（）A.在上是增函数 B.当时，取得最小值C.当时，取得极大值 D.在上是增函数，在上是减函数2．若，则的最小值为（）A.1 B.2C.3 D.43．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（）A.24 B.18C.12 D.64．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.A.192 B.128C.3 D.15．已知集合A=（）A. B.C.或 D.6．直线的方向向量为（）A. B.C. D.7．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()A. B.C. D.8．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（）A.6 B.36C.10 D.9．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）A.1 B.C.－1 D.-210．已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有，若，则（）A.2019 B.2020C.2021 D.202211．在中，，则边的长等于（）A. B.C. D.212．已知P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点且，则的面积是（）A. B.2C. D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线：上有两动点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值是___________.14．在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为阅读上面材料，并解决下列问题：给出平面的方程，经过点的直线的方程为，则直线l与平面所成角的余弦值为___________.15．已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积16．已知等差数列中，，则=_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已如空间直角标系中，点都在平面内，求实数y的值18．（12分）已知等比数列满足，（1）求数列通项公式；（2）记，求数列的前n项和19．（12分）已知椭圆：经过点，设右焦点F，椭圆上存在点Q，使QF垂直于x轴且.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于D，G两点.是否存在直线使得以DG为直径的圆过点E（-1，0）?若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.20．（12分）已知定义域为的函数是奇函数，其中为指数函数且的图象过点（1）求的表达式；（2）若对任意的．不等式恒成立，求实数的取值范围；21．（12分）已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题：关于的方程无实根（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，"”为真命题，求实数的取值范围22．（10分）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是椭圆C上位于第二象限的任一点，直线l是的外角平分线，过左焦点作l的垂线，垂足为N，延长交直线于点M，（其中O为坐标原点），椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点T在线段AB上，且，点B关于原点的对称点为R，求面积的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.【详解】根据图象知：当，时，函数单调递减；当，时，函数单调递增.所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；故当时，取得极小值，选项C不正确；当时，不是取得最小值，选项B不正确；故选：D.2、D【解析】由基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当时，取等号.即所求最小值.故选：D3、C【解析】根据题意，结合计数原理中的分步计算，以及排列组合公式，即可求解.【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为.故选：C.4、A【解析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.【详解】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，所以，解得，所以这个塔的最底层有盏灯.故选：A.5、A【解析】先求出集合，再根据集合的交集运算，即可求出结果.【详解】因为集合，所以.故选：A.6、D【解析】根据直线方程，求得斜率k，分析即可得直线的方向向量.【详解】直线变形可得，所以直线的斜率，所以向量为直线的一个方向向量，因为，所以向量为直线的方向向量，故选：D7、C【解析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围【详解】，，当且仅当时取等号，故故选：C8、B【解析】由公切线条数得两圆外切，由此可得的关系，从而点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记，由求得的最小值，平方后即得结论【详解】圆标准方程为，，半径为，圆标准方程为，，半径为，两圆有三条公切线，则两圆外切，所以，即，点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记，，所以，所以的最小值为故选：B9、C【解析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，∴，∴当时，取得最小值故选：C【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示10、C【解析】先令代入中，求得，再根据递推式得到，将与已知相减，可判断数列是等比数列，进而确定，求得答案.【详解】因为，令，则，又，故，即，故数列是等比数列，则，所以，所以，故选：C.11、A【解析】由余弦定理求解【详解】由余弦定理，得，即，解得（负值舍去）故选：A12、A【解析】设，先求出m、n，再利用面积公式即可求解.【详解】在中，设，则,解得：.因为，所以，所以的面积是.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】设抛物线的焦点为，由，结合抛物线的定义可得线段的中点到轴距离的最小值.【详解】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，则,∴，当且仅当即三点共线时等号成立，∴线段的中点到轴距离的最小值是2，故答案为：2.14、##【解析】根据材料结合已知条件求得平面的法向量以及直线的方向向量，即可用向量法求得线面角.【详解】因为平面的方程，不妨令，则，故其过点,设其法向量为，根据题意则，即，又平面的方程为，则，不妨取，则，则平面的法向量；经过点的直线的方程为，不妨取，则，则该直线过点，则直线的方向向量.设直线与平面所成的角为，则.又，故，即直线l与平面所成角的余弦值为.故答案为：.15、（1）最小正周期，，；（2）【解析】（1）根据降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1），所以的最小正周期令，，解得，，所以的单调递增区间为，（2）因为，所以，即，又，所以，所以或，或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意，所以，，，，此时为等腰三角形，所以，所以，即的面积为16、4【解析】由等差数列的通项公式求出公差，进而求出.【详解】设该等差数列的公差为，则，所以.故答案为：4.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】方法一：根据平面向量基本定理即可解出；方法二：先求出平面的一个法向量，再根据即可求出【详解】方法一：，由题意知A，B，C，P四点共面，则存在实数，满足∵，∴∴，而，∴方法二：，设平面的一个法向量为，则，∴取，则，∵，∴，解得18、（1）（2）【解析】（1）通过基本量列方程组可得；（2）由裂项相消法可解【小问1详解】由题意得解得，所以数列的通项公式为【小问2详解】由（1）知，则所以19、（1）；（2）存在，或.【解析】（1）根据题意，列出的方程组，求得，则椭圆方程得解；（2）对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，转化题意为，求解即可.小问1详解】由题意，得，设，将代入椭圆方程，得，所以，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】当斜率不存在时，即时，，为椭圆短轴两端点，则以为直径的圆为，恒过点，满足题意；当斜率存在时，设，，，由得：，，解得：，，若以为直径的圆过点，则，即，又，，，解得：，满足，即，此时直线的方程为综上，存在直线使得以为直径的圆过点，的方程为或20、（1）；（2）.【解析】（1）设（且），因为的图象过点，求得a的值，再根据函数f(x)是奇函数，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，检验是奇函数即可；（2）将分式分离常数后，利用指数函数的性质可以判定f(x)在R上单调递减，进而结合奇函数的性质将不等式转化为二次不等式，根据二次函数的图象和性质，求得对于对任意的恒成立时a的取值范围即可.【详解】解：（1）由题意，设（且），因为的图象过点，可得，解得，即，所以，又因为为上的奇函数，可得，即，解得，经检验，符合，所以（2）由函数，可得在上单调递减，又因为为奇函数，所以，所以，即，又因为对任意的，不等式恒成立，令，即对任意的恒成立，可得，即，解得，所以实数的取值范围为【点睛】本题考查函数的奇偶性，指数函数及其性质和函数不等式恒成立问题，关键是利用函数的单调性和奇偶性将不等式转化为二次不等式在闭区间上恒成立问题，然后利用二次函数的图象转化为二次函数的端点值满足的条件.另外注意，第一问中，利用特值f(0)=0求得解析式后，要注意检验对于任意的实数x，f(x)=-f(-x)恒成立.21、（1）；（2）.【解析】(1)由双曲线标准方程的性质得，即可求m的范围；(2)当q命题为真时，方程无实根，判别式小于零，求得m的范围，再由复合命题的真假得和一真一假，列出不等式组运算可得解【小问1详解】∵方程表示焦点在轴上的双曲线，∴，解得【小问2详解】若为真命题，则，解得，∵“”为假命题，”为真命题，∴一真一假当真假时，“”且“或”，则；当假真时，，则综上所述，实数的取值范围是22、（1）（2）【解析】（1）根据题意可得到的值，结合椭圆的离心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，进一步推得，于是设直线方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求得弦长，表示出三角形AOB的面积，利用换元法结合二次函数