2025-2026学年 4.7 相似三角形的性质同步练习北师大版数学九年级上学期（含答案）

/4.7相似三角形的性质第1课时相似三角形中对应线段的比基础夯实知识点 相似三角形对应线段的比1.转移教材变式「2025河北张家口桥西期中」已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它们的对应角平分线,若ACA'C'=A.2 B.3 C.6 D.92.跨理域学科教材变式「2025河南南阳期中」为了证明光小孔成像素养P108习题T2沿直线传播这一性质，大约在二千四百年前，我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，解释了小孔成倒像的原理.如图所示的是小孔成像原理的示意图，AB为蜡烛，CD为蜡烛AB在暗盒中所成的像，若6cm长的蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm,AB与小孔O之间的距离为18cm，则小孔O到像CD的距离为()A.1cm B.2cmC.3cm D.4cm3.「2025北京顺义三中期中」图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为()A.0.4 B.0.35 C.0.3 D.0.64.「2025上海金山期中」如果两个相似三角形对应边上的高之比是4∶9，那么它们的对应中线之比等于5.新考虑作图求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求：(1)根据给出的△ABC与∠A'(∠A'=∠A),以A'B'为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不写作法,保留作图痕迹.(2)在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.6.如图,△ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,D,D'分别是BC,B'C'的三等分点,且CD=2BD,C'D'=2B'D',连接AD,A'D'.求证：AD7.「2025山东济南月考，窗」图1是装满了液体的高脚杯(数据如图)，用去部分液体后，放在水平的桌面上，如图2所示，此时液面距离杯口的距离h为()A.⁸/5cm B.2cm C.125 cm 8.「2024江西赣州大余二模，☆☆」如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住.已知AF⊥BC,AF=3米,BC=10米,则该宣传栏后线段DE上(含端点)共有棵树.(不计宣传栏的厚度)9.三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上,且PN与AD交于点E.(1)求加工成的正方形零件的边长.(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图2，此时，这个矩形零件的两条相邻边长分别为多少?请计算.素养提优10.新疆唯力当∠BAE和∠B'A'E'分别是△ABC和△A'B'C'的外角时,定义:若AD,A'D'分别是∠BAE和∠B'A'E'的平分线,且交CB,C'B'的延长线于D,D',则称AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的外角平分线段.我们知道：两个相似三角形对应边上的高、中线和对应的角平分线之比都等于相似比，那么两个相似三角形对应的外角平分线段之比是否等于相似比呢?例如：如图，已知△ABC∽△A'B'C',且△ABC与△A'B'C'的相似比为k,AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的外角平分线段，那么ADA相似三角形周长比、面积比的性质基础夯实知识点1相似三角形的周长比和面积比1.「2024重庆中考B卷」若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是 ()A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:162.「2025河北武邑期中」若△ABC∽△DEF,AB=1,DE=2,则△ABC与△DEF的周长比是 ()A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:23.「2024河北石家庄模拟」如图所示,△ABC中,DE∥BC,若AD:DB=1:2,则下列结论中正确的是()AC.△ADE的面积△ABC的面积=13 D.△ADE的周长△ABC的周长4.「2024云南中考」如图,AB与CD交于点O,且AC∥BD.若OA+OC+5.如图所示,平行四边形ABCD中,E是BC边上一点,且BE=EC,BD,AE相交于F点.(1)求△BEF与△AFD的周长之比.(2)若S△BEF知识点2相似多边形的性质6.如图,在四边形ABCD中,E,F,G分别是BA,BD,BC上的点,EF∥AD,FG∥DC,且AEBE=12A.4:3 B.3:2 C.4:1 D.2:17.「2024陕西咸阳武功期末」四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',AB:A'B'=1:4,，若四边形ABCD的周长为3,则四边形A'B'C'D'的周长为.能力提升8.如图，在正方形网格中，A，B,C,D是网格线的交点,AC与BD相交于点O,则△ABO的周长与△CDO的周长之比为 ()A.1:2 B.2 :2 C.1:4 D.2 :49.「2025山东枣庄市中期中,」如图,△ABC∽△ADE,S△A.6 B.22 C.3210.「2025四川威远新场中学期中,☆☆」如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE:S△COA=4:49,A.23 B.25 C.13 11.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF,已知四边形BFED是平行四边形，DE(1)若AB=8,求线段AD的长.(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.素养提优12.新课标的如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，ts后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为Scm².(1)当t=3时,求S的值.(2)当t=5时,求S的值.13.新应用意识「2025山西长治壶关期中」阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心.(1)特例感知：如图a，已知边长为2的等边△ABC的重心为点O,求△OBC与△ABC的面积.(2)性质探究：如图b，已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA(3)性质应用：如图c，在正方形ABCD中，点E是CD的中点,连接BE交对角线AC于点M.①若正方形ABCD的边长为4,求EM的长度；②若S△7相似三角形的性质第1课时相似三角形中对应线段的比1.C∵△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它们的对应角平分线，∴AC:A'C'=BD:B'D',∵AC2.C设小孔O到像CD的距离为hcm,由题意可知△ABO与△CDO相似,∵6cm长的蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm，∴183.A∵AB∥CD,∴△COD∽△BOA,∴CD4答案4.9解析：两个相似三角形对应边上的高之比是4：9，..这两个相似三角形的相似比为4∶9，∴它们的对应中线之比等于4：9.故答案为4：9.5解析(1)如图所示,△A'B'C'即为所求.(2)(答案不唯一)已知:如图,△ABC∽△A'B'C',A'B'证明:∵D是AB的中点,D'是A'B'的中点,∵△ABC△6.证明∵△ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,∴∵CD=2BD,C'D'=2B'D',∴∵∠ABD=∠A'B'D',∴△ABD∽△A'B'D',∴能力提升7.A如图,过O作ON⊥CD于N,交AB于M,∵CD∥AB,∴OM⊥AB,⋅∴··CD∥AB,∴△CDO∽△ABO,∴OA=OMN,∴答案26解析如图，设AF的延长线交DE于点G，∵BC∥ED,AF⊥BC,∴△ABC∽△ADE,AG⊥DE,⋅AF∴AG=AF+FG=15米,又BC=10米,∴∴DE=50米.∵50÷2=25,∴DE上共有25+1=26棵树，故答案为26.9.解析(1)设正方形PQMN的边长为xmm,则PN=PQ=ED=xmm,∴AE=AD-ED=(80-x)mm,∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,∴PNBC=AE∴加工成的正方形零件的边长是48mm.(2)设PQ=xmm,则PN=2xmm,AE=(80-x)mm,.PN∥BC,∴△APN∽△ABC,∴PNBC=AEAD,..这个矩形零件的两条相邻边长分别为2407mm素养提优10.解析结论:ADA证明:∵.△ABC∽△A'B'C',且△ABC与△A'B'C'的相似比为k，∴∠BAC=∠B'A'C',∠C=∠C',AB:A'B'=k,∴∠EAB=∠E'A'B',∵∠ABD=∠BAC+∠C,∠A'B'D'=∠B'A'C'+∠C',∴∠ABD=∠A'B'D',∵AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的外角平分线段,∴∠..∠BAD=∠B'A'D',∴△BAD∽△B'A'D',.AD:A'D'=AB:A'B'=k，即AD第2课时相似三角形周长比、面积比的性质1.D根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方知，若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是1∶16，故选D.2.A.△ABC∽△DEF,∴△ABC与△DEF的相似比头头ABDE3.D∵DE∥BC,..△ADE∽△ABC,∵AD:DB=1∶2,∵AD:AB=1:3,∴△ADE和△ABC的相似比为1∶3，∵周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，∴D中结论正确.故选D.4.答案1解析∵AC∥BD,∴△AOC∽△BOD,根据相似三角形的周长比等于相似比知OA+OC+ACOB5.解析(1)∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴△BEF∽△DAF.∵AD=BC,BE=EC,∴BE=12BC=12(2)由(1)可知△BEF∽△DAF,且相似比为126.B因为AEBE=1因为EF∥AD,所以△BEF∽△BAD,所以BE因为FG∥CD,所以△BFG∽△BDC,所以BFBD=FG由EF∥AD,FG∥CD可知∠A=∠BEF,∠C=∠FGB,∠ADB=∠EFB,∠BDC=∠BFG,所以∠ADC=∠EFG,又∠ABC=∠EBG,所以四边形ABCD∽四边形EBGF,所以7.答案 12解析∵四边形ABCD∽四边形A'B'C能力提升8.A设题图中每个小正方形的边长为1，易知AB=2,CD=2∴△ABO的周长:△CDO的周长=AB∶CD=1∶2.故选A.9.A∵S△10.B∵D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,∴△DOE∽△COA,△DBE∽△ABC,∵S△DOE11.解析(1)因为四边形BFED是平行四边形,所以DE∥BC,所以△ADE∽△ABC.所以AD因为AB=8,所以AD=2.(2)设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S₁,△CEF的面积为S₂.因为DEBC=14,所以S1S=DEBC2=116.因为S素养提优12.解析(1)过P作PE⊥QR于点E,如图.∵在Rt△PQE中，根据勾股定理，得PE当t=3时,QC=3cm.设PQ交CD于点G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴:∴S△QCC(2)当t=5时,点B与点Q重合,CR=3cm,过P作PE⊥BC于点E,设PR与DC交于点M,如图.:PE∥DC,∴△RCM∽△REP.同(1)可求出S698cm1