2025-2026学年 6.2 黄金分割 （同步练习题）苏科版数学九年级下学期（含答案）

/6.2黄金分割同步基础练习题一．选择题1．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（）A．（75+7）cm B．（21﹣75）cmC．（75−7）cm D．（75−2．如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是角平分线，则△DBC的与△ABC的面积之比是（）A．5−22 B．5−23 C．3．如图，在△ABC中，点D是线段BC的黄金分割点（DC＞BD），若△ABD的面积是25−2，则△ABCA．4 B．5+3 C．6 D．254．宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF，DF，作∠DFC的平分线，交AD的延长线于点H，作HG⊥BC，交BC的延长线于点A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH5．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC=5−12AB，②AC=3−52AB，③AB：AC＝ACA．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得b−acA．12 B．54 C．5+17．黄金分割数5−12是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间 C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间8．如图，点O为正五边形ABCDE外接圆的圆心，五边形ABCDE的对角线分别相交于点P，Q，R，M，N．若顶角等于36°的等腰三角形叫做黄金三角形，那么图中共有（）个黄金三角形．A．5 B．10 C．15 D．209．如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是5−12，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、A．5个 B．4个 C．3个 D．2个10．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC=12AC，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点A．BCAB=55C．ECAC=3+二．填空题11．已知宽与长之比为5−12的长方形称为黄金矩形，若某长方形为黄金矩形，它的长为4，则它的宽为12．若点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AP＝2，则AB＝．13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且AC＜BC，若NP＝2cm，则BC的长为cm（结果保留根号）．14．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为5−12≈0.618)．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AC的长为4cm，则AB的长为15．黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，BE＞AE．已知AB为2米，则线段BE的长为米．（结果保留根号）16．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为8cm，四个黄金分割点组成的正方形的边长为．三．解答题17．在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）18．如图，点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3：S2的值．19．（1）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比ACAB（2）如图所示，在（1）的条件下，取线段AC的黄金分割点C1（AC1＞CC1），判断点C1是否为线段AB的另一黄金分割点，并说明理由．（3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段AC1的黄金分割点C2（AC2＞C2C1），并且AB＝1，试用5−12的正整数次幂的形式表示线段BC，CC1，C1C（4）已知(5−12)20．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法：第一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．第二：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．（1）请问图中∠1、∠2和∠3有什么关系？证明你的结论．（2）在第（1）题图中，延长BN交AD于G，过G点作GH⊥BC于点H，得出一个以DG为宽的黄金矩形GHCD（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为5−12），若已知AB＝4，求21．再读教材：宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图④中的黄金矩形是：．（3）请写出图④中的一个黄金矩形，说明理由．

参考答案一．选择题题号12345678910答案ACDCCDBDCC二．填空题11．2512．5+113．(514．（2515．(516．(85三．解答17．解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99（厘米），设需要穿的高跟鞋为y厘米，则根据黄金分割定义，得99+y解得：y≈8，经检验y≈8是原方程的根，答：她应该选择大约8厘米的高跟鞋．18．解：如图，设AB＝1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF=5∴BE＝FH＝AB﹣AE=3−∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（5−12×=5故答案为：5−119．解：（1）设AB＝1，AC＝x，则有BC＝1﹣x，∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴BCAC∴AC2＝BC•AB，∴x2＝（1﹣x）×1整理得：x2+x﹣1＝0，解得x1=−1+52，x∴AC=−1+∴ACAB（2）点C1是线段AB的另一黄金分割点，理由如下：∵点C1是线段AC的黄金分割点（AC1＞CC1），∴CC∴AC1=5−12AC＝（5∴BC1＝AB﹣AC1＝1﹣（5−12）2＝1∴BC∴点C1是线段AB的另一黄金分割点．（3）∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴BCAC∵AB＝1，∴AC=−1+BC=5−12AC＝（5∵点C1是线段AC的黄金分割点（AC1＞CC1），∴CC∴AC1=5−12AC＝（5CC1=5−12AC1＝（5∵点C2是线段AC1的黄金分割点（AC2＞C2C1），∴C1∴C2A＝（5−12）C1C2=5−12AC2＝（5∴线段BC，CC1，C1C2的长度为：（5−12）2，（5−12）3，（（4）由以上证明可得以下规律：BC＝AC1，CC1＝AC2，C1C2＝AC3，…，∁nCn+1＝ACn+2（n为正整数）．CC1＝（5−12）C1C2＝（5−12）∁nCn+1＝（5−12）n+3（∴(＝BC+CC1+C1C2+C2C3+…+C10C11＝BC11＝AB﹣AC11＝AB﹣C9C10＝1﹣（5−12＝1﹣[（5−12）2＝1﹣（3−52＝1﹣[（3−52）2＝1﹣（7−352＝1﹣（7−352）2×（＝1﹣（47−2152）×（＝1﹣（161﹣725）＝725−故答案为：725−20．解：（1）如图，连接AN，由折叠可得：∠1＝∠2，AB＝NB，EF垂直平分AB，∴NA＝NB，∴AB＝NA＝NB，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN＝60°，∴∠1＝∠2＝30°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠3＝∠ABC﹣∠NBC＝90°﹣60°＝30°；∴∠1＝∠2＝∠3；（2）如图：∵ABCD是矩形纸片，GH⊥BC，∴AB＝GH＝DC＝4，∵黄金矩形GHCD以DG为宽，GH＝4，