安徽省淮北市相山区师范大学附属实验中学2026届高二数学第一学期期末检测试题含解析

安徽省淮北市相山区师范大学附属实验中学2026届高二数学第一学期期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线上一点到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为（）A.3 B.C. D.2．在正项等比数列中，，，则（）A27 B.64C.81 D.2563．已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线与椭圆相交于A、B两点.若，点P到直线l的距离不小于，则椭圆C离心率的取值范围为（）A. B.C. D.4．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. B.C. D.5．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第十层球的个数为（）A.45 B.55C.90 D.1106．已知两个向量，，且，则的值为（）A.-2 B.2C.10 D.-107．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是A. B.C. D.8．如图，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，且，点到右准线的距离为，则椭圆方程为（）A. B.C. D.9．两个圆和的位置是关系是（）A.相离 B.外切C.相交 D.内含10．等差数列x，，，…的第四项为()A.5 B.6C.7 D.811．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（）A.100 B.C.300 D.40012．若抛物线的焦点与椭圆的下焦点重合，则m的值为（）A.4 B.2C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆心在x轴上且过点的一个圆的标准方程可以是______14．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________15．已知椭圆，A，B是椭圆C上的两个不同的点，设，若，则直线AB的方程为______16．求值______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4（1）求抛物线的方程；（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）18．（12分）在中，，，为边上一点，且（1）求；（2）若，求19．（12分）已知首项为1的等比数列，满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和20．（12分）已知函数的图像在处的切线斜率为，且时，有极值.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.21．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组（单位：分），得到如下的频率分布直方图（1）求图中的值，估计此次竞赛活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖22．（10分）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.已知，且（只需填序号）.（1）求的值；（2）求展开式中的奇数次幂的项的系数之和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先由已知结合抛物线的定义求出，从而可得抛物线的准线方程，则可求出准线l与两条渐近线的交点分别为，然后由题意可得，进而可求出双曲线的离心率详解】依题意，抛物线准线，由抛物线定义知，解得，则准线，双曲线C的两条渐近线为，于是得准线l与两条渐近线的交点分别为，原点为O，则面积，双曲线C的半焦距为c，离心率为e，则有，解得故选：C2、C【解析】根据等比数列的通项公式求出公比，进而求得答案.【详解】设的公比为，则（负值舍去），所以.故选：C.3、D【解析】设椭圆的左焦点为，由题可得，由点P到直线l的距离不小于可得，进而可求的范围，即可得出离心率范围.【详解】设椭圆的左焦点为，P为短轴的上端点，连接，如图所示：由椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，则，又，∴四边形为平行四边形，∴，又，解得：，点P到直线l距离：，解得：，即，∴，∴.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是由椭圆定义得出，再根据已知条件得出.4、B【解析】根据双曲线标准方程直接判断.【详解】方程即为，由方程表示双曲线，可得，所以，，所以虚轴长为，故选：B.5、B【解析】根据题意，发现规律并将规律表达出来，第层有个球.【详解】根据规律，可以得知：第一层有个球；第二层有个球；第三层有个球，则根据规律可知：第层有个球设第层的小球个数为，则有：故第十层球的个数为：故选：6、C【解析】根据向量共线可得满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项.【详解】因为，故存在常数，使得，所以，故，所以，故选：C.7、A【解析】如图：如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点．而在小圆中，圆心角（是小圆与的交点）恰好等于，则，而点与点其实是同一个点在不同时刻的位置，则可知点与点是同一个点在不同时刻的位置．由于的任意性，可知点的轨迹是大圆水平的这条直径．类似的可知点的轨迹是大圆竖直的这条直径.故选A.8、A【解析】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，求出点的坐标，根据可得出，可得出，，结合已知条件求得的值，可得出、的值，即可得出椭圆的方程.【详解】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，由图可知，点第一象限，将代入椭圆方程得，得，所以，点，易知点、，，，因为，则，得，可得，则，点到右准线的距离为为，则，，因此，椭圆的方程为.故选：A.9、C【解析】根据圆的方程得出两圆的圆心和半径，再得出圆心距离与两圆的半径的关系，可得选项.【详解】圆的圆心为，半径，的圆心为，半径，则，所以两圆的位置是关系是相交，故选：C.【点睛】本题考查两圆的位置关系，关键在于运用判定两圆的位置关系一般利用几何法.即比较圆心之间的距离与半径之和、之差的大小关系，属于基础题.10、A【解析】根据等差数列的定义求出x，求出公差，即可求出第四项.【详解】由题可知，等差数列公差d＝(x＋2)－x＝2，故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，故第四项为－1＋(4－1)×2＝5.故选：A.11、B【解析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出【详解】设大圆锥的高为，所以，解得故故选：B【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题12、D【解析】求出椭圆的下焦点，即抛物线的焦点，即可得解.【详解】解：椭圆的下焦点为，即为抛物线焦点，∴，∴.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】确定x轴上一个点做圆心，求出半径，再写出圆的标准方程即可.【详解】以x轴上的点为圆心，则半径，所以圆的标准方程为：.故答案为：14、相交【解析】由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1<<5，所以两圆的位置关系为相交15、【解析】由已知可得为的中点，再由点差法求所在直线的斜率，即可求得直线的方程【详解】由，可得为的中点，且在椭圆内，设，，，，则，，，则，即所在直线的斜率为直线的方程为，即故答案为：16、【解析】将原式子变形为：，将代入变形后的式子得到结果即可.【详解】将代入变形后的式子得到结果为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得，从而可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，利用弦长公式，结合韦达定理可得的值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得，从而可得结果.【详解】（1）由抛物线的定义得到准线的距离都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以抛物线的方程为y2＝4x（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，则，y1y2＝-4，所以又点O到直线l的距离，所以，解得，即【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题18、（1）；（2）【解析】（1）在△中，由余弦定理，即可求.（2）在中，由正弦定理，即可求.【详解】（1）在△中，，，，由余弦定理得：，∴（2）在中，，，，由正弦定理得：，即，∴19、（1）（2）【解析】（1）根据已知条件求得数列的公比，由此求得.（2）利用错位相减求和法求得.【小问1详解】设等比数列的公比为，由，可得.故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以【小问2详解】由（1）得，，①，②①②，得所以20、（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（1）由题得①，②，解方程组即得解；（2）令解得或，再列表得解.【小问1详解】解：求导得，因为在出的切线斜率为，则，即①因为时，有极值，则.即②由①②联立得，所以.【小问2详解】解：由（1），令解得或，列表如下：极大值极小值所以，在［－3，2］上的最大值为，最小值为.21、（1），中位数为；（2）得分的平均值为，估计有260名学生获奖.【解析】(1)根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1计算得值；再由在中位数两侧所对小矩形面积相等即可计算得解.(2)由频率分布直方图求平均数的方法求出得分平均值即可估计；再求出不低于平均分的频率即可估计获奖人数.【小问1详解】由频率分布直方图知：，解得，设此次竞赛活动学生得分的中位数为，因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，从而可得，由得：，所以，估计此次竞赛活动学生得分的中位数为.【小问2详解】由频率分布直方图及(1)知：数据落在，，，的频率分别为，，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，则，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为，在参赛的名学生中估计有260