高中数学北师大版选修2-1第一章4逻辑联结词“且”“或”“非”

§4逻辑联结词“且”“或”“非”学习目标1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p或q”“p且q”命题的真假规律(重点).2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的綈p命题(重、难点).知识点一“且”(1)定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p且q.(2)命题p且q的真假判定pqp且q真真真真假假假真假假假假(3)逻辑联结词“且”与集合中的“交集”的含义相同，可以用“且”来定义集合A与B的交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.知识点二“或”(1)定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p或q.(2)命题p或q的真假判定pqp或q真真真真假真假真真假假假(3)逻辑联结词“或”与集合中的“并集”含义相同，可以用“或”来定义集合A与B的并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.【预习评价】(正确的打√，错误的打×)(1)48是16与12的公倍数.()(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根.()(3)相似三角形的周长相等或对应角相等.()提示(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：48是16的倍数，是真命题；q：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题.(2)这个命题是“綈p”的形式，其中p：方程x2＋x＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x2＋x＋3＝0没有实数根”是真命题.(3)这个命题是“p∨q”的形式.其中p：相似三角形的周长相等，是假命题；q：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题.答案(1)√(2)√(3)√知识点三“非”(1)定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作綈p，读作非p.(2)命题綈p的真假判定p綈p真假假真(3)逻辑联结词“非”与集合中的“补集”含义相同，可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}.(4)命题“p且q”与“p或q”的否定命题：①綈(p且q)＝綈p或綈q；②綈(p或q)＝綈p且綈q.【预习评价】1.x∈A∪B的含义是什么？提示x∈A或x∈B，有三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A并且x∈B.2.綈p是命题p的否命题吗？提示不是，设命题p为：若m则n，那么命题p的否命题是若綈m则綈n，而綈p是若m则綈n.即：命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.3.用“充分、必要、充要”填空：(1)p∨q为真命题是p∧q为真命题的________条件.(2)綈p为假命题是p∨q为真命题的________条件.解析因为或命题为真，则一真即真，且命题为真，必须都为真，因此第一个命题中，条件是结论成立的必要条件，而(2)中，非p为假，说明p为真，则或命题为真，因此(2)中，条件是结论成立的充分条件.答案(1)必要(2)充分题型一p且q命题及p或q命题【例1】分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：eq\r(3)是无理数，q：eq\r(3)是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等.解(1)p且q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p且q为假.p或q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p或q为真.(2)p且q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p或q为真.(3)p且q：eq\r(3)是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：eq\r(3)是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p或q为真.(4)p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p或q为真.规律方法(1)判断“p且q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断“p或q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定“p或q”形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题“p或q”为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.【训练1】指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生；(2)方程2x2＋1＝0没有实数根；(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p：李明是男生；q：李明是高一学生.(2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.题型二綈p命题【例2】写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.规律方法綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p且q”的否定是“綈p或綈q”等.【训练2】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：y＝sinx是周期函数；(2)p：3＜2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数.解(1)綈p：y＝sinx不是周期函数.命题p是真命题，綈p是假命题；(2)綈p：3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题；(3)綈p：空集不是集合A的子集.命题p是真命题，綈p是假命题；(4)綈p：5是75的约数.命题p是假命题，綈p是真命题.【探究1】已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1(a≠0)在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数.若p且綈q为真命题，则实数a的取值范围是________.解析由题意，命题p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝1＋8a＞0，,a＞0，,f（0）·f（1）＝（－1）·（2a－2）＜0，))解得a＞1.命题q：2－a＜0，得a＞2，所以綈q：a≤2，故由p且綈q为真命题，得1＜a≤2.答案(1，2]【探究2】已知c＞0，且c≠1.设命题p：函数f(x)＝logcx为减函数，命题q：当x∈[eq\f(1,2)，2]时，函数g(x)＝x＋eq\f(1,x)＞eq\f(1,c)恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题，则实数c的取值范围为________.解析由f(x)＝logcx为减函数得0＜c＜1.当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，由基本不等式可得g(x)＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最小值为g(1)＝2.当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，由函数g(x)＝x＋eq\f(1,x)＞eq\f(1,c)恒成立，得2＞eq\f(1,c)，解得c＞eq\f(1,2)，又c≠1，所以c＞eq\f(1,2)且c≠1.如果p真q假，则0＜c≤eq\f(1,2)；如果p假q真，则c＞1，所以实数c的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞)【探究3】已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围.解命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－4≥0，,x1＋x2>－2，,（x1＋1）（x2＋1）>0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1≥0，,－2a>－2,2－2a>0，))，解得a≤－1.命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，等价于a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))由于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－4a<0，))解得0<a<4，所以0≤a<4.因为“p或q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－1，,a<0或a≥4，))解得a≤－1.故实数a的取值范围是(－∞，－1].规律方法由真值表可判断p或q、p且q、綈p命题的真假，反之，由p或q，p且q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集.课堂达标1.命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，则()A.p真q假 B.p且q为真C.p或q为假 D.p假q真解析命题p假，命题q真.答案D2.给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题.答案D3.命题“菱形的对角线垂直并且互相平分”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是________形式的命题.解析命题使用了“且”，是“p且q”形式的命题.答案且p且q4.已知p：不等式ax＋b＞0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞－\f(b,a)))，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}.若“p或q”是假命题，则a，b满足的条件是________.解析因为p或q为假命题，所以p，q均为假命题，p假⇔a≤0，q假⇔a≥b，则b≤a≤0.答案b≤a≤05.分别指出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的命题的真假.(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数.(2)p：菱形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直.(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等.(4)p：π是有理数，q：π是无理数.解(1)因为p是真命题，q是真命题，所以p或q是真命题，p且q是真命题，綈p是假命题.(2)因为p是假命题，q是真命题，所以p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是真命题.(3)因为p是假命题，q是假命题，所以p或q是假命题，p且q是假命题，綈p是真命题.(4)因为p是假命题，q是真命题，所以p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是真命题.课堂小结1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”，“p或q”的真假.p且q为真⇔p和q同时为真，p或q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁Up.因此(綈p)且p为假，(綈p)或p为真.4.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.基础过关1.已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()A.“p或q”为假，“綈q”为假B.“p或q”为真，“綈q”为假C.“p且q”为假，“綈p”为假D.“p且q”为真，“p或q”为假解析显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故选B.答案B2.已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若p：eq\r(2)∈(A∪B)，则“綈p”是()A.eq\r(2)A B.eq\r(2)∁SBC.eq\r(2)(A∩B) D.eq\r(2)∈(∁SA)∩(∁SB)解析p：eq\r(2)∈(A∪B)，綈p：eq\r(2)∈∁S(A∪B)，即eq\r(2)∈(∁SA)∩(∁SB).答案D3.已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p且q；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命题是()A.①③ B.①④ C.②③ D.②④解析当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题.当x>y时，x2＞y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题.由真值表知，①p且q为假命题；②p或q为真命题；③p且(綈q)为真命题；④(綈p)或q为假命题.故选C.答案C4.命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为“________________”，命题的否定为“________________”.解析命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为“若a≥b，则2a≥2b”，命题的否定为“若a<b，则2a≥2b”.答案若a≥b，则2a≥2b若a<b，则2a≥2b5.若命题p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－eq\f(b,a)}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a<x<b}，则“p且q”“p或q”“非p”中真命题是________.解析因为命题p，q均为假命题，所以“p或q”“p且q”均为假命题，而“非p”为真命题.答案非p6.已知命题p：方程x2＋ax＋1＝0有两个不等的实根；命题q：方程4x2＋2(a－4)x＋1＝0无实根，“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围.解∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假，由a2－4>0得a>2或a<－2.由4(a－4)2－4×4<0得2<a<6.①若p真q假，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>2或a<－2，,a≤2或a≥6，))∴a<－2或a≥6；②若p假q真，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤a≤2，,2<a<6，))通过分析可知不存在这样的a.综上，a<－2或a≥6.实数a的取值范围是(－∞，－2)∪[6，＋∞).7.已知c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减，q：曲线y＝4x2－4ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋c2＋1与x轴交于不同的两点，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围.解方法一∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0<c<1.令A＝{c|0<c<1}.由y＝4x2－4ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋c2＋1与x轴交于不同的两点，可得方程4x2－4cx＋c2－2c＋1＝0所对应的判别式Δ＝16c2－16(c2－2c＋1)>0.解得c>eq\f(1,2)，令B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c|c>\f(1,2))).根据题意，如果p真，q假，则0<c≤eq\f(1,2)；如果p假，q真，则c≥1，∴c的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞).方法二同方法一，问题等价于求集合[(∁RB)∩A]∪[(∁RA)∩B]＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞).∴c的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞).能力提升8.已知命题p：若a＝(1，2)与b＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q：任意k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2y＝0相交.则下面结论正确的是()A.(綈p)或q是真命题 B.p且(綈q)是真命题C.p且q是假命题 D.p或q是假命题解析命题p为真，命题q：圆心(0，1)到直线kx－y＋1＝0的距离为d＝eq\f(|0|,\r(k2＋1))<1，命题q是真命题.故(綈p)或q是真命题.答案A9.给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(x＋1)]为偶函数；命题q：函数y＝eq\f(ex－1,ex＋1)为偶函数，下列说法正确的是()A.p或q是假命题 B.(綈p)且q是假命题C.p且q是真命题 D.(綈p)或q是真命题解析p中，f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p为真；q中，f(－x)＝eq\f(e－x－1,e－x＋1)＝eq\f(1－ex,ex＋1)＝－f(x)，定义域为R，故函数为奇函数，故q为假，故(綈p)且q为假.答案B10.已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则有平面α∥平面β.对以上两个命题，下列结论中：①p且q为真；②p或q为假；③p或q为真；④(綈p)或(綈q)为假.其中，正确的是________(填序号).解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交，命题q也是假命题，这两个平面α，β也可能相交.答案②11.命题p：若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数.给出下列结论：①“p或q”是真命题；②“p或q”是假命题；③綈p为假命题；④綈q为假命题.其中所有正确的结论的序号为________.解析当a·b＞0时，a与b的夹角为锐角或零度角，所以命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝eq\b\