湖南省长沙市2026届高三仿真考试数学试卷（试卷及全解全析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省长沙市2026届高三仿真考试数学试卷注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．计算的值等于（

）A．1 B． C． D．2．一台发电机产生的交变电流（单位：）随时间（单位：）变化的数据如下表所示：00.511.522.533.544.555.5654.82.8-0.2-2.6-4.8-5-4.8-2.6-0.22.84.85根据已知数据作出散点图如图，这一变化规律合适的拟合函数类型是（

）A． B．C． D．3．在平面直角坐标系中，角α以Ox为始边，且.把角α的终边烧端点O按逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是β，则sinβ=（

）A． B． C． D．4．函数，则下列命题正确的是（

）A．函数是偶函数 B．函数定义域是C．函数最大值 D．函数的最小正周期为5．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．已知函数的定义域均为，为的导函数.若为偶函数，且，则以下命题错误的是（

）A． B．关于直线对称C． D．7．若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（

）对．A．5 B．6 C．7 D．88．设为不等实数，则关于的方程的实数根的个数可能为（

）A．0 B．2 C．1012 D．2023二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（

）A．样本的众数为 B．样本的中位数为C．样本的平均值为66 D．该校男生体重超过70公斤的学生大约为600人10．如图，在矩形ABCD中，，，将沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥，则下列说法正确的是（

）A．在翻折过程中，三棱锥的体积最大为B．在翻折过程中，三棱锥的外接球的表面积为定值C．在翻折过程中，存在某个位置使得D．在翻折过程中，存在某个位置使得11．某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：生产线次品率产量（件/天）甲500乙700丙800试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（

）A．若计算机5次生成的数字之和为，则B．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则C．若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为D．若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．随着冬季到来，各种流行疾病也开始传播，国家为了防止患者集中在大型医院出现交叉感染，呼呼大家就近就医.某市有市级医院，区级医院，社区医院三个等级的医院，对于出现的流行疾病三个医院都能治愈患者.若患者去三个医院就医的概率是，三个医院就医时出现交叉感染的概率分别为，患者在医院没有出现交叉感染且治愈的概率为.13．如图，四边形为椭圆的内接矩形，其中点关于轴对称，点满足，直线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为.

14．若曲线有两条过点的切线，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共4小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．为助力四川新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价x（元/件）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568(1)根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；(2)若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？（参考公式：回归方程，其中，）．16．已知的内角的对边分别为，且(1)求的值；(2)给出以下三个条件：条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.17．的三内角的对边分别为，且满足.点为边上动点，点为边中点，记交于点，若已知.(1)当时，求.(2)当长为何值时，从点处看线段的视角（即）最大？18．已知函数.(1)若，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，证明：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市2026届高三仿真考试数学试卷参考答案注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【分析】利用诱导公式和逆用和差角的正弦公式即可作答.【详解】.故选：A2．C【分析】对比所学函数图象，发现它与余弦函数图象差不多，由此即可得解.【详解】由图可知，函数图象和余弦函数的图象比较“相似”，所以可以用来拟合.故选：C.3．B【分析】依题意可得，再利用诱导公式计算可得.【详解】依题意，因为，，故选：B4．C【分析】求出函数的定义域，可判断AB选项；利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可判断C选项；利用正弦型函数的周期性可判断D选项.【详解】设，由可得，所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以，函数不是偶函数，A错B错；当时，则，当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对；因为，结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，D错.故选：C.5．B【分析】令，求出函数的导数，问题转化为，利用单调性解出即可．【详解】令，则，∵，∴在上递减，∵，∴，∵不等式，∴，∴，解得，故不等式的解集是．故选：B．6．C【分析】由偶函数定义求导可得，即证为奇函数，再根据题意可得，进而可得，即证是以4为周期的周期函数.对A：赋值运算求解即可；对B：可得，即可得结果；对C、D：由，结合的性质运算求解.【详解】对A：∵为偶函数，则，可得，故为奇函数，又∵，可得，即，令，则，可得，∵为奇函数，则，即，∴是以4为周期的周期函数，故，A正确；对B：，则，其中为常数，令，则，故，故关于直线对称，B正确；对C、D：∵，令，则，即，又∵，令，则，注意到，且时以4为周期的周期函数，可得，∵，即，故，D正确；，因题中无法确定的值，故的值无法确定，C错误；故选：C.【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．7．B【分析】根据可得，结合可得，，然后列举出所有紧密数列对即可.【详解】由条件知，于是，又，所以，于是“4项紧密数列”有；共有6对.故选：B．【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，根据定义求得，然后据此列举出所有紧密数列对.8．A【分析】按是否为分三类讨论.当且时，验证不是方程的实数根，再对方程进行变形，转化为求解函数的零点问题，借助导数研究函数单调性判断零点的个数.【详解】设，由题意，则，故不是方程的根，故.①当且时，，由，，可知均不是方程的实数根；故且，则，此时方程无解；②当且时，，由，，可知均不是方程的实数根，故且，则，此时方程也无解；③当且，且时，，则，令，可得，令，则且，设，，令得，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；又由，则，故，即不是方程的实数根；同理也不是方程的实数根，故且.所以，令，可得，则有，由，，可得，设，则，且在上单调递增，令，解得，记为，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故至多两根，又，且，故除外，无其他实数根，即无实数根；综上所述，为不等实数，无实数根.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是分类讨论思想的应用，是数列求和公式应用，要注意是否为；二是构造函数转化为零点的问题研究.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．ABD【分析】根据众数、中位数、平均值的概念等求值，及频率分布直方图预测数据即可一一判断.【详解】对于A，观察频率分布直方图可知，样本的众数为，A对；对于B，设样本的中位数为，观察频率分布直方图可知该中位数位于之间，则有，解得，B对；对于C，由直方图估计样本平均值为，C错误；对于D，2000名男生中体重大于的人数大约为，D对.故选：ABD.10．AB【分析】当平面平面ACD时，三棱锥的体积最大，求出体积最大值得选项A正确；取AC的中点E，连接BE，DE，求出三棱锥外接球的表面积，故选项B正确；假设，求出CD的长度要大于4，这与矛盾，故选项C错误；假设，求出，这与，矛盾，故选项D错误.【详解】解：由题知，当平面平面ACD时，三棱锥的体积最大，此时，故选项A正确.取AC的中点E，连接BE，DE，则，所以三棱锥的外接球是以点E为球心，为半径的球，则该三棱锥外接球的表面积，故选项B正确.假设，又，，平面BAD，所以平面BAD.又平面BAD，所以，则在中，斜边CD的长度要大于4，这与矛盾，故选项C错误.假设，过点D作于点F，连接BF.由于，平面BDF，所以平面BDF.又平面BDF，所以，所以.又，，所以≌，所以，这与，矛盾，故选项D错误.故选：AB11．BD【分析】根据题意可知，由二项分布计算，即可判断A选项；由条件概率公式计算，由此判断B选项；设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，由全概率公式计算，由此判断C选项；由贝叶斯公式计算，由此判断D选项.【详解】对于A：因为，，所以，故A错误；对于B：由故B正确；对于C：设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，这件产品来自甲，乙，丙三条生产线分别为事件，则由，故C错误；对于D：由C选项的解析可知，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得服从二项分布，从而求得，进而利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【分析】根据题意分别计算去三个医院没有出现交叉感染且治愈的概率，再求和即可.【详解】由题意，患者在医院没有出现交叉感染且治愈的概率为.故答案为：13．/0.5【分析】设，根据对称即可得出，，利用得出，然后利用表示出和，联立得出，再结合在椭圆上，通过化简即可得出离心率.【详解】由题知，设，则，，，，，则，所以，：，①，因为，所以，则，：，②联立①②得，而，，所以，则，所以，而，所以，所以，，所以，所以.故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆锥曲线相位置关系，注意运用椭圆的方程和对称性，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题.14．【分析】构造，通过讨论其单调性化简曲线，进而求出曲线的单调性和在处的值，即可得到曲线有两条过点的切线时实数a的取值范围.【详解】由题意，在中，，当时，解得：，∴当即时，函数单调递减，当即时，函数单调递增，∴函数在处取最小值，，∴，∴在中，，当时，解得：，∴当即时，函数单调递减，当即时，函数单调递增，∴函数在处取最小值，，∴，当时，，∵曲线有两条过点的切线∴故答案为：.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用构造函数，结合导数对绝对值函数进行化简，再求出函数的单调性，函数切线问题等.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．(1)(2)单价定为8.25元时，工厂获得利润最大【分析】（1）求出，代入公式求出，得到线性回归方程；（2）设获得的利润为L万元，表达出利润关于的关系式，配方后得到最大利润.【详解】（1），．，，∴，∴，所以回归直线方程为（2）设工厂获得的利润为L万元，则，所以该产品的单价定为8.25元时，工厂获得利润最大．16．(1)；(2)条件正确，(i)；(ii).【分析】(1)根据两角和与差的正弦公式、辅助角公式化简计算可得，即可求得B；(2)利用余弦定理即可推出条件①不正确；根据三角形面积公式和余弦定理求出，结合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程组即可.【详解】（1），，，，得Z，由，得；（2）若条件