专题03 不等式及其应用、基本不等式（期末复习讲义12大重难题型+3阶分层过关）（解析版）高一数学上学期人教A版

3/3专题03不等式及其应用、基本不等式（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律3.1不等式的基本性质（对称性、传递性、可加/乘性）能依据性质进行简单的数值比较和不等式推导。基础题，乘负变号是必考点。3.2基本不等式的形式与推导能准确写出基本不等式，理解其几何意义。理解性考点，是应用的基础。3.3“一正二定三相等”的运用条件能准确判断给定问题是否满足基本不等式的使用条件。高频易错点，是解题的第一步，常被忽略。3.4直接利用基本不等式求最值能对符合“积定”或“和定”条件的表达式直接应用公式求最值。最基础的考查方式。3.5“配凑法”应用基本不等式能通过拆项、添项、凑系数等技巧，将表达式转化为可用基本不等式的形式。期末解答题核心考法，是能力的区分点。3.6换元法（化繁为简）当表达式复杂时，能通过代换简化问题，转化为基本不等式模型。重要技巧，常用于含根式条件最值问题。3.7“1”的代换法（条件等式）当已知条件能巧妙地运用或变形“1”，可将目标式乘以“1”进行计算。高频题型，技巧性强，是高分的关键。3.8分式型最值问题能处理形如(二次式)/(一次式)”或(一次式)/(二次式)”的函数，通过分离常数、换元或基本不等式求最值。常见中档题，分离常数是常用技巧。3.9二次使用基本不等式（连续放缩）能判断在什么情况下需要两次或多次使用基本不等式，并保证每次放缩的等号能同时成立。难度最高的题型之一，常用于证明或求复杂式子的最值，对逻辑严谨性要求高。3.10恒成立问题中求参数范围（综合应用）对于恒成立的问题，能将其转化为求目标式的最小值或最大值，从而确定参数a的范围。期末压轴题常见模式，综合性强，易错点在于混淆“≥最大值”与“≤最小值”的逻辑关系。3.11基本不等式在实际问题（如面积、成本最优化）中的应用能根据实际问题建立函数模型，并利用基本不等式求解最值。命题趋势偏向应用，考查数学建模能力知识点01等式的性质性质1如果，那么_____；性质2如果，，那么____；性质3如果，那么；性质4如果，那么；性质5如果，，那么____；知识点02比较两个实数大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：；；另外，若，则有；；.知识点03不等式的性质性质别名性质内容1对称性a>b⇔b＜a2传递性a>b,b>c⇒a＞c3可加性a>b⇔a+c＞b+c推论1：a+b>c⇔a>c−b；推论2：a>b,c>d⇒a+c>b+d4可乘性a>b,c>0⇒ac＞bca>b,c<0⇒ac<bc；推论3：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd；推论4：a>b>0⇒an＞bn（n∈N推论5：a>b>0⇒5取倒数a>b,ab>0⇒1a＜1知识点04基本不等式如果a≥0,b≥0，那么a+b2≥ab（当且仅当说明：①对于非负数a,b，我们把a+b2称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数②我们把不等式ab≤a+b③“当且仅当a=b时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当a=b时，有ab=a+b2；另一方面当ab=④结构特点：和式与积式的关系.知识点05利用基本不等式求最值①已知x，y是正数，如果积xy等于定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2P②已知x，y是正数，如果和x+y等于定值S，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值．S2知识点06几个重要不等式（1）a2+b2≥2ab（a变形式：ab≤a2+b22（（2）基本不等式：ab≤a+b2（a>0，b>0变形式：a+b≥2ab（a>0，b>0），ab≤a+b22（a，（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（（4）若ab>0，则ba+ab≥2知识点07基本不等式链拓展.m>n时，知识点08权方和不等式的二维形式若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)知识点09糖水不等式定理若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;知识点10糖水不等式的倒数形式:设,则有:题型一由已知条件判断所给不等式是否正确解｜题｜技｜巧直接法：依据不等式基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等），结合已知条件直接推导判断。（2）特殊值法：选取满足已知条件的特殊数值代入不等式，验证是否成立。（3）作差（商）法：对不等式两边作差（商），结合已知条件判断差（商）的正负，进而确定不等式是否成立（作商法需注意正负），部分复杂式子判断可用此思路延伸。【典例1】（24-25高一上·湖南永州·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式的基本性质可判断ABC选项，利用作差法可判断D选项.【详解】因为，，对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，在不等式的两边同时除以得，C错；对于D选项，，故，D对.故选：D.【典例2】（24-25高一上·山西·期末）（多选）已知，则下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】举反例可说明选项A、C错误；不等式等价变形，利用不等式的性质可得选项B正确；利用作差法可得选项D正确.【详解】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确；对于B，等价于，∵，∴，故，故B正确；对于C，当时满足，但，故C不正确；对于D，，故D正确.故选：BD.【变式1】（24-25高一上·福建莆田·期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.【详解】A.当时，，选项A错误.B.若，满足，但，选项B错误.C.由得，由得，故，选项C正确.D.若，则，选项D错误.故选：C.【变式2】（24-25高一上·安徽安庆·期末）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用赋值法取可排除；利用不等式的性质可判断.【详解】对于：取，则，，故错误；对于：因为，所以，故正确；对于：因为，所以，所以

故正确.故选：BD.题型二由不等式关系，求解不等式范围解｜题｜技｜巧（1）直接运算：依据不等式基本性质，对已知不等式变形求解即可．（2）线性组合：若求多个式子线性组合的范围，先将目标式表示为已知范围式子的线性组合，再利用不等式性质，分别求各组合部分范围后“同向可加”即可.【典例1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质求解．【详解】因为，又，，所以的取值范围是．故选：C．【典例2】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由题意得，进而求得即可求解.【详解】因为，所以，即，所以，则，所以.故选：D.【变式1】（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式性质得到，得到答案.【详解】，又，故，即.故选：D【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.【详解】因为，，则，可得，由不等式的基本性质可得.故选：A.【变式3】（25-26高一上·湖南·期中）（多选）已知，，则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】ACD【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项求解判断.【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确；对于B，由，得，而，则，B错误；对于C，由，，得，C正确；对于D，由，得，则，D正确.故选：ACD题型三作差法比较式子大小关系【典例1】）若，，则（用“”、“”或“”填空）．【答案】【分析】用作差法比较大小即可.【详解】因为，所以.故答案为：【典例2】已知，且，则.（填中最恰当的一个）【答案】【分析】利用作差法，比较大小，即可得答案.【详解】由，则，，故，故答案为：【变式1】已知，，设，，则与的大小关系为．【答案】【详解】．因为，，所以，，，所以，所以．【变式2】（用不等号“”或“”填空）【答案】【分析】应用作差法比较大小即可.【详解】，所以.故答案为：题型四糖水不等式及其应用【典例1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意建立不等关系即可.【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为，则有.故选：C【变式1】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用条件及不等式的性质逐项判断即得.【详解】对于A，由得，，故A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，由题得，故C错误；对于D，由糖水不等式得，所以，故D错误.故选：A.【变式2】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．(1)证明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由作差法证明；（2）由糖水不等式变形证明．【详解】（1），因为，所以，所以，即．（2）因为是三角形的三边，所以，由（1）知，同理，所以，又，所以所以原不等式成立．题型五直接用基本不等式求和或积的最值解｜题｜技｜巧（1）定条件：确认“一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到，即存在实数使等号成立）”.（2）选公式：和定求积最大，用；积定求和最小，用.（3）代计算：代入定值，结合等号成立条件（验证是否满足“三相等”），算出最值.【典例1】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知实数，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．5【答案】B【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当，即，所以的最小值是.故选：B.【典例2】（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（

）A．有最小值为 B．有最大值为C．有最小值为 D．有最大值为【答案】D【分析】根据基本不等式，可得答案.【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得.故选：D.【变式1】（24-25高一上·重庆·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为.【答案】【分析】由基本不等式即可求解；【详解】，可得：，当且仅当时，取等号，所以的最大值为，故答案为：【变式3】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】原式可变为，利用基本不等式求解.【详解】由，当且仅当时取等号，可得.可得的最小值为4，故选：A.【变式3】（24-25高一上·广东东莞·期末）（多选）若a，，且，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为6 B．的最小值为6C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9【答案】BD【分析】正数a，b满足，可得，解出即可得出ab的最小值，正数a，b满足，可得，解出即可得出的最小值.【详解】正数a，b满足，，即，解得，即ab，当且仅当时取等号，，即ab的最小值为9，正数a，b满足，，即，解得，当且仅当时取等号，，即的最小值为故选：BD.题型六巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值（含权方和不等式的应用）解｜题｜技｜巧（1）找“1”或常数：观察条件，将已知等式变形出“1”或常数，用于构造可基本不等式形式。（2）乘“1”拼凑：用变形出的“1”或常数，将目标式与含“1”或常数的式子相乘展开，凑出能用基本不等式求解的式子。（3）验证等号：展开后用基本不等式求最值，同时验证等号成立条件，确保最值有效。【典例1】（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本不等式“1”的用法计算即可求解.【详解】由题意知，，，当且仅当即时，等号成立，所以.故选：A【典例2】（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数，若，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则为奇函数且是增函数，由可得，即，再利用基本不等式可得答案.【详解】设，定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数；则，，故；因为为增函数，故，即，，故与同号，显然它们都是正数；当且仅当，即时等号成立；故选：D.【变式1】（24-25高一上·山西·期末）已知实数，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值.【详解】由题意得，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为6.故选：C.【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为.【答案】/4.5【分析】根据“1”的变形技巧，利用基本不等式得解.【详解】由可得，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】AD【分析】利用基本不等式即可判断选项ACD；对于选项B有，所以，将式子化为一元二次函数即可求得最值.【详解】对于选项A：，故A正确.对于选项B：因为，所以，所以，又因为，，故，解得：，故当时，式子取最小值2.故B错误.对于选项C：，当且仅当，即时等号成立，又，，所以等号取不到，故选项C错误.对于选项D：，故选项D正确.故选：AD题型七二次与二次（一次）的商式求最值【典例1】已知，则的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【答案】A【分析】化简变形利用基本不等式计算即可．【详解】易知．因为，所以，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故，则的最大值是．故选：A【典例2】设，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对变形后，利用基本不等式求解.【详解】，则，，当且仅当时，等号成立，则.故选：D.【变式1】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是.【答案】/【分析】依题意利用基本不等式计算可得.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，故答案为：【变式2】若，则的最小值为.【答案】4【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解.【详解】当时，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.故答案为：4题型八换元法求最值【典例1】已知，求的最大值.【答案】【详解】设，则，因此因，当且仅当，即时取等号，所以.故的最大值为.【典例2】已知正数a，b，c满足2a+b+3c=8，则a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【答案】D【详解】正数a，b，c满足2a+b+3c=8，故2a+c令a+c=m,b+c=n，故2m+n=8，m>0,n>0，a+b+2c=8−n4n当且仅当8mn=nm，即故a+b+2cb+c故选：D【变式1】已知正实数x,y满足x+y≤2且x−y>0，则2【答案】3+2【详解】设x+3y=mx−y=n，则2x+2y=m+n≤42当且仅当n2m=m4n且m+n=4，即故答案为：3+2【变式2】已知，，，则的最大值为．【答案】/【详解】令，，则，，，，，所以，所以，当且仅当，，即，时等号成立．故答案为：【变式3】若对恒有，则的取值范围是【答案】【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围.【详解】由，令，则，当时，，当且仅当，即时取等号，若时，，则，此时代数式的范围为，当时，，当时，，当且仅当，即时取等号，若时，，则，此时代数式的范围为，综上，，所以对恒有，只需，即.故答案为：题型九两次应用基本不等式求最值【典例1】对任意的正实数a,b,c，满足b+c=1，则8ab2+a【答案】16【详解】任意的正实数a,b,c，满足b+c=1，8a=a⋅由于b,c为正实数，故由基本不等式得9bc当且仅当9bc=c所以a⋅≥28当且仅当8a+1=16综上，8ab2+a故答案为：16【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等【变式1】已知实数m，n满足m>2n>0，则m2+2【答案】8【详解】因为m>2n>0，所以m−2n>0，n∴m=≥4n≥2当且仅当8nm−2n=2所以m2故答案为：8.【变式2】已知正数a，b满足，，则的最小值为.【答案】【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值．【详解】解：由，得，因为，，所以，当且仅当，即时取“等号”，所以当，，时，的最小值为故答案为：题型十条件等式变形求最值【典例1】（多选）已知两个实数、满足，则（

）A． B． C． D．【答案】ABCD【分析】利用重要不等式逐项判断即可.【详解】因为两个实数、满足，由重要不等式可得，故，当且仅当时，即当或时，等号成立，B对；另一方面，可得，当且仅当时，即当或时，等号成立，A对；对于CD选项，由题意可得，由重要不等式可得，可得，当且仅当时，即当或时，等号成立，D对；因为，故，所以，即，当且仅当时，即当或时，等号成立，又，C对.故选：ABCD.【典例2】（24-25高一上·重庆·期末）（多选）已知且满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】先化简式子得到，应用基本不等式的乘“1”法可判断BD，A直接应用基本不等式即可判断，C转化为二次函数即可判断.【详解】根据题意:，，，又，，，对A，，则，当且仅当且，即时等号成立，A正确；对B，，当且仅当且，即时等号成立，B错误；对C，由，又，故，所以，当且仅当时等号成立，C正确；对D，，当且仅当且，即时等号成立，D正确.故选：ACD.【变式1】（多选）已知，则下列正确的是（）A．B．的最小值为2C．的最小值为D．的最小值为【答案】ACD【分析】将已知式化成，再根据各选项的待求式，利用基本不等式，通过消元变形即可逐一求出最值判断选项.【详解】依题意，由，可得对于A，由，故A正确；对于B，由，结合A项，因，当且仅当时等号成立，由可得，即当时，的最小值为，故B错误；对于C，由A项，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；对于D，因，则，由C项已得当时，取得最小值，故此时取得最小值为，故D正确．故选：ACD【变式2】已知且，则的最大值为，最小值为．【答案】/0.4【分析】直接利用基本不等式可得，即可求得的最大值，将化为，再利用基本基本不等式，即可求得的最小值.【详解】由,可得，当且仅当，即时取到等号,即的最大值为；，可得，当且仅当，即或时取到等号，即的最小值为；故答案为：；题型十一利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围【典例1】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立，又，当且仅当时取等号，故.故选：A【典例2】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.【详解】因为，，且，则，则，所以，当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，因为恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.【变式1】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】不等式恒成立，等价于的最小值大于，所以先利用基本不等式求出的最小值，然后解关于的不等式即可.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，不等式恒成立，等价于的最小值大于，所以，解得，故选：B【变式2】已知，且，若恒成立，则实数的范围是．【答案】【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】因为，且，若恒成立，则，又，当且仅当，即，时，等号成立，，即实数的取值范围是．故答案为：．【变式3】已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得.【详解】已知，则，因为，当且仅当时等号成立，由，解得．故的最小值为4．因为恒成立，所以，即，解得，即．故选：D题型十二基本不等式的应用【典例1】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值.【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，，则总造价，当且仅当，即时取等号，且，所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低.故选：C.【典例2】“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是个∕时．【答案】60【分析】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解．【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时，则全程生产成本，，当时，即等号成立，综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时．故答案为：60．【典例3】如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.(1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？(2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值.【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为(2)当时有最小值，最小值是【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解；（2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为.因为，当且仅当时，即，时等号成立，所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为；（2）由题意得，，当且仅当，即时等号成立，所以当时，有最小值，最小值是.答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为，（2）当时，有最小值，最小值是.【变式1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值．【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为，每件利润为元，每月的销售量为件，，令，则，，当且仅当，即时取等号，该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元．故选：B．【变式2】某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是万元．【答案】【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案.【详解】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元，则，又由题可得.当且仅当，即时取等号.故答案为：【变式3】2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸IP展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求：(1)设长为，用表示，并求出的取值范围；(2)如何设计可使总造价最低，并求出最低造价.【答案】(1)，(2)当的长为m时，总造价最低，为59000元【分析】（1）根据题中条件，结合十字形区域面积为，可得，整理可得解析式，根据，，可求得x的范围，即可得答案.（2）分别求出各个区域的面积及造价，可得总造价的表达式，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）因为十字形区域面积为，所以，解得，因为，所以，因为，所以，所以，.（2）四个矩形地砖面积，造价；四个三角形草坪面积；造价；正方形花坛面积，造价；总造价，化简得，因为，当且仅当（在范围中）时取等号，此时元．综上，当的长为时，总造价最低，为59000元．【变式4】某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．

(1)用含有的代数式表示；(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？【答案】(1)，(2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式；（2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为，所以，可得，又，则，又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得，即关于的关系式为.（2）由（1）知，，，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.期末基础通关练（测试时间：10分钟）一、单选题1．（24-25高一上·广东惠州·期末）若，则有（

）A．最小值3 B．最小值6C．最大值6 D．最大值3【答案】B【分析】由基本不等式求解．【详解】因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.所以，当时，则有最小值6，故选：B.2．（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本不等式“1”的用法计算即可求解.【详解】由题意知，，，当且仅当即时，等号成立，所以.故选：A3．（24-25高一上·四川成都·期末）已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】根据勾股定理以及直角三角形的面积公式，利用重要不等式，可得答案.【详解】设直角三角形的两条直角边分别为，则，直角三角形的面积为，当且仅当时取等号.故选：C.4．（24-25高一上·北京密云·期末）设，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于A和D，利用作差法排除；对于B，利用不等式性质推理排除；对于C，利用基本不等式可推理得到.【详解】对于A，由，因，故得，即A错误；对于B，由两边同除以，可得，故B错误；对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确；对于D，由，因，故得，故D错误.故选：C.5．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（

）A．25 B．6 C．10 D．5【答案】D【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求其最小值.【详解】由题意得，则，当且仅当，即时，等号成立．故的最小值为5．故选：D6．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（

）A．12件 B．24件 C．36件 D．40件【答案】D【分析】平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，利用基本不等式，即可求得和此时的值.【详解】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，当且仅当时，等号成立，即当每批应生产产品40件时，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，为40元.故选：D.7．（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（

）A．16 B．18 C．22 D．26【答案】C【分析】变形得到，，由基本不等式求出最小值.【详解】因为，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22．故选：C8．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都为正数，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由基本不等式进行求解即可.【详解】都为正数，，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：二、多选题9．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列选项为真命题的是（

）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，，则【答案】BCD【分析】对A，举反例说明；对B，利用作差比较法和不等式性质求解判断；对C，根据不等式性质判断；对D，根据不等式性质判断.【详解】对于A，取，满足，但，故A错误；对于B，若，则，所以，即，又，故，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，因为，所以，又，则，故D正确.故选：BCD.10．（24-25高一下·湖南娄底·期末）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用作差法可判断AD选项，利用基本不等式可判断BC选项.【详解】对于A选项，对任意的、，，即，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，当，时，由A选项可知，则，故，当且仅当时，等号成立，故，B对；对于C选项，当时，，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，C错；对于D选项，因为，，则，故，D对.故选：ABD.期末重难突破练（测试时间：40分钟）一、单选题1．（24-25高一上·北京·期末）已知，且，则的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．8【答案】D【分析】由基本不等式求最小值．【详解】因为所以，当且仅当即时等号成立，故选：D．2．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，若，，且，则的最小值是（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.【详解】函数的定义域为，又，所以为奇函数，又，所以，所以，又函数在单调递减，所以，所以，，所以，当且仅当，即，等号成立，所以的最小值为.故选：B.3．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知实数，若，则的最大值为（

）A． B．4 C． D．8【答案】B【分析】将变形后，利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知实数，，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为4，故选：B4．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】先将不等式恒成立，转化为，求出最小值，解不等式即可得到答案.【详解】不等式恒成立，等价于，又，故恒成立，所以，又，故，即，解得或故选：B5．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知正实数，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，令，则问题转化为求的最小值，利用基本不等式计算可得.【详解】因为，令，则，又，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为，当且仅当时取等号，所以的取值范围是.故选：C二、多选题6．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知x，y，z为正实数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项判断即可.【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误；对于B，由，得，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，得，当且仅当，即时陬等号，C正确；对于D，由，得，则，当且仅当，即取等号，而，因此，D正确.故选：BCD7．（24-25高一上·广东广州·期末）已知是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断ABC；举例判断D即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，故A正确，B错误，因为，即，根据函数是增函数，所以，故C正确；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；故选：AC8．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知正数满足，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BC【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于B，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于C，根据条件得到，再结合选项A中结果及反比例函数的性质，即可求解；对于D，利用基本不等式及指数的运算性质，得到，再结合条件，利用基本不等式的性质得到，即可求解.【详解】对于选项A，因为，且，所以，当且仅当时取等号，令，得到，解得或（舍），所以，故选项A错误，对于选项B，，且，所以，当且仅当时取等号，所以，解得或（舍），所以选项B正确，对于选项C，因为，由选项A知，所以，得到，故选项C正确，对于选项D，因为，当且仅当取等号，由，且，得到，所以，又，则，当且仅当,时，取等号，又，所以，又，所以选项D错误，故选：BC.【点晴】方法点晴：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、填空题9．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围.【详解】因为，，且，则，所以，当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，因为恒成立，所以，解得