专题03 幂、指数与对数（解析版）

专题03幂、指数与对数题型1有理数指数幂与根式的互化（常考点）题型5对数的运算性质（重点）题型2有理数指数幂及根式化简运算求值题型6对数运算求值题型3对数的概念题型7对数方程求解题型4指数式与对数式的互化（常考点）题型8换底公式的应用（难点）题型1有理数指数幂与根式的互化（共3小题）例1（2025•宝山区校级期末）将化为有理数指数幂的形式为．【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答】解：，故答案为：．【变式1-1】（2025•金山区期末）将化为有理数指数幂的形式为．【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．【解答】解：．故答案为：．【变式1-2】（2024•浦东新区校级期末）将化为有理数指数幂的形式为．【答案】．【分析】根据分数指数幂的定义与运算求解．【解答】解：由题意可得：．故答案为：．题型2有理数指数幂及根式化简运算求值（共4小题）例2（2025•浦东新区校级期末）已知，则．【答案】．【分析】根据对数运算求得正确答案．【解答】解：，所以．故答案为：．【变式2-1】（2025•松江区期末）经过化简，可得恒等式（其中，，则．【答案】或．【分析】利用有理数指数幂运算法则求解．【解答】解：，，，，，解得或，或．故答案为：或．【变式2-2】（2025•嘉定区期末）若，化简：．【答案】．【分析】结合指数幂的运算法则，即可求解．【解答】解：．故答案为：．【变式2-3】（2025秋•嘉定区期末）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，求出、、的函数关系，在同一坐标系内作出函数的图象，利用数形结合法即可判断．【解答】解：令，得，，，；在同一直角坐标系内作出函数，，，的图像，如图所示：则，，分别是函数，，，的图像与直线交点的纵坐标，设点的横坐标为，点的横坐标为，由图像得，当时，，当时，，当时，，所以选项是可能的，选项不可能．故选：．题型3对数的概念（共3小题）例3使对数有意义的的取值范围是．【答案】．【分析】根据已知条件，结合对数的定义，即可求解．【解答】解：由题意可知，，解得，故的取值范围为．故答案为：．【变式3-1】若，则实数的值为．【答案】8．【分析】把对数化为指数即可．【解答】解：，．故答案为：8．【变式3-2】若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是A．首数为，尾数为0.1476 B．首数为，尾数为0.8524 C．首数为，尾数为0.8524 D．首数为，尾数为0.1476【答案】【分析】根据对数的运算规则，叫做首数，叫做尾数，他是一个纯小数或者0，进行求解，即可得到正确选项．【解答】解：，叫做首数，叫做尾数，他是一个纯小数故选：．题型4指数式与对数式的互化（共5小题）例4（2024•长宁区期末）若，则．【分析】把对数式化为指数式即可得出．【解答】解：，则．故答案为：8．【变式4-1】（2025•黄浦区校级期末）已知且，若，，则．【答案】6．【分析】先把对数式化为指数式，再指数幂的运算性质求解．【解答】解：因为，，所以，，所以．故答案为：6．【变式4-2】（2024•宝山区校级期末）已知正数，满足，且，则．【分析】将等号两边取以2为底的对数，结合已知条件，转化为关于和的方程，求出和，即可得到所求．【解答】解：，，即①，又②，联立①②得或者，即或者，或者，故答案为：4或5．【变式4-3】若，且，则．【答案】．【分析】先把指数式化为对数式，再利用换底公式计算即可．【解答】解：，则，，，，，，，故答案为：．【变式4-4】已知在地球上，大气压和海拔高度之间的关系可以表达为，其中和是常数，是海平面的大气压的值．当飞行员用大气压的值来判断高度时，需使用的公式为．【答案】．【分析】根据题意，将，变形可得答案．【解答】解：根据题意，大气压和海拔高度之间的关系可以表达为，则，变形可得，故答案为：．题型5对数的运算性质（共8小题）例5已知，，用、表示．【答案】．【分析】先把指数式变为对数式，然后利用换底公式进行求解，而通过来表达即可求解．【解答】解：因为，所以，所以由换底公式得：，因为，而，所以，．故答案为：．【变式5-1】（2025秋•上海校级月考）已知，则．（请用含的代数式表达）【分析】结合对数的运算性质，即可求解．【解答】解：，则．故答案为：．【变式5-2】（2025•浦东新区校级月考）已知实数，满足，则的最小值为．【答案】．【分析】，，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值．【解答】解：，，，，故，两边同时除以，得，故，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：．【变式5-3】记，那么．【答案】1．【分析】利用对数的运算法则、换底公式直接求解．【解答】解：，则．故答案为：1．【变式5-4】（2025•闵行区校级月考）对于方程组，其中、，则方程组的解为．【答案】或．【分析】设，，则原不等式等价于，消去可得关于的方程，解方程即可．【解答】解：设，，则，，因为，所以，所以方程组等价于，即，所以，所以，解得或，当时，，此时，，当时，，此时，．故答案为：或．【变式5-5】（2025•青浦区校级月考）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则A． B．1.05 C． D．0.75【答案】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：，，，，，．故选：．【变式5-6】已知，，用及表示及．【答案】；．【分析】利用对数的运算法则、换底公式直接求解．【解答】解：，，，．【变式5-7】（2024•浦东新区校级月考）（1）已知正数满足，，求的值；（2）已知、、均为正数，且，求的值．【答案】（1）；（2）0．【分析】（1）由，得到，再由求解；（2）设，得到，，求解．【解答】解：（1）因为，所以．所以；（2）因为、、均为正数，设，则，所以，，，，所以，，，所以．题型6对数运算求值（共10小题）例6（2025•黄浦区校级期末）已知，，则．（用，的代数式子表示）【分析】根据对数的运算即可得．【解答】解：，，则．故答案为：．【变式6-1】（2025•虹口区期末）计算：．【答案】5．【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．【解答】解：．故答案为：5．【变式6-2】（2025•宝山区校级期末）若，且，则．【答案】6．【分析】根据对数函数的性质即可求解．【解答】解：由，，则，，，．，．故答案为：6．【变式6-3】（2025•闵行区期末）若，，则．【答案】1．【分析】结合指数与对数的转化及对数运算性质即可求解．【解答】解：因为，，所以，，则．故答案为：1．【变式6-4】（2025•普陀区校级期末）已知，则．【答案】2024．【分析】利用对数的运算性质计算即得．【解答】解：．故答案为：2024．【变式6-5】（2025•杨浦区校级期末）已知，，则．【答案】．【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值．【解答】解：因为，，则．故答案为：．【变式6-6】（2025•静安区期末）已知函数，则．【答案】．【分析】根据分段函数的解析式，得出，由此求解即可．【解答】解：因为，所以，，，即，所以．故答案为：．【变式6-7】已知函数，则．【答案】1．【分析】由题意构造，可以证明它是奇函数，从而，所以由即可得解．【解答】解：设，则的定义域为，的定义域关于原点对称，且，即，则为奇函数，所以，所以，，因，所以．故答案为：1．【变式6-8】已知，，，则的最小值为．【答案】4．【分析】利用对数的运算性质化简已知式，得，再利用常值代换法，结合基本不等式，即可求得的最小值．【解答】解：由，，可得，，，当且仅当时等号成立，即当时，取得最小值为4．故答案为：4．【变式6-9】．【答案】．【分析】根据根式与指数式的互化和指对数幂的运算法则计算即可．【解答】解：．故答案为：．题型7对数方程求解（共7小题）例7（2025•宝山区校级期末）方程的解．【答案】10．【分析】由对数式与指数式的互化可得出的值．【解答】解：方程，则．故答案为：10．【变式7-1】（2024•浦东新区校级期末）方程的解为．【答案】．【分析】由题意可得，结合函数在上单调递增，可得，且，从而求出的值．【解答】解：方程可化为，又因为函数在上单调递增，所以，且，解得，即方程的解为．故答案为：．【变式7-2】（2024•宝山区校级期末）方程的解．【答案】11．【分析】由对数运算可得答案．【解答】解：因为，所以，解得．故答案为：11．【变式7-3】方程的解为．【分析】由题意得且，，即，求解即可得出答案．【解答】解：，即且，，，解得，故答案为：2．【变式7-4】（2025•浦东新区校级期末）方程的解为．【答案】5．【分析】由已知结合对数的运算性质进行化简即可求解．【解答】解：由已知可得，．，，解可得．故答案为：．【变式7-5】（2025•金山区期末）甲、乙两人同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64，则这个方程的真正的根为．【答案】4或8．【分析】利用对数的换底公式可把方程化简，可利用根与系数的关系确定，，从而可求方程正确的根．【解答】解：由对数的换底公式可得，整理可得，，令，则，甲写错了常数，，正确乙写错了常数，，正确，代入可得，，，．这个方程的真正的根为4或8．【变式7-6】（2024•上海期末）解下列关于的方程：（1）；（2）．【答案】（1）或；（2）时，，时，或，当时，．【分析】（1）结合对数的运算性质即可求解；（2）结合指数的运算性质及指数的含义即可求解．【解答】解：（1）令，则可化为，整理得，，解得，或，所以或；（2），所以，所以或，当，则无解，此时；当，则；当，则无解，此时；综上，时，，时，或，当时，．题型8换底公式的应用（共5小题）例8（2025•浦东新区期末）已知，，则．（结果用，表示）【答案】．【分析】利用换底公式和对数运算性质即可．【解答】解：，，．故答案为：．【变式8-1】设，则．【分析】先把指数式，化为对数式，，再使用换底公式代入即可求出其值．【解答】解：，，，．故答案为1．【变式8-2】若，，，则的值为1．【分析】利用对数的换底公式即可