专题04 函数的概念与表示（考题猜想易错必刷59题12种题型）（解析版）

专题04函数的概念与表示（易错必刷59题12种题型专项训练）函数的概念及其构成要素判断两个函数是否为同一函数简单函数的定义域复合函数的定义域由定义域求解函数或参数简单函数的值域复合函数的值域由值域求解函数或参数抽象函数问题函数的表示法函数的图象与图象的变换分段函数的解析式求法及其图象的作法一．函数的概念及其构成要素1．（2024春•六盘水期末）下列图形中，可以表示函数的是A． B． C． D．【解析】由图像可得，一个只能对应一个，所以选项，，错误．故选：．2．（2023秋•佛山期末）给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是A．，B．，C．，D．，【解析】对于，集合中的元素0在对应关系下对应的元素为0，而，故错误；对于，对于集合中的任意一个元素，在对应关系下，在集合内都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，故正确；对于，对于集合中的负数，在对应关系下没有对应的元素，故错误；对于，对于集合内的任意一个元素，在对应关系下，在集合中都有两个元素与之对应，故错误．故选：．3．（2023秋•内江期末）下列图象中，表示定义域、值域均为，的函数是A． B． C． D．【解析】对于，函数的值域不是，，故错误，对于，函数的定义域不是，，故错误，对于，函数的定义域为，，值域为，，符合题意，对于，不满足函数的定义，不是函数的图象，故错误，故选：．4．（2023秋•泸州期末）托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花．”请根据函数的概念判断：下列对应是集合，2，到集合，2，4，的函数的是A． B． C． D．【解析】按照函数的定义，到的对应，应该满足中的每个元素，在中都有唯一确定的象．按照对应，中的元素4在中没有象，故排除；按照对应，中的元素4在中没有象，故排除；按照对应，中的每个元素，在中都有唯一确定的象，故满足条件．按照对应，中的元素在中没有象，故排除，故选：．5．【多选】（2023秋•汉阴县校级期末）下列各图中，是函数图象的是A． B． C． D．【解析】根据函数的定义可知，对于定义域内的任意，都有唯一的与之对应，结合选项可知，符合题意．故选：．6．【多选】（2024春•内江校级期末）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，1，2，，，2，4，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是A． B． C． D．【解析】对于，，集合中的，在集合中没有对应的元素，不符合函数的定义；对于，，集合中的和4，在集合中没有对应的元素，不符合函数的定义；对于，，集合中的任一元素，在集合中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义；对于，，集合中的任一元素，在集合中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义．故选：．二．判断两个函数是否为同一函数7．（2023秋•广丰区校级期末）下列哪一组的函数与是同一函数A． B． C． D．，，【解析】定义域为，定义域为，不为同一函数；定义域为，定义域为，不为同一函数；定义域和对应法则都相同，是同一函数；，，显然定义域不同，不是同一函数．故选：．8．（2023秋•巴楚县校级期末）下列哪一组函数相等A．与 B． C． D．与【解析】的定义域为，的定义域为，故不相等；的定义域为，的定义域为，，故不相等；的定义域为，的定义域为，，故不相等；与的定义域及对应关系都相同，故相等；故选：．9．（2023秋•蒙城县期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是A．与 B．与 C．与 D．与【解析】的定义域为，的定义域为，故错误；的定义域为，的定义域为或，故错误；，，定义域、值域、映射关系均相同，故正确；的定义域为，的定义域为，故错误．故选：．10．（2023秋•喀什地区期末）下列四组函数，表示同一函数的是A．， B． C． D．，【解析】对于，，与的对应关系不同，不是同一函数；对于，或，与的定义域不同，不是同一函数；对于，，与的定义域不同，不是同一函数；对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：．11．（2024春•平罗县校级期末）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是A．与 B．与 C．与 D．与【解析】对于，函数的定义域为，的定义域为，故错误；对于，的定义域为，的定义域为，故错误；对于，的值域为，的值域为，故错误；对于，，函数的定义域、值域、映射关系均相同，二者为同一函数，故正确．故选：．12．（2024春•河西区期末）已知函数，则下列函数与相等的函数是A． B． C． D．【解析】函数的定义域为，选项的定义域为，选项，且定义域也为，故相等；选项与的对应关系不同；选项的对应关系与其不同．故选：．13．（2023秋•庐江县期末）下列四组函数中与是同一函数的是A．， B． C．， D．【解析】，则函数的定义域为，，则的定义域为，定义域不同，不是同一函数；故错误；函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；故错误；函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故错误；，，二者的解析式相同，定义域相同，映射关系相同，值域相同，故是同一函数，故正确．故选：．三．简单函数的定义域14．（2023秋•颍上县校级期末）函数的定义域为A． B． C． D．【解析】，则，解得．故选：．15．（2023秋•乌鲁木齐期末）函数的定义域为A．， B．， C．， D．，，【解析】因为，所以且，所以函数定义域为，，．故选：．16．（2024春•孝南区校级期末）函数的定义域为A．，， B． C． D．，，【解析】由题意知解得且，即的定义域为，，．故选：．17．（2023秋•玉溪期末）已知函数，则函数的定义域为A． B．， C． D．，，【解析】因为，所以要使函数有意义，需满足且，所以函数的定义域为．故选：．18．（2023秋•牡丹区校级期末）函数的定义域是A． B． C． D．【解析】由题意得，，解得且．故选：．19．（2023秋•阜阳期末）函数的定义域为．【解析】由题意可知，解得且，故函数的定义域为，，．故答案为：，，．四．复合函数的定义域20．（2024春•渝中区校级期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为A． B． C． D．，，【解析】函数的定义域为，则的定义域为，令，解得或，故函数的定义域为，，．故选：．21．（2024春•沙坪坝区校级期末）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为A． B．， C． D．，【解析】函数的定义域为，，，则，解得，故函数的定义域为．故选：．22．（2024春•北林区校级期末）若函数的定义域是，，则函数的定义域是．【解析】函数的定义域是，，由函数知，，解得且，的定义域是，，．故答案为：，，．五．由定义域求解函数或参数23．（2023秋•沙坪坝区校级期末）函数的定义域为，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解析】由题意得，恒成立，当时，显然成立，当时，，解得，故．故选：．24．（2024春•仁寿县校级期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是．【解析】由的定义域为，则恒成立，当时，，得，不符合要求，故舍去，当时，有，解得，综上，．故答案为：．25．（2023秋•辽宁期末）若函数的定义域为，则的取值范围是．【解析】因为函数的定义域为，所以恒成立，当时，不恒成立，不符合题意；当时，，解得，故的范围为．故答案为：．26．（2024春•江宁区校级期末）函数的定义域为，则实数的取值范围为．【解析】函数的定义域为，恒成立，，或，求得，或．综合，可得实数的取值范围为，，故答案为：，．六．简单函数的值域27．（2023秋•江阴市校级期末）已知集合，，则A． B．， C．， D．，【解析】由题意得中，得，所以，，由，所以，，所以，，故正确．故选：．28．（2024春•珲春市校级期末）已知函数在，上的值域为，，则在，上的值域为A．， B．， C．， D．，【解析】函数在，上的值域为，，令，所以在，上的取值范围为，，又是奇函数，所以在，上的值域为，，所以在，上的值域为，．故选：．29．（2024春•长寿区期末）已知函数，则函数的最大值为A． B． C． D．1【解析】因为在，上单调递增，故时，函数的最大值为．故选：．30．（2023秋•南阳期末）函数的值域为A．， B．， C．， D．，【解析】当，时，，开口向上，对称轴为，又因为，，所以（2），而，所以，所以，时，，；当时，单调递增，所以，，即，；综上所述：函数的值域为，．故选：．31．（2024春•渝中区校级期末）函数的值域为．【解析】令，则，，可化为，，根据二次函数的性质可知，时，函数取得最小值，没有最大值，所以的值域为，．故答案为：，．32．（2023秋•越秀区期末）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，则函数的值域是．【解析】由函数的函数值表示不超过的最大整数，当，时，可得，则，可得，因为，，可得，，所以函数的值域是，．故答案为：，．33．（2023秋•宝山区校级期末）函数的值域为．【解析】当时，，当且仅当，即时取等号，函数的值域是，．故答案为：，．七．复合函数的值域34．（2023秋•江阴市校级期末）定义运算，则函数的值域为A． B． C．， D．，【解析】根据题设中的新定义，得，作出函数在一个周期内的图象（实线部分），观察图象，可知函数的值域为．故选：．35．（2024春•沈阳期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为A． B． C． D．【解析】因为当时，，因为，，所以，结合二次函数的性质可知，，又因为是定义在上的奇函数，故当时，函数的值域为，故此函数的值域为．故选：．36．（2023秋•武汉期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为A．，1，2， B．，1， C．，2， D．，【解析】因为，所以，，因为，所以，当时，，当时，，当时，．故选：．37．（2023秋•宝安区期末）函数的值域为．【解析】因为，所以且．故答案为：且．38．（2024春•色尼区校级期末）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且（9）（5）．（1）求与的解析式；（2）求函数在，上的值域．【解析】（1）根据题意，设，，，则，解得，则，；（2）由（1）知，，令，，，则，记，当时，，当或1时，，故在，上的值域为．八．由值域求解函数或参数39．（2023秋•荆门期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．【解析】根据题意，是增函数，，即，函数的值域为，（1），解得，实数的取值范围是，．故选：．40．（2023秋•威宁县期末）若函数的值域为，，则实数的可能值共有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】当时，，当时，，若，当时，，当时，，此时的值域为，，不合题意；若，则时，，，，由于，由题意需使，所以；若，则时，，，，由于，故需使，所以，即实数的可能值共有2个．故选：．41．（2022秋•和平区校级期末）函数的值域为．则实数的取值范围是A． B．， C．，， D．，，【解析】函数的值域为，方程的△，解得或．故选：．42．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是A． B． C．， D．，【解析】①当时，，即，；②当时，，即，；函数的值域为，，，故，故；故实数的取值范围是，，故选：．43．（2023秋•浦东新区期末）若函数，的定义域是，，值域是，，则．【解析】由题意得，当，在，上单调递增，由题意得（1），（2），解得，，则当时，在，上单调递减，由题意得（1），（2），解得，，则．故答案为：1或．九．抽象函数问题44．【多选】（2024春•揭阳期末）已知函数的定义域为，且（1），若，则A． B． C．有最大值 D．函数是奇函数【解析】对于：令，则，所以，令，，则（1），解得，则令，，则，故正确；对于：因为，（1），，令，则（2）（1）（1），（3）（1）（2），．所以（1），所以，故正确；对于：当符合题意，此时无最大值，故错误；对于：令，则，则，则，又函数的定义域为，则定义域为，所以是奇函数，故正确．故选：．45．【多选】（2024春•岳阳期末）已知函数，对任意的实数，都有成立，（1），（1），则A．为偶函数 B． C． D．4为的一个周期【解析】对于，令，则，即，则，令，则，则，故为奇函数，故错误；对于，令，则（1）（1）（1），因为（1），所以，则，故正确；对于，令，，则，即，故正确；对于，令，，则，即，则，所以，则周期为4，由得且，则，故4为的一个周期，故正确．综上，正确答案为：．故选：．46．（2023秋•淮安期末）已知是定义在上的函数，满足：，，且当，时，．（1）求的值；（2）当，时，求的表达式；（3）若函数在区间，上的值域为，，求的值．【解析】（1）是定义在上的函数，且，是奇函数，又，①，是以4为周期的函数，又当，时，，；（2）当，时，，，；（3）由①知，的图象关于直线对称，又是奇函数，当，时，在，上单调递增，在，上单调递增，又是以4为周期的函数，的图象如下图：若函数在区间，上的值域为，，由图可知，，，，且在区间，上单调递增．①若，则，解得，，；②若，则，解得，或1，或0；③若，则，解得，，；或．47．（2023秋•中山市期末）已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．．（1）求的值，并证明为奇函数．（2）若，，且（3），证明为上的增函数，并解不等式．【解析】（1）令，得，又函数的值域为，．证明：，，，为奇函数．（2）证明：任取，，，．，，当时，，，．又函数的值域为，，即，为上的增函数．由，即，化简得．（3），（3）（3）（6），（6）．又为上的增函数，，故的解集为．十．函数的表示法48．（2023秋•惠州期末）已知函数表示为：，0，10设（1），的值域为，则A．，，0， B．， C．，，0， D．，【解析】由函数关系知（1），即，函数的值域为，0，，故选：．49．（2023秋•拉萨期末）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，，，则（2）的值为123032A．0 B．1 C．2 D．3【解析】根据题意，由图象可得（2），由表格可知（2）（1）．故选：．十一．函数的图象与图象的变换50．（2023秋•乌兰浩特市期末）已知函数则的大致图像是A． B． C． D．【解析】函数，则根据复合函数的单调性，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，只有符合．故选：．51．（2023秋•涪城区校级期末）函数的图象大致为A． B． C． D．【解析】，为奇函数，其图象关于原点对称，令，解得，函数只有一个零点，只有选项符合，故选：．52．（2023秋•肥东县校级期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数的图象大致是A． B． C． D．【解析】当时，，由双曲函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，且时，（1），由此可知，选项中图象错误；当时，，因为函数和函数在上单调递减，所以在上单调递减，故选项中图象不合题意，又，故中图象符合题意．故选：．十二．分段函数的解析式求法及其图象的作法53．（2024春•滁州期末）若函数则A．2 B．4 C．6 D．16【解析】函数，（1）（3）．故选：．54．（2024春•红河州期末）设，若关于的方程恰有5个不同实数解，则实数的取值范围是A．， B．， C． D．【解析】令，则，作出函数的图象：方程，△，①当△，即时，方程有一个根，且根为，此时与函数有两个交点，所以关于的方程只有两个根，不合题意，②当△，即时，方程有两个根，且根为，，又与有2个交点，则关于的方程，此时有2个不同实数解，若关于的方程恰有5个不同实数解，此时需要直线与有三个交点，所以，所以的取值范围为，．故选：．55．（2024秋•黄浦区期末）若，则不等式的解集为．【解析】时，，时，，，由得，，无解，或，的解集为综上，不等式的解集为．故答案为：．56．（2023秋•丰台区期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求出当时，的解析式；（2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；（3）结合函数图象，求当，时，函数的值域．【解析】（1）依题意，设，则，于是，因为为上的奇函数，因