专题07 函数的应用（零点与方程的根、函数模型）（期末专项训练15大题型95题）（原卷版）高一数学上学期人教A版

2/24专题07函数的应用（零点与方程的根、函数模型）题型1求函数的零点（常考点）题型9求方程的根及根的个数（重点）题型2用零点存在性定理判断零点所在区间（常考点）题型10二分法的应用（重点）题型3零点存在性定理的概念判断（重点）题型11函数零点与方程的根的综合应用（难点）题型4根据零点所在区间求参数范围题型12函数零点及方程的根解答题（难点）题型5求函数的零点个数（常考点）题型13指数函数模型（常考点）题型6根据函数零点的个数求参数范围（难点）题型14对数函数模型（常考点）题型7比较零点的大小关系题型15建立拟合函数模型解决实际问题（重点）题型8求图象的交点及交点个数（重点）题型一求函数的零点（共5小题）1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是.2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，则函数的零点是.3．（24-25高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的零点为，的零点为，则.5．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6题型二用零点存在性定理判断零点所在区间（共4小题）6．（24-25高一上·河北唐山·期末）设函数，则的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·广东广州·期末）函数的零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·山东泰安·期末）函数在上的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．9．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．题型三零点存在性定理的概念判断（共5小题）10．（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件12．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数在区间上的图象是连续不断地，设，在区间中至少存在一个零点，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13．（24-25高一上·山西·月考）已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间（1，3）上有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．（22-23高一上·北京海淀·期末）函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型四根据零点所在区间求参数范围（共4小题）15．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．16．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．17．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（

）A． B． C． D．18．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是.题型五求函数的零点个数（共5小题）19．（24-25高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．320．（24-25高一上·福建福州·期末）函数的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．621．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．322．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．323．（24-25高一上·陕西·期末）当时，函数的零点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7题型六根据函数零点的个数求参数范围（共8小题）24．（24-25高一上·四川·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．25．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．26．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．27．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．28．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．29．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．30．（24-25高一上·湖北随州·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．31．（24-25高一上·吉林长春·期末）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（

）A． B． C． D．题型七比较零点的大小关系（共3小题）32．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（

）A． B． C． D．33．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．34．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为.（按由小到大排列）题型八求图象的交点及交点个数（共8小题）35．（23-24高一上·重庆·期末）函数的交点所在的一个区间是（

）A． B．C． D．36．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．637．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）函数的图象与x轴的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．438．（24-25高一上·云南玉溪·期末）当时，曲线与的交点个数为．39．（24-25高一上·福建厦门·期末）设函数，，若曲线与恰有3个交点，则（

）．A． B．1 C．或1 D．240．（24-25高一上·浙江宁波·期末）若函数与函数的图象有交点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．题型九求方程的根及根的个数（共7小题）41．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列区间内存在方程的根的是（

）A． B． C． D．42．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．243．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．444．（24-25高一上·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．无法确定45．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数，若，且，则方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．446．（23-24高一上·湖北·月考）已知函数，当时，方程的根的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．647．（22-23高一上·浙江台州·期中）设方程的根为，方程的根为，则的值为（

）A．4 B．2 C．0 D．题型十二分法的应用（共6小题）48．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（

）A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.3249．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（

）A． B． C． D．50．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（

）A． B．C． D．51．（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

52．（24-25高一上·河南濮阳·期末）（多选）下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（

）A． B．C． D．53．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为.题型十一函数零点与方程的根的综合应用（共10小题）单选题54．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设函数，若关于x的方程有四个实根、、、，则的取值范围为（

）A． B． C． D．55．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数，若方程有3个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．56．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．57．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（

）A． B． C． D．58．（24-25高一上·河南南阳·期末）设函数若恰有两个零点，则实数t的取值范围是（

）A． B．C． D．多选题59．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设，若满足关于的方程恰有三个不同的实数解，则下列选项中，一定正确的是（

）A． B． C． D．60．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知函数实数满足，且，则（

）A．B．C．D．函数有5个互不相等的零点61．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（

）A． B．的最小值为4C． D．方程最多有10个不同的实根填空题62．（24-25高一上·上海静安·期末）若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为63．（24-25高一上·河北保定·期末）已知奇函数，在上单调，若对任意都有，则解的个数为.题型十二函数零点及方程的根解答题（共10小题）64．（24-25高一上·江西九江·期末）已知函数.(1)若为偶函数，求的值；(2)讨论的零点个数.65．（24-25高一上·重庆·期末）若函数.(1)若，求函数的零点：(2)若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.66．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）已知函数为偶函数，.(1)求的值；(2)若方程有且只有一个零点，求实数的取值范围.67．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知（），对任意都有．(1)求的值；(2)若当时方程有唯一实根，求的范围．68．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；(3)若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围．69．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数．(1)若，求实数的取值范围；(2)若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围．70．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，不等式解集为，(1)设函数在上存在零点，求实数的取值范围；(2)当时，函数的最小值为，求实数的值．71．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数.(1)判断并用定义证明在上的单调性；(2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围.72．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数是偶函数，.(1)求函数的解析式；(2)求函数的零点；(3)若函数有零点，求k的取值范围.73．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知函数，且函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；(3)设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明）题型十三指数函数模型（共8小题）74．（24-25高一上·山东威海·期末）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤（

）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次75．（24-25高一上·云南保山·期末）某市GDP的年平均增长率为，按此增长率，大约经过年后该市GDP会翻一番，则为（参考值，）（

）A．14 B．16 C．18 D．2076．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放.到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x（1-30天）之间的变化规律的是（

）A． B． C． D．77．（24-25高一上·河南驻马店·期末）某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（

）A． B． C． D．78．（24-25高一上·重庆·期末）某催化剂的活性指标K（单位：kgPP/gCat）与反应温度t（单位：℃）满足函数关系：（其中a，b为常数），若在20℃时的活性指标为13kgPP/gCat，在40℃时的活性指标为85kgPP/gCat，则该催化剂在50℃的活性指标为（

）A．252kgPP/gCat B．247kgPP/gCatC．227kgPP/gCat D．127kgPP/gCat79．（24-25高一上·四川内江·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正常数），如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为（

）（本题参考数据：）A． B． C． D．80．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中，），经过24个月，这种垃圾的分解率为,经过48个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（

）个月.（参考数据：）A．80 B．90 C．100 D．12081．（24-25高一上·广东广州·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度降为.若将的物体放在的空气中冷却，则物体温度降为所需要的冷却时间为（

）A． B． C． D．题型十四对数函数模型（共7小题）82．（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（

）A．5000 B．6000 C．7000 D．800083．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（

）（参考数据：）A． B． C． D．84．（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍85．（24-25高一上·河南许昌·期末）假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（

）A． B． C． D．86．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位:）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（

）A． B． C． D．87．（24-25高一上·广西柳州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼以2m/s的速度游动时，它的耗氧量的单位数为（

）A．8100 B．8000 C．1000 D．110088．（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（

）．A． B． C． D．题型十五建立拟合函数模型解决实际问题（共7小题）89．（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据）建立平台第年1234会员人数（千人）16285286(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数：①，②且，③且；(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值．90．（24-25高一上·广东·期末）舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：天数123舆论场指数1248156为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0.(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数；(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.91．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示：5101520254550555045已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③.(1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式；(3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？92．（24-25高一上·江西景德镇·期末）现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：时间/min012345水温/℃1009284.878.3272.4967.24设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型：①；②；③.(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）；93．（24-25高一上·贵州安顺·期末）正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”，