专题10 函数的应用（原卷版）

专题10函数的应用【清单01】函数的零点与方程的解1、函数零点的概念对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.2、方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.3、零点存在性定理如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.【清单02】二分法1、二分法的概念对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.2、用二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定区间，验证，给定精度.（2）求区间的中点.（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步.【清单03】函数模型的应用几种常见函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)【考点题型一】零点的存在定理【例1】.函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-1】.函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【变式1-2】.函数的零点所在的区间为（

）A． B．C． D．【变式1-3】.函数的零点所在的大致区间为（

）A． B． C． D．【考点题型二】零点个数的判断【例2】.已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-1】.已知函数，则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-2】.函数零点的个数为（

）A． B． C． D．【变式2-3】.已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-4】.已知函数，则函数的零点个数为（

）A．2 B．0 C．3 D．无穷【变式2-5】.（多选）已知函数关于的方程，下列命题正确的是（

）A．若，则方程恰有4个不同的解B．若，则方程恰有5个不同的解C．若方程恰有2个不同的解，则或D．若方程恰有3个不同的解，则【变式2-6】.若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为．【考点题型三】二分法【例3】.某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（

）A．是满足精度为的近似值.B．是满足精度为的近似值C．是满足精度为的近似值D．是满足精度为的近似值【变式3-1】.用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间的次数最少为（

）A． B． C． D．【变式3-2】.用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解(精确到0.1)为（

）(参考数据：，，)A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56【变式3-3】.用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，则下一个有根区间是A． B． C． D．【变式3-4】.利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0）【变式3-5】.利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0）【考点题型四】函数零点的综合应用【例4】.已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（

）A． B．28 C． D．14【变式4-1】.设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(

).A． B．C． D．【变式4-2】.已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（

）A．0 B．1 C．5 D．10【变式4-3】.（多选）下列说法正确的是（

）A．方程的解在内B．函数的零点是C．函数有三个不同的零点D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上【变式4-4】.（多选）已知定义在R的偶函数y=fx对任意的x满足，当，函数，（且），则下列结论正确的有（

）A．函数图象关于直线对称B．当时，C．若在R上单调递减，则D．若方程在R上有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是【考点题型五】函数模型的应用【例5】.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：(1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式(计算结果四舍五入精确到；(2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟)．参考数据：，，是自然对数的底数，【变式5-1】.某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（

）秒.A．15 B．16 C．18 D．20【变式5-2】.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（

）（参考数据：）A．33h B．35h C．37h D．39h【变式5-3】.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（

）A． B． C． D．【变式5-4】.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒距离米米(1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒）(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？【变式5-5】.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）.(1)求的函数关系式；(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?检测练习1.已知函数，则函数的零点为（

）A．1 B．0 C．e D．2.已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（

）A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时3.在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（

）（参考数据：）A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟4.已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（

）（，）．A．4 B．5 C．6 D．75.设函数的零点分别为a,b,c,则（

）A． B． C． D．6.若，，，则正数大小关系是（）A． B．C． D．7.已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为．8.用二分法研究方程的近似解，借助计算器经过若干次运算得到下表运算次数1…456…解的范围……若精确到0.1，至少运算次，则为.9.某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验